數(shù)值分析第七章數(shù)值微分與數(shù)值積分

數(shù)值分析第七章數(shù)值微分與數(shù)值積分1第1頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

利用離散點(diǎn)上函數(shù)的信息求函數(shù)導(dǎo)數(shù)近似值的方法,稱為數(shù)值微分.

差商型數(shù)值微分公式

插值型數(shù)值微分公式§1數(shù)值微分2第2頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由導(dǎo)數(shù)定義當(dāng)h很小時(shí),可用差商近似導(dǎo)數(shù).3第3頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六差商型求導(dǎo)公式(3)中心差商公式(1)向前差商公式(2)向后差商公式4第4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

幾何意義B點(diǎn)切線斜率從幾何直觀看:中心差商效果最好5第5頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

截?cái)嗾`差其中由Taylor公式可得6第6頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式截?cái)嗾`差7第7頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六近似計(jì)算數(shù)值積分8第8頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六依據(jù)微積分基本定理,只要找到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x),F(x)=f(x),便有為什么還要對(duì)積分進(jìn)行近似計(jì)算

大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)

實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的通常是一張離散函數(shù)表,即被積函數(shù)的表達(dá)式未知.數(shù)值積分9第9頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六依據(jù)積分中值定理就是說，底為ba而高為f()的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形f(x)的面積.取[a,b]內(nèi)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)xk處的高度f(xk),通過加權(quán)平均的方法生成平均高度f(),這類求積公式稱機(jī)械求積公式式中xk

稱為求積節(jié)點(diǎn),Ak稱為求積系數(shù),亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán).數(shù)值積分基本思想10第10頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2Newton-Cotes公式基本思想:

利用插值多項(xiàng)式其中Ln(x)是n階Lagrange插值多項(xiàng)式，用Ln(x)的積分近似f(x)的積分，即插值型求積公式11第11頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由決定,與無關(guān).節(jié)點(diǎn)

f(x)

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多項(xiàng)式即得到Ak插值型求積公式12第12頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六誤差13第13頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)：令Cotes系數(shù)注:Cotes系數(shù)僅取決于n和k，可查表得到.與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān).14第14頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六n階Newton-Cotes公式(N-C公式)15第15頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六Cotes系數(shù)表n1234說明:

n8時(shí),Cotes系數(shù)中將出現(xiàn)負(fù)數(shù),此時(shí)求積公式不穩(wěn)定,實(shí)際計(jì)算不能采用.每一行所有Cotes系數(shù)之和為1.16第16頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六abxf(x)L1(x)n=1:TrapezoidalRule17第17頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六18第18頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六n=2:ax1xf(x)bhhL2(x)Simpson’sRule19第19頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六Simpson’s3/8-RuleApproximatebyacubicpolynomialax1xf(x)x2hhL(x)bh20第20頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

代數(shù)精確度設(shè)有求積公式若它對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xm

都能精確成立(即上式等號(hào)成立),但對(duì)f(x)=xm+1上式等號(hào)不成立,則稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度.另一等價(jià)說法:若當(dāng)f(x)為任意次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式時(shí),求積公式均精確成立(即上式等號(hào)成立),但對(duì)某個(gè)m+1次多項(xiàng)式,公式不精確成立,則稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度.21第21頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

梯形公式的代數(shù)精確度.解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1:代入P1=x:代入P2=x2:代數(shù)精度=1==注：形如的求積公式至少有n次代數(shù)精度該公式為插值型（即：）22第22頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理2n

階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度.證明只要驗(yàn)證,當(dāng)f(x)=x2n+1時(shí),余項(xiàng)為0.按余項(xiàng)公式,由于f

(2n+1)(x)=(2n+1)!,從而有令x=a+nh+th代入上式得23第23頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例判別下列求積公式的代數(shù)精確度解

上式左端記為I(f),右端記為則當(dāng)f(x)=x,x3,x5,…時(shí),求積公式兩邊均為0,等號(hào)成立24第24頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六廣義積分中值定理若f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)在[a,b]上保號(hào)(正負(fù)號(hào)不變)，則存在ξ

[a,b],使得25第25頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六梯形公式的截?cái)嗾`差由于(xa)(xb)在[a,b]上保號(hào)(恒非正)，故存在[a,b]，使26第26頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六Simpson公式的截?cái)嗾`差構(gòu)造次數(shù)不超過3次的插值多項(xiàng)式H(x),使在節(jié)點(diǎn)a，b，c=(a+b)/2處滿足：H(a)=f(a),H(b)=f(b),H(c)=f(c),H(c)=f(c).由于n=2的Simpson求積公式具有3次代數(shù)精度，故對(duì)H(x)，Simpson求積公式準(zhǔn)確成立：27第27頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六故Simpson求積公式的余項(xiàng)為由于(xa)(xc)2(xb)在[a,b]上保號(hào)(恒非正)，故存在[a,b]，使28第28頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

29第29頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例分別利用梯形公式與Simpson公式計(jì)算積分的近似值,并估計(jì)誤差.解由梯形公式截?cái)嗾`差為由Simpson公式截?cái)嗾`差為結(jié)果表明,用Simpson公式計(jì)算的結(jié)果明顯優(yōu)于梯形公式的計(jì)算結(jié)果.30第30頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六高階Newton-Cotes公式是不穩(wěn)定的,因此不可能通過提高階的方法來提高精度.為了提高精度通?？砂逊e分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間,再在子區(qū)間上用低階求積公式.這種方法稱為復(fù)化求積法.§3復(fù)化求積公式31第31頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六x0x1xf(x)x2hhx3hhx4復(fù)化梯形公式32第32頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)h=(ba)/n,分點(diǎn)xk=a+kh(k=0,1,…,n).在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1

](k=0,1,…,n1)上用梯形公式：復(fù)化梯形公式33第33頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六=

Tn(f)復(fù)化梯形公式34第34頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差在小區(qū)間[xk,xk+1]上,梯形公式的誤差為當(dāng)時(shí)35第35頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由連續(xù)函數(shù)介值定理知[a,b]使得于是復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為當(dāng)時(shí),可以看出誤差是h2階的,且即復(fù)化梯形公式是收斂的.36第36頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六事實(shí)上只要設(shè)f(x)C[a,b],則可得到收斂性,當(dāng)n時(shí),上式右端括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到積分所以復(fù)化梯形公式是收斂的.37第37頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)有求積公式設(shè)計(jì)算時(shí)產(chǎn)生誤差實(shí)際得到即記記若存在與無關(guān)的M>0,使得則稱該求積公式是穩(wěn)定的.求積公式的穩(wěn)定性38第38頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六若求積公式是穩(wěn)定的,則f(x)的觀察值的較小的誤差引起的求積結(jié)果的誤差也是較小的.求積公式?jīng)]有把f(x)的誤差“放大”很多.39第39頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六證明因此復(fù)化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定的.當(dāng)定理復(fù)化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定的.40第40頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六x0x2xf(x)x4hhxn2hxn…...hx3x1xn1復(fù)化Simpson公式分片二次多項(xiàng)式近似41第41頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六將積分區(qū)間[a,b]劃分為n=2m等分,步長(zhǎng)h=(b

a)/n,分點(diǎn)xk=a+kh(k=0,1,…,n).在每個(gè)小區(qū)間[x2k2

,x2k](k=1,…,m)上用Simpson公式：復(fù)化Simpson公式k=1,…,m42第42頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六=

Sn(f)復(fù)化Simpson公式43第43頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)f(x)在[a,b]上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),故得復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差44第44頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差知,誤差階為h4,收斂性是顯然的,事實(shí)上,只要f(x)C[a,b]則可得到收斂性,即由于求積系數(shù)均為正,與復(fù)化梯形公式一樣的證法可得復(fù)化Simpson公式是數(shù)值穩(wěn)定的.45第45頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同顯然用復(fù)化Simpson公式計(jì)算精度較高,這與它們的誤差階的結(jié)論是相符的.46第46頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例對(duì)于函數(shù)給出n=8的函數(shù)表,試用復(fù)化梯形公式及復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分解0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925應(yīng)用復(fù)化梯形公式求得T8=0.9456909應(yīng)用復(fù)化Simpson公式求得S8=0.9460832準(zhǔn)確值I=0.9460831兩者運(yùn)算量基本相同47第47頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六trapz:復(fù)化梯形公式求積分.用法:trapz(X,Y),其中X,Y為相同維數(shù)的向量.例:

X=0.125:0.125:1.0;Y=sin(X)./X;X=[0,X];Y=[1,Y];trapz(X,Y)ans=0.94569086358270Matlab函數(shù)48第48頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例若用復(fù)化求積公式計(jì)算積分的近似值,若要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字,n應(yīng)取多大?解復(fù)化梯形公式的誤差若用復(fù)化梯形公式求積分,n取41能達(dá)到精度要求.49第49頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六故應(yīng)取n=4.該例表明,為達(dá)到相同的精度,用復(fù)化Simpson公式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式要少,這也說明了復(fù)化Simpson公式的精度高.復(fù)化Simpson公式的誤差50第50頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六復(fù)化梯形公式的逐次分半算法將區(qū)間[a,b]分成n=2m等分,記稱為梯形值序列.51第51頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六所有新增加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和其中復(fù)化梯形公式的逐次分半算法52第52頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六以n=8,m=3為例.記fk=f(xk)x0x2x4x6x3x1x5x7x8所有新增加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和.53第53頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的后驗(yàn)估計(jì)f(1),f(2)分別是f(x)在[a,b]上的n個(gè)點(diǎn)與2n個(gè)點(diǎn)處的算術(shù)平均值(每個(gè)小區(qū)間上取一個(gè)點(diǎn)).當(dāng)n較大時(shí),有54第54頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六因此,若事先給定誤差限,則當(dāng)時(shí),就可停止計(jì)算,并認(rèn)為T2n是滿足精度要求的近似值.55第55頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六復(fù)化Simpson公式的逐次分半算法將區(qū)間[a,b]分成n=2m等分,記稱為Simpson序列.56第56頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六因此,若事先給定誤差限,則當(dāng)時(shí)可停止計(jì)算,取S2n為滿足精度要求的近似值.復(fù)化Simpson公式余項(xiàng)的后驗(yàn)估計(jì)57第57頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§4Romberg求積公式啟示:是否用復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的后驗(yàn)估計(jì)表明逼近I(f)比用T2n要好.事實(shí)上有即梯形值序列的巧妙線性組合得到Simpson序列!58第58頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六以n=4為例加以說明.記fk=f(xk),59第59頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六逼近I(f)比用S2n要好.回答:是的,記則它恰為復(fù)化Cotes公式;且有如下誤差估計(jì)式復(fù)化Simpson公式余項(xiàng)的后驗(yàn)估計(jì)表明問題:是否用60第60頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六類似地可以得到其中被稱為Romberg序列.截?cái)嗾`差:61第61頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六停機(jī)準(zhǔn)則:梯形值序列Simpson序列Cotes序列Romberg序列Romberg求積公式62第62頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例計(jì)算=0.9207355=0.9397933=0.9445135=0.9456909解先求梯形值序列63第63頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六24180.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.95608690.94608330.94608300.94608310.9460831利用只有兩三位有效數(shù)字的T1,…,T8經(jīng)過三次外推得到7位有效數(shù)字.可見加速的效果十分顯著.用Romberg算法計(jì)算如下64第64頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六理論依據(jù):復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)展開.記定理設(shè)則其中系數(shù)k(k=0,1,…)是與h無關(guān)的常數(shù).T(h)逼近I的速度是O(h2)階.65第65頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)區(qū)間[a,b]2n等分時(shí),則有在定理中以h/2代替h得上式乘以4減去T(h)再除以3,記之為T1(h),得T1

(h)逼近I的速度是O(h4)階,效果比T(h)好,它不是別的,就是Simpson序列.66第66頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六類似地上式乘以16減去T1(h)再除以15,記之為T2(h),得T2

(h)逼近I的速度是O(h6)階,效果比T1

(h)好,它不是別的,就是Cotes公式序列.67第67頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)Cotes公式序列進(jìn)行同樣處理得到Romberg公式序列.Richardson外推加速方法也稱為Romberg求積算法收斂性說明:如果f(x)充分光滑,那么梯形公式序列,Simpson公式序列,Cotes公式序列,Romberg公式序列均收斂到所求的積分值.對(duì)于f(x)不充分光滑的函數(shù)也可用Romberg算法計(jì)算,只是收斂慢一些.也可以直接使用復(fù)化Simpson公式計(jì)算.68第68頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例用Bomberg算法計(jì)算積分解在[0,1]上僅是一次連續(xù)可微用Romberg算法計(jì)算結(jié)果見下表241816320.50.4267770.4070180.4018120.4004630.4001180.4023690.4004320.4000770.4000140.4000020.4003020.4000540.4000090.4000020.4000500.4000090.40000269第69頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§5Gauss型求積公式基本思想設(shè)計(jì)求積公式:在節(jié)點(diǎn)數(shù)n固定時(shí),適當(dāng)?shù)剡x取求積節(jié)點(diǎn){xk}與求積系數(shù){Ak},使求積公式具有最高的代數(shù)精確度.70第70頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例確定x1,x2,A1,A2,使求積公式具有最高次的代數(shù)精確度.x2x11

選取(A1

,A2

,x1

,x2)使該求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2,x3時(shí)等號(hào)成立.171第71頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

對(duì)

f=1,x,x2,x3積分精確成立

四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)72第72頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六梯形公式與Gauss求積公式的比較對(duì)1,x求積公式精確成立(1次代數(shù)精確度)對(duì)1,x,x2,x3求積公式精確成立(3次代數(shù)精確度)73第73頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六x3x11x21

選取(A1,A2,A3,x1,x2,

x3)使該求積公式對(duì)f(x)=x0,x1,x2,x3,x4,x5時(shí)等號(hào)成立.區(qū)間[1,1]上的Gauss求積公式74第74頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)f=x0,x1,x2,x3,

x4,x5求積公式等號(hào)成立75第75頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六symsA1A2A3x1x2x3eq1=A1+A2+A3-2eq2=A1*x1+A2*x2+A3*x3eq3=A1*x1^2+A2*x2^2+A3*x3^2-2/3eq4=A1*x1^3+A2*x2^3+A3*x3^3eq5=A1*x1^4+A2*x2^4+A3*x3^4-2/5eq6=A1*x1^5+A2*x2^5+A3*x3^5[A1,A2,A3,x1,x2,x3]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6)Matlab求解76第76頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六選取(A1,A2,…,An,x1,x2,…,

xn)使該求積公式對(duì)f(x)=x0,x1,x2,…,x2n1時(shí)等號(hào)成立.區(qū)間[1,1]上的Gauss求積公式77第77頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2n個(gè)方程2n個(gè)未知數(shù),非線性方程,解是否存在唯一？若存在,如何求解？對(duì)f=x0,x1,x2,

…,x2n1求積公式等號(hào)成立78第78頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六研究最一般情形的帶權(quán)積分:具有2n－1次代數(shù)精確度,則稱這組節(jié)點(diǎn){xk}為Gauss點(diǎn),上述公式稱為帶權(quán)函數(shù)(x)的Gauss型求積公式.定義如果一組節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xn[a,b]能使求積公式Gauss型求積公式79第79頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由上述2n個(gè)方程確定全部的2n個(gè)待定參數(shù)xk,Ak(k=1,…,n),使求積公式至少具有2n1次代數(shù)精確度.但上述方程組是非線性方程組,求解十分困難.一般利用正交多項(xiàng)式來求出Gauss點(diǎn)與求積系數(shù).Gauss型求積公式對(duì)f=x0,x1,x2,

…,x2n1求積公式等號(hào)成立80第80頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理一求積公式的節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xn是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為根(零點(diǎn))的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過n－1的多項(xiàng)式P(x)帶權(quán)正交高斯求積基本定理81第81頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六高斯求積公式的穩(wěn)定性定理定理高斯求積公式的系數(shù)Ak

(k=1,2,…,n)全是正的，因而高斯求積公式是穩(wěn)定的.證明對(duì)于拉格朗日插值基函數(shù)lj(x)(j=1,…,n),有82第82頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六高斯求積公式的收斂性定理定理設(shè)f(x)C[a,b],則高斯求積公式是收斂的.83第83頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六高斯求積公式中高斯點(diǎn)和求積系數(shù)的確定確定高斯求積公式中的兩組不同性質(zhì)的待定系數(shù)xk,Ak(k=1,2,…,n)采用不同的方法：

①由[a,b]上帶權(quán)ρ(x)正交的n次多項(xiàng)式的零點(diǎn)確定高斯點(diǎn)xk(k=1,2,…,n);②由n1次代數(shù)精確度條件確定求積系數(shù)Ak(k=1,…,n).84第8