高中數(shù)學(xué)同步學(xué)案 微積分基本定理

§2微積分基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)分．(重點(diǎn))

借助圖形理解定積分與曲邊梯形的關(guān)微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)f(x＝F′(xf(x)dF(b－F(aa定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在xS,xS,則上 下(1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x(1)f(x)d＝S上．a(chǎn)當(dāng)曲邊梯形的面積在x(2)f(x)d＝S下．a(chǎn)(2) (3)當(dāng)曲邊梯形的面積在xx(3)a

－S上 下

＝S,則上 下bf(x)d0.a下列定積分的值等于1的是( A.xdx0

B.(x1)dx0C.1dx0

x′

D.11dx20C[選項(xiàng)A2

＝x,x21 112所xdx＝2 ＝；20 x2

′

11

1 3B2

＝x＋1,所(x＋1)dx＝2＋x ＝；20 0211選項(xiàng)C,因?yàn)閤′＝1,所1dx＝x ＝1；0 01′1

11 11 1選項(xiàng)D222π

＝,所以2

dx＝2 20

＝.]2 (－sinx)dx等( )0A．0C．－22π

B．2D．4A[ (－sinx)dx＝cosx|2π＝cos2π－cos0＝0.]002 3．x＋xdx＝ .13 1

12

1 3ln2＋ 根據(jù)題意2x＋dxln＋x ＝ln＋＝ln＋.]2 x 2 2 21 1利用微積分基本定理求定積分【例1】計(jì)算下列定積分．2 0(1(x2＋2＋3)d(2 (cosex)d；1 －ππ22x2＋＋1

2 x(3) 1

dx；(4)

sin22dx.0思路探究：(1)、(2)先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(x),然后利用微積分基本定理求解；(3)、(4)則需先對(duì)被積函數(shù)變形,再利用微積分基本定理求解．[解](12(x22x3)dx1＝2d22xdx23dx1 1 1x32

2 2 25＝ ＋x3 1

＋3x1

＝3.(20

(cos

cos

exdx－π －π －π0 0 1＝sinx－π

－e－π

＝eπ－1．2x2＋x＋1 1(3)

＝2x＋1＋,x1而(x2＋x＋lnx)′＝2x＋1＋.x22＋＋1 2∴ 1

dx＝(x2＋x＋lnx)1

＝4＋ln2．π π(1－cosx)dx＝(4)原式21 12(1－cosx)dx(1－cosx)dx＝2 20 0π π π π1

12

x

sinx2

π－2＝2

1dx－20

cosxdx＝20

－20

＝4.求簡單的定積分應(yīng)注意兩點(diǎn)：1．積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；12x－1 11

dx＝ln2－ dx＝ln2－ dx＝

.－1－

dx1dx2 1

xx1 1|＝lnx＋ 2 x 1 122＝ln2＋－(ln1＋1)＝ln2－.]22求分段函數(shù)的定積分【例2】計(jì)算下列定積分． πsin，0≤<2，(1)f(x)＝ (1)f(x)＝ 1，2≤x≤2，x－1，2<x≤4，(22|x2－1|dx.0

f(x)d；0

π，,(2,4思路探究按f(x)的分段標(biāo)分0，2,2 (2)先去掉絕對(duì)值號(hào),化成分段函數(shù),再分段求定積分．

π 24

2 4

2

1 π[解](1f(x)dπ

sin

1dx(x－1)d－cosx

＋xπ

x2－24

0 20 2 π

20 ＝1＋2－2＋(4－0)＝7－2.2(22|x2－1|d1(1x)d＋2(－1)dx0 11

12＝x－x x3－

＝2．3 3 0 1分段函數(shù)的積分問題(2)中被積函數(shù)f(x)含有絕對(duì)值號(hào),可先求函數(shù)f(x[a,b]上的定積分可分成n進(jìn)行．2．3-3

(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.[解]設(shè)f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|,x∈[－3,3],－4x，－3≤x<－ －4x，－3≤x<－2 3 3則f(x)＝6，－≤x≤， 4x，<x≤3.3-3

2(|2x＋3|＋|3－2x|)dx[探究問題]1．滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)唯一嗎？[提示]不唯一,它們相差一個(gè)常數(shù),但不影響定積分的值．2．如何求對(duì)稱區(qū)間上的定積分？

利用定積分求參數(shù)[提示]在求對(duì)稱區(qū)間上的定積分時(shí),應(yīng)首先考慮函數(shù)性質(zhì)和積分的性質(zhì),使解決問題的方法盡可能簡便．【例】(1)設(shè)函數(shù)f(x＝ax＋c(a≠0xdx＝f(x0≤x≤1

的值； 0 0 00(2)已知f(x(3,4)xdx＝1f(x0(1fdx,然后列出關(guān)于x的方程,求出

的值． 0 00(2)設(shè)出f(x[解](1)∵f(x)＝ax2＋c(a≠0),a ′且

3＋c3

＝ax2＋c,a

1 a∴f(x)d1(ax＋c)dx＋c ＝＋＝a2＋c, 3 3 00 0 03 3x＝0

x＝－0

(舍去)．(2)依題意設(shè)一次函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝kx＋b(k≠0)．∵函數(shù)圖像過(3,4),∴3k＋b＝4. ①k k∵f(x)d1(k＋b)dx＋b|1＝b, 2 0 20 0k∴＋b＝1． ②26 2由①②得,k＝,b＝,5 56 2∴f(x)＝x＋.5 5解決此類綜合問題的前提．f(xF(x)等概念．1163．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(1)＝4,f′(1)＝1,f(x)dx＝3,求函數(shù)f(x)的解析式．60[解]由題意知f(1)＝a＋b＋c＝4, ①f′(1)＝2a＋b＝1, ②1f(x)d(a00ab1＋＋c＝3.32 6又 x2＋bx＋c)dx＝36知 ③①②③聯(lián)立,解得a＝－1,b＝3,c＝2,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋3x＋2．1．定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值,還可能是0.當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x2．定積分計(jì)算時(shí)常用的幾個(gè)結(jié)論(1bf(x)d＝af(x)dx.a b(2)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(a<c<b),積分區(qū)間的可a a cbf(x)d＝xf(x)dxf(x)dbf(x)dx,其中a<x<…<x<b.x 1 x 1 na a 1 nx(3)[a,b,f(x)≥bf(x)dx≥0.a推論[a,b,f(x)≤g(xf(x)dxg(x)dx.a a推論：bf(x)dx|b|f(x)|dx.a a若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則不含常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)F(xa

＝F(a)－F(－a)＝2F(a)； －a-a若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則不含常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)F(xa

＝F(a)－F(－a)＝0. －a-a微積分基本定理中,被積函數(shù)f(x)是原函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)．( )0.[答案](1)√(2)√(3)√π2(sinx＋cosx)dx的值( )π-2πA．0 B.4

C．2 D．4已知22(kx＋1)dx≤,則實(shí)數(shù)k的取值范圍 ．12

1 2

1 3 3 2， [2(kx＋1)dx＝

＝(2k＋2)－k＋＝k＋1,所以2≤k＋1≤4,解得3