中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題知識(shí)點(diǎn)精講相似三角形與解直角三角形

基礎(chǔ)義務(wù)教育資料相似三角形解直角三角一知要概、比例線(xiàn)段的有關(guān)概念（1）前項(xiàng)、后項(xiàng)：兩條線(xiàn)段的比︰b中a比的前項(xiàng)，b叫比的后項(xiàng)．（2）比例線(xiàn)段：四條線(xiàn)中，如果兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么這四條線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．（3）外項(xiàng)、內(nèi)項(xiàng)、第四比例項(xiàng)：如果a=c︰，則、d比例外項(xiàng)bc叫例項(xiàng)，d叫、b、的四比例項(xiàng)．（4）比例中項(xiàng)：若a︰b=b︰，則b叫a、c的例中項(xiàng)．、比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：如果︰︰，則，逆題也成立．推論：如果︰b=b︰c，則=ac其逆命題也成立．（2）合比性質(zhì)：．（3）等比性質(zhì)：．、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．推論1平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．推論的逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得到的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊．推論2平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例．、相似三角形的有關(guān)概念（1）相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比的兩個(gè)三角形是相似三角形．（2）相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比．、三角形相似的判定（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形似．（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．（5）直角三角形斜邊上的高分成的兩個(gè)直角角形與原直角三角形相似．（6）平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的三角形與原三角形相似．1

222222、相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．（4）相似三角形的面積比等于相似比的平方、銳角三角函數(shù)在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠，A、∠B、∠的邊分別為、b，則，且sinAcosA在～內(nèi)取值．、特殊角的三角函數(shù)值、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系銳角與的余角（－）有如下關(guān)系：sin(90°α)=cosα，－α)=sin，tan(90°－α)=cotα，cot(90°－．、同角三角函數(shù)間的關(guān)系（1平方關(guān)系：

α＋

；倒數(shù)關(guān)系：tanα·cot；商數(shù)關(guān)系：．10銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角α～間變化時(shí)，角α的弦、正切值隨角α的大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；角余弦、余切值隨的大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?，正弦值、余弦值均介于～1之，即≤sinα，≤cosα≤1．11在ABC中∠C=90°，∠A∠B∠的邊分別為、、c，則有下列關(guān)系：（1）三邊的關(guān)系：＋=c；（2）角的關(guān)系A(chǔ)B=90°（3）邊角的關(guān)系：

，

，

，

；2

（4）面積關(guān)系：；（5）外接圓半徑：，切圓半徑：．12應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解題的步驟（1）審題，弄清仰角、俯角、坡角等概念及意．（2）畫(huà)圖并構(gòu)造要求解的直角三角形，對(duì)于直角三角形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)分割成規(guī)則的幾何圖形．（3）選擇合適的邊角關(guān)系計(jì)算，確定結(jié)果．13應(yīng)用中的幾個(gè)概念（1）仰角、俯角：視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的銳角視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角，視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角叫俯角．如圖1．（2）坡角、坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度l的比叫做坡度i，即，坡面與水平面的夾角叫坡角，tanα=i.(圖（3）方位角：從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)按順時(shí)針到目標(biāo)方向的水平角叫方位角．如（圖）中，OA、OC的方位角分別為DOA、∠DOB、DOC（4）方向角：指北或指南方向線(xiàn)所成的小于90°的水平角叫方向角．如（圖4）中、OB、OCOD的向角分是：北偏東30°南偏東45°（東南方向）、南偏西、北偏西60°二典例剖例、圖在△ABC中AB=24，AC=18D在AC上，AD=12，在上一點(diǎn)，使得△ADE與三角形相似，則AE的為（）A．16B．C．16或D16或9分析：使兩個(gè)三角形相似，但未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論．解：（1如圖，過(guò)D作DE//BC交AB于（∠∠C，3

則ADE∽△，此時(shí)有∴AE=16．（2）如圖，作ADE′=∠BDE交于，則ADE△ABC此時(shí)有∴′=9．綜上所述或9．

，答案：D例2已知三數(shù)12，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)（只填一個(gè)數(shù)）使們能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是_．解析：此題設(shè)計(jì)較為開(kāi)放結(jié)不唯一于題目沒(méi)有明確告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序所以所添的數(shù)的位置較為靈活1︰2=

︰x可出︰=x︰求；從1x=

︰2可出，此題填以上三個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)即可．例3、如圖知DE分別是ABC的AB上一點(diǎn)且︰eq\o\ac(△,S)ADEDBCE︰3那么AD︰AB=（）AC．分析：

BD．由S︰S︰︰=1︰．DBCEADEABC由得S∽S．ABC4

22222222由相似三角形的面積比等于相似比的平方得，∴︰AB=

，故選．答案：例4、已知：如圖，ABC中，是角平分線(xiàn)AD的直平分線(xiàn)交于E，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于．求證：FD=FB·FC．分析：要證：FD

，證：．由于無(wú)法找到△FDB與，所以應(yīng)將FD代，根據(jù)EF是的垂直平分線(xiàn)的條件可聯(lián)想到連接FA，則FD=FA用FA替FD，得，此可找到證FAB△FCA證明：接．∵垂平分，∴FD=FA∴∠∠FAD∵AD平，∠BAD=∠CAD∴∠FDA－∠BAD=FAD－∠CAD∴∠∠FAC又∵∠BFA=AFC∴△FAB∽△FCA，，∴，即=FB·FC例5、計(jì)算：分析：（1）題綜合考查特殊角的三角函數(shù)值及代數(shù)的計(jì)算．將特殊角的三角函數(shù)值代入化簡(jiǎn)，并注意分母有理化，這類(lèi)題型記準(zhǔn)數(shù)值是前提，算準(zhǔn)結(jié)果是關(guān)鍵．（2）題要靈活運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系和互的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，要識(shí)別45°＋與45°－互余關(guān)系．解：5

例6、已知：如圖，∠，，ABAC=2．求BC的長(zhǎng)．分析：解直角三角形時(shí)求元素不在直角三角形中將轉(zhuǎn)化為直角三角形中去化的途徑有輔線(xiàn)構(gòu)造直角角形找知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等．解：過(guò)A作⊥BC于D，構(gòu)造直角三角形．例7、為申辦2010年冬奧會(huì)，須改變哈爾濱市的通狀況，在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹(shù)AB，在面上事先劃定以B為心，半徑與AB等的圓形危險(xiǎn)區(qū)．現(xiàn)在某工人站在離