數(shù)學期望的計算方法和應用

./數(shù)學期望的計算方法及其應用摘要：在概率論中,數(shù)學期望是隨機變量一個重要的數(shù)字特征,它比較集中的反映了隨機變量的某個側(cè)面的平均性,而且隨機變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學期望來定義的,因此對隨機變量的數(shù)學期望的計算方法的研究與探討具有很深的實際意義。本論文著重總結(jié)了隨機變量的數(shù)學期望在離散型隨機變量分布與連續(xù)型隨機變量分布下的一些常用的計算方法,如利用數(shù)學期望的定義和性質(zhì),利用不同分布的數(shù)學期望公式等等,并通過一些具體的例子說明不停的計算方法在不同情況下的應用,以達到計算最簡化的目的。本文還通過介紹了一些隨機變量數(shù)學期望的計算技巧,并探討了各種簡化計算隨機變量數(shù)學期望的方法,利用一些特殊求和與積分公式,利用數(shù)學期望定義的不同形式,利用隨機變量分布的對稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等,并通過例題使我們更加了解和掌握這些計算技巧,已達到學習該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望計算方法ABSTRACT：離散型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應用利用數(shù)學期望的定義,即定義法定義：設(shè)離散型隨機變量Ｘ分布列為…………則隨機變量Ｘ的數(shù)學期望QUOTEE(ξ)=npE<X>=注意：這里要求級數(shù)絕對收斂,若級數(shù)不收斂,則隨機變量Ｘ的數(shù)學期望不存在例1某推銷人與工廠約定,XX把一箱貨物按期無損地運到目的地可得傭金10元,若不按期則扣2元,若貨物有損則扣5元,若既不按期又有損壞則扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗認為,一箱貨物按期無損的的運到目的地有60﹪把握,不按期到達占20﹪,貨物有損占10﹪,不按期又有損的占10﹪。試問推銷人在用船運送貨物時,每箱期望得到多少？解設(shè)Ｘ表示該推銷人用船運送貨物時每箱可得錢數(shù),則按題意,Ｘ的分布為85-60.60.20.1按數(shù)學期望定義,該推銷人每箱期望可得10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元公式法對于實際問題中的隨機變量,假如我能夠判定它服從某重點性分布特征〔如二項分布,泊松分布,超幾何分布等,則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學期望公式來求此隨機變量的期望。二點分布：~,則二項分布：,,則幾何分布：,則有泊松分布：,有超幾何分布：,有例2一個實驗競賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機抽取3道題,按要求獨立完成題目.競賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學期望.解設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,∴設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則,1.3性質(zhì)法利用數(shù)學期望的性質(zhì)求期望,主要性質(zhì)有：其中為隨機變量,為常數(shù)。例3某工程隊完成某項工程的時間<單位：月>是一個隨機變量,它的分布列為〔1試求該工程隊完成此項任務的平均月數(shù)；〔2社該工程隊所獲利潤為,單位為萬元。試求工程隊的平均利潤。解〔1根據(jù)題意,我們可求平均月數(shù)為：月〔2由〔1知,則可得利用逐項微分法這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機變量而言的,我們可以通過逐項求微分的方法求解出隨機變量的數(shù)學期望,關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進行求導,從而解出數(shù)學期望。例5設(shè)隨機變量,求。解因為,故其中則〔1對〔1式兩邊關(guān)于求導得根據(jù)數(shù)學期望的定義知：且知因此上式可以寫成：從而解得1.6利用條件數(shù)學期望公式法條件分布的數(shù)學期望稱為條件數(shù)學期望,它主要應用于二維隨機變量。在為二維離散隨機變量場合下,其計算公式為：或例6設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列為012301234500.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05試求和解要求,首先得求同理可得用同樣的方法,我們可得1.7利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的,是的函數(shù),對的不同取值,條件期望的取值也在變化,因此我們可以把看作一個隨機變量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一個離散隨機變量,則重期望公式可改寫成為例7口袋中有編碼為的個球,從中任取一球,若取到1號球,則得1分,且停止摸球；若取得號球,則得分,且將此球放回,重新摸球。如此下去,試求得到的平均總分數(shù)。解記為得到的總分數(shù),為第一次取到的球的號碼,則又因為,而當時,所以由此解得第二節(jié)連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應用連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義和含義完全類似于離散隨機變量的,只要在離散隨機變量的數(shù)學期望定義中用密度函數(shù)代替分布列,用積分是代替和式,即得到連續(xù)場合下數(shù)學期望的定義。2.1定義法設(shè)連續(xù)隨機變量有密度函數(shù),如果積分有限〔收斂,則稱為的數(shù)學期望。若無限〔不收斂,則說的數(shù)學期望不存在。例8設(shè)隨機變量服從均勻分布,求它的數(shù)學期望。解由于,則它的密度函數(shù)為則根據(jù)定義它的數(shù)學期望為可見,均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點,即均勻分布具有對稱性,下一節(jié)中我們將介紹利用分布圖像的對稱性來求數(shù)學期望。例9密度函數(shù)為的分布稱為柯西分布。其數(shù)學期望不存在,這是因為積分無限。2.2特殊積分法連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望為,在計算連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望時,常常會用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法,如基函數(shù)在對稱區(qū)間的積分值為0,還有第一換元積分等,都會給我們的計算帶來簡便。例10設(shè)隨機變量,證明．證在的積分表達始終做變換可得由于上式右端第一個積分的被積函數(shù)為奇函數(shù),鼓起積分為0,第二個積分恰為,故得．2.3利用特征函數(shù)特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個隨機變量,稱,,為的特征函數(shù),設(shè)連續(xù)隨機變量有密度函數(shù),則的特征函數(shù)為根據(jù)上式,我們可以求出隨機變量分布的特征函數(shù),然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學期望,即．例11設(shè)隨機變量,求．解因為隨機變量,則的特征函數(shù)為其一階導數(shù)為則由特征函數(shù)的性質(zhì)得注：此題關(guān)鍵是球正態(tài)分布的特征函數(shù),我們可以先求出標準正態(tài)分布的特征函數(shù),在利用特征函數(shù)的性質(zhì)求出正態(tài)分布的特征函數(shù)。2.4逐項微分法這種方法同樣適用于密度函數(shù)中含有參數(shù)的連續(xù)型隨機變量分布,也是對兩邊對參數(shù)求導數(shù)來解出數(shù)學期望。例12設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布即,求解因為,則的密度函數(shù)則由,得對兩邊關(guān)于參數(shù)求導得從而解得2.5條件數(shù)學期望公式在連續(xù)型隨機變量場合下,條件數(shù)學期望同樣適用,其計算公式為例13設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為試在．解由題意知,2.6利用重期望公式在是一個連續(xù)隨機變量時,重期望公式可改寫成為．例14設(shè)電力公司每月可以供應某工廠的電力服從上的均勻分布,而該工廠每月實際需要的電力服從上的均勻分布。如果工廠能從電力公司得到足夠的電力,則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤,若工廠得不到足夠的電力,則不足部分由工廠通過其他途徑解決,由其他途徑得到的電力每獲利10萬元,失球該廠每個月的平均利潤。解從題意知,每月供應電力,而工廠實際需要電力。若設(shè)工廠每月的利潤為萬元,則按題意可得在給定時,僅是的函數(shù),于是當時,的條件期望為當時,的條件期望為然后用的分布對條件期望再作一次平均,即得所以該廠每月的平均利潤為433萬元．第三節(jié)隨機變量數(shù)學期望的計算技巧3.1利用數(shù)學期望的性質(zhì),化整為零當一個隨機變量的分布列較為復雜時,若直接求它的數(shù)學期望會很困難,我們可以通過將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡單的隨機變量之和來解決。主要是利用數(shù)學期望的性質(zhì)來時問題簡單化。例15設(shè)一袋中裝有只顏色各不相同的球,每次從中任取一只,有放回地摸取次,以表示在次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目,求解直接寫出的分布列較為困難,其原因在于：若第種顏色的球被取到過,則此種顏色的球又可被取到過一次、二次次,情況較多,而其對立事件"第種顏色的球沒被取到過"的概率容易寫出為為此令這些相當于是計數(shù)器,分別記錄下第種顏色的球是否被取到過,而是取到過的不同顏色總數(shù),所以．由可得所以例16設(shè),求解由題意知,,方法一：根據(jù)數(shù)學期望的定義有方法二：令表示貝努力試驗中的出現(xiàn)的次數(shù),則相互獨立而且同分布,均服從3.2利用二重積分的極坐標變換求解這種方法只是用于二維連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求解。例17設(shè)隨機變量相互獨立,且均服從分布,求的數(shù)學期望。解由題意知的密度函數(shù)為可得令則可得3.3巧用特殊求和公式例18對一批產(chǎn)品進行檢驗,如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格,如在尚未超過第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查,且認為這批產(chǎn)品為不合格.設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大,可以認為每次檢查查到不合格品的概率都是,問平均每批要檢查多少件？解設(shè)表示每批所需檢驗的產(chǎn)品數(shù),那的分布列是注：這里主要用到的求和公式是．3.4利用分布圖象的對稱性66當分布列或密度函數(shù)具有對稱性時,隨機變量數(shù)學期望的取值集中位置就是對稱中心或?qū)ΨQ軸,我們可以利用對稱性使比較復雜的問題簡單化。尤其,當隨機變量服從均勻分布時,它的數(shù)學期望取值為它的對稱中心,即；當隨機變量服從正態(tài)分布時,我們由它的圖象知是它的對稱軸,故它的數(shù)學期望取值為．例19若正的獨立隨機變量,服從相同的發(fā)布,是證明證明由分布的對稱性知同分布,故例20設(shè)在區(qū)間上隨機地取個點,以表示相距最遠的兩點間的距離,求解由題意知,個點把區(qū)間分成了段,它們的長度依次記為,根據(jù)對稱性,每個都有相同的概率分布和數(shù)學期望,且,故,又因為個點中