微分方程的基本概念

微分方程的基本概念第1頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六常微分方程緒論常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等都有廣泛的應(yīng)用。第2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第3頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第4頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、微分方程的發(fā)展歷史

方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線(xiàn)性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。

第5頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。解這類(lèi)問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式－－－即求解微分方程。第6頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時(shí)，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。第7頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。第8頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來(lái)導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問(wèn)題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線(xiàn)性分析理論來(lái)研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問(wèn)題。3、微分方程解析理論由于絕大多數(shù)微分方程不能通過(guò)求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn)特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。第9頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論1900年，希爾波特提出的23個(gè)問(wèn)題中的第16個(gè)問(wèn)題之一，至今未解決。三、微分方程的講授內(nèi)容（學(xué)時(shí)45）1、基本概念2、線(xiàn)性微分方程3、線(xiàn)性微分方程組4、穩(wěn)定性及定性理論初步四、微分方程的教材特點(diǎn)4、微分方程的數(shù)值解法第10頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

本章主要介紹微分方程的有關(guān)概念，解的存在唯一性問(wèn)題及一階微分方程的向量場(chǎng)，同學(xué)們應(yīng)著重掌握微分方程的一些基本概念:解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等；解的存在唯一性定理。第11頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、單種群增長(zhǎng)模型（Logistic方程）一、導(dǎo)出微分方程的一些實(shí)例§1.1微分方程的概念2、數(shù)學(xué)單擺模型第12頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱(chēng)為微分方程。例如：1）如果微分方程中未知數(shù)只依賴(lài)于一個(gè)自變量，稱(chēng)為常微分方程。例如：二、微分方程的基本概念第13頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）如果微分方程中未知數(shù)依賴(lài)于兩個(gè)或更多的自變量，稱(chēng)為偏微分方程。例如：注：我們不特別聲明，就稱(chēng)常微分方程為微分方程或方程。方程的階數(shù)：一個(gè)微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為方程的階數(shù)。第14頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是線(xiàn)性的，則稱(chēng)它為線(xiàn)性微分方程，否則稱(chēng)之為非線(xiàn)性微分方程。一般的n階微分方程的形式為：其中：的已知函數(shù)。例如：是二階非線(xiàn)性微分方程。是變量第15頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解和隱式解：為方程的解。將其代入方程后，能使它變成恒等式，則稱(chēng)函數(shù)若關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是為方程的隱式解。上述方程解稱(chēng)設(shè)例：有隱式解（任意常數(shù)）上的解。例：是在是在上的解。是定義在區(qū)間（a,b）上的n階可微函數(shù)，第16頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六把含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)稱(chēng)為n階方程的通解。的解n階方程的通解：若存在的一個(gè)鄰域，使得則稱(chēng)含有n個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)。第17頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：是的通解。因?yàn)槎亟猓涸谕ń庵写_立了一組任意常數(shù)后所得的解稱(chēng)為特解。定解條件：為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通常給出這個(gè)解所必需滿(mǎn)足的條件，這就是定解條件常見(jiàn)的定解條件是初始條件。第18頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六是指如下的n個(gè)條件：的初始條件所謂階微分方程其中是給定的個(gè)常數(shù)。求微分方程滿(mǎn)足定解條件的解就是所謂的定解問(wèn)題。當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問(wèn)題也就為初值問(wèn)題。第19頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解。滿(mǎn)足初始條件的解為微分方程的特解。初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同。第20頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：求出所給的函數(shù)導(dǎo)數(shù)把及的表達(dá)式代入方程，得因此，函數(shù)是微分方程的解。第21頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的基本概念線(xiàn)性微分方程，非線(xiàn)性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的階初始條件微分方程的解，通解，特解第22頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.第23頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,

他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,

所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.

他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),

系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).第24頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(雅各布第一·伯努利)

書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對(duì)雙紐線(xiàn),懸鏈線(xiàn)和對(duì)數(shù)螺線(xiàn)都有深入的研究.第25頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期六歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.他寫(xiě)了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無(wú)窮小分析引論》,《微還寫(xiě)了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁(yè)創(chuàng)造性的論文.他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無(wú)窮級(jí)數(shù),微分方程)與微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ).分學(xué)原理》,《積分學(xué)原理》等,為分析學(xué)的重在