數字電路與系統(tǒng)設計課件

數字電路與系統(tǒng)設計課件第1頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.1緒論1.1.1數字電路的基本概念

1.數字量與數字信號在自然界中，存在著兩類物理量：一類稱為模擬量(AnalogQuantity)，它具有時間上連續(xù)變化、值域內任意取值的特點，例如溫度、壓力、交流電壓等就是典型的模擬量；另一類稱為數字量(DigitalQuantity)，它具有時間上離散變化（離散也就是不連續(xù)）、值域內只能取某些特定值的特點，例如訓練場上運動員的人數、車間倉庫里元器件的個數等就是典型的數字量。第2頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六在電子設備中，無論是數字量還是模擬量都是以電信號形式出現的。人們常常將表示模擬量的電信號叫作模擬信號AnalogSignal)，將表示數字量的電信號叫作數字信號(DigitalSignal)。正弦波信號、話音信號就是典型的模擬信號，矩形波、方波信號就是典型的數字信號。數字信號是一種脈沖信號(PulseSignal)。脈沖信號具有邊沿陡峭、持續(xù)時間短的特點。廣義講，凡是非正弦信號都稱為脈沖信號。數字信號有兩種傳輸波形，一種稱為電平型，另一種稱為脈沖型。電平型數字信號是以一個時間節(jié)拍內信號是高電平還是低電平來表示“1”或“0”，而脈沖型數字信號是以一個時間節(jié)拍內有無脈沖來表示“1”或“0”，如圖1-1所示。第3頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-1數字信號的傳輸波形(a)電平型信號；(b)脈沖型信號第4頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.數字電路及其優(yōu)點在電子電路中，人們將產生、變換、傳送、處理模擬信號的電子電路叫做模擬電路（AnalogCircuit)，將產生、存儲、變換、處理、傳送數字信號的電子電路叫做數字電路（DigitalCircuit)?！半娮与娐坊A”課程中介紹的各種放大電路就是典型的模擬電路，而數字表、數字鐘的定時電路就是典型的數字電路。第5頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六與模擬電路相比，數字電路主要具有以下優(yōu)點：①電路結構簡單，制造容易，便于集成和系列化生產，成本低，使用方便。②數字電路不僅能夠完成算術運算，而且能夠完成邏輯運算，具有邏輯推理和邏輯判斷的能力，因此被稱為數字邏輯電路或邏輯電路。計算機也因為這種邏輯思維能力而被稱為電腦。③由數字電路組成的數字系統(tǒng)，抗干擾能力強，可靠性高，精確性和穩(wěn)定性好，便于使用、維護和進行故障診斷。第6頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-2數字電路對接收信號整形(a)發(fā)送信號波形；(b)接收信號波形；(c)整形信號波形第7頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.1.2數字集成電路的發(fā)展趨勢大規(guī)模低功耗高速度可編程可測試6.多值化第8頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.2數制與代碼1.2.1數制

1.數制數制(NumberSystem)是人類表示數值大小的各種方法的統(tǒng)稱。迄今為止，人類都是按照進位方式來實現計數的，這種計數制度稱為進位計數制，簡稱進位制。大家熟悉的十進制，就是一種典型的進位計數制。一種數制中允許使用的數符個數稱為這種數制的基數(Radix)或基(Base)，R進制的基就等于R。設一個R進制數NR包含n位整數和m位小數，其位置記數法的表示式為NR=(rn-1rn-2…r1r0.r-1r-2…r-m)R

第9頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六其中，ri為R進制數NR第i位的有效數符，ri為“1”時所表示的數值大小稱為該位的“權(power)”，用Ri表示?！皺唷钡母拍畋砻鳎幱诓煌恢蒙系南嗤瑪捣淼臄抵荡笮∈遣煌?。例如十進制數(215.12)10，最高位和最低位均為2，但它們所代表的數值卻分別為200（102×2）和0.02（10-2×2）；同樣，次高位和次低位都為1，但它們所代表的數值卻分別為10（101×1）和0.1（10-1×1）。第10頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六位置記數法實際上是多項式記數法省略各位權值和運算符號并增加小數點(小數點也稱為基點)后的簡記形式。各項式記數法的表示式為第11頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六例如，十進制數(215.12)10的多項式表示式（也稱按權展開式）為(215.12)10=102×2+101×1+100×5+10-1×1+10-2×2在計算機等數字設備中，用得最多的是二進制數和十六進制數，這是因為當前數字設備中所用的數字電路通常只有低電平和高電平兩個狀態(tài)，正好可用二進制數的0和1來表示。由于采用二進制來表示一個數時數位太多，所以常用與二進制數有簡單對應關系的十六進制數(或八進制數)來表示一個數。十進制(DecimalSystem)、二進制(BinarySystem)和十六進制(HexadecimalSystem)的數符、權、運算規(guī)則及其對應關系詳見表1-1。需要特別注意的是，在十六進制數中，用英文字母A、B、C、D、E、F分別表示十進制數的10、11、12、13、14和15。第12頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-1常用數制及其對應關系第13頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2.數制轉換1)任意進制數轉換為十進制數首先寫出待轉換的R進制數的按權展開式，然后按十進制數的運算規(guī)則進行計算，即可得到轉換后的等值十進制數。這稱為按權展開法?！纠?-1】將二進制數(1011001.101)2和十六進制數(AD5.C)16轉換為十進制數。第14頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六解第15頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)二進制數與十六進制數的相互轉換從表1-1可見，1位十六進制數正好可以用4位二進制數來表示，反之亦然。因此，以小數點為基準，向左或向右將二進制數按4位1組進行分組(整數部分高位不足4位時，高位添0補足4位；小數部分低位不足4位時，低位添0補足4位)，然后用相應的十六進制數代替各組的二進制數，即可得到等值的十六進制數；之，將十六進制數的每個數符用相應的4位二進制數代替，并去掉整數部分高位無效的0和小數部分末尾無效的0，即可得到等值的二進制數。第16頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

【例1-2】將二進制數(1011101.101)2轉換為十六進制數，將十六進制數(3AB.C8)16轉換為二進制數。解

(1011101.101)2=(01011101.1010)2=(5D.A)16(3AB.C8)16=(001110101011.11001000)2=(1110101011.11001)2第17頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六3)十進制數轉換為二進制數十進制數轉換為二進制數的過程相對復雜一些,需要將整數部分和小數部分分別進行轉換。(1)十進制整數轉換為二進制數時，其結果也必然是整數。利用轉換前后數值相等的原理，有N10=N2=2n-1×bn-1+…+21×b1+20×b0將上式左右兩端同時除以2，所得的整數商應該相等，余數也應該相等。而右端的二進制按權展開式除以2后的余數是b0,因此，十進制數第1次除以2所得的余數就是等值的二進制數的最低位b0(最低位常用符號LSB表示)；同理，將左端每次所得的整數商依次除以2，所得的余數正好就是等值二進制數的b1、b2、…、bn-1。Bn-1是商為0時的余數，它是等值二進制數的最高位(最高位常用符號MSB表示)。這種轉換方法稱為除2取余法，用它先得到的余數是等值二進制數的低位，后得到的余數是等值二進制數的高位。第18頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-3】將十進制數(218)10轉換為二進制數。

解采用豎式除法：因此，(218)10=(11011010)2。第19頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(2)十進制小數轉換為二進制數時，其結果也必然是小數。利用轉換前后數值相等的原理，有N10=N2=2-1×b-1+2-2×b-2+…+2-m×b-m將上式兩端同時乘以2，顯然左端乘積的整數部分就是右側的b-1(即等值二進制小數的最高位)。然后把左端乘積的小數部分再乘以2，所得整數部分便是b-2，如此繼續(xù)下去，直到乘積的小數部分是0或滿足精度要求為止，得到等值二進制小數的最低位b-m。這種轉換方法稱為乘2取整法，用它先得到的整數是二進制小數的高位，后得到的整數是二進制小數的低位。第20頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-4】將十進制數0.1875轉換為二進制數。解采用乘2取整法：

整數0.1875×2=0.37500(MSB)0.3750×2=0.750000.7500×2=1.500010.5000×2=1.00001(LSB)因此，(0.1875)10=(0.0011)2。第21頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六4)幾點說明(1)當十進制小數不能精確轉換為二進制小數時，往往需要有一定的精度要求，例如要求結果保留幾位小數。此時要注意，為了減小轉換誤差，轉換時的小數位數應比要求保留的小數位數多1位，然后根據多出的這1位是0還是1決定取舍，基本原則是0舍1入。例如某二進制數(0.1001)2，保留兩位小數時結果為(0.10)2，保留3位小數時結果應為(0.101)2。第22頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(2)如果一個十進制數既有整數部分又有小數部分，只要把它們分別進行轉換，然后將結果合并即可。例如，十進制數(218.1875)10轉換為二進制數時，綜合前面兩例的轉換結果，可得其等值二進制數為(11011010.0011)2。(3)利用二進制數作橋梁，可以方便地將十進制數轉換為十六進制數。第23頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六3.二進制數的算術運算

【例1-5】已知X=(1011)2，Y=(1101)2，試計算X+Y的值。

解二進制數的加法規(guī)則是逢2進1，由豎式加法得X+Y=(11000)2其中，豎式上方的小圓點為相鄰低位的進位?！ぁぁぁ?011110111000+第24頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-6】已知X=(1101)2，Y=(1011)2，試計算X-Y的值。

解二進制數的減法規(guī)則是借1為2，由豎式減法得X-Y=(10)2其中，豎式上方的小圓點為相鄰低位的借位?！?10110110010_第25頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-7】已知X=(1011)2，Y=(100)2，試計算X×Y的值。

解二進制數的乘法規(guī)則是1×1=1，1×0=0×1=0×0=0，由豎式乘法得X×Y=(101100)2同時，由豎式乘法也可以看出，二進制數乘法運算由加法運算和左移位操作組成。當乘數為2k時，將被乘數左移k位（右側添0）即可求得乘積。1011100000000001011101100×第26頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

【例1-8】已知X=(10101)2，Y=(100)2，試計算X÷Y的值。解二進制數除法是乘法的逆運算。由豎式除法得X÷Y=(101.01)2同時，由豎式除法也可以看出，二進制數除法運算由減法運算和右移位操作組成。當除數是2k時，將被除數右移k位即可得到所求之商。第27頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.2.2帶符號數的表示法

1.原碼表示法將帶符號數的數值部分用二進制數表示，符號部分用0表示“+”，用1表示“-”，這樣形成的一組二進制數叫做原帶符號數(也稱真值)的原碼(SignMagnitude)。n位二進制原碼所能表示的十進制數范圍為-(2n-1-1)～+(2n-1-1)。第28頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

【例1-9】求出X=(+75)10和Y=(-75)10的8位二進制原碼。

解由于(75)10=(1001011)2，因此，X、Y的8位二進制原碼分別為X原=(01001011)2Y原=(11001011)2第29頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.補碼表示法計算機中通常采用的帶符號數表示法是補碼(Complement)表示法，其規(guī)則是：對于正數，補碼與原碼相同；對于負數，符號位仍為1，但二進制數值部分要按位取反,末位加1。這樣得到的一組二進制數叫做原帶符號數的補碼(如果末位不加1，則稱為反碼)。之所以將其稱為補碼，是因為真值為負數時所得到的補碼與真值的數值部分之和為2n，即彼此對2n互補，此處n為二進制補碼的位數。利用這一特點，我們可以快速計算一個帶符號二進制數（或十六進制數）的補碼。n位二進制補碼所能表示的十進制數范圍為-2n-1～+(2n-1-1)。第30頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

【例1-10】求出X=(+75)10和Y=(-75)10的8位二進制補碼。

解X為正數，補碼與原碼相同，因此，X補=X原=(01001011)2Y為負數，數值部分要在原碼的基礎上按位取反，末位加1，因此，Y補=(10110101)2利用互補特性，也可以求得Y的補碼:Y補=28-(1001011)2=(100000000)2-(1001011)2=(10110101)2利用十六進制數，同樣可以快速地求得Y的補碼:Y補=28-(1001011)2=(100)16-(4B)16=(B5)16=(10110101)第31頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六順便指出，當帶符號數為純小數時，原碼或補碼的符號位位于小數點的前面，原來小數點前面的0不再表示出來。例如，X=(-0.110101)2的8位二進制原碼和補碼分別表示為X原=1.1101010)2，X補=(1.0010110)2。此外，從補碼求原碼時的過程與從原碼求補碼時的過程相同。也就是說，對于正數，原碼與補碼相同；對于負數，原碼的符號位仍為1，但數值部分要將補碼數值部分按位取反，末位加1。例如，已知Z的8位二進制補碼Z補=(10101101)2，則Z的8位二進制原碼Z原=(11010011)2。第32頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

3.補碼的運算利用補碼，可以方便地進行帶符號數的加、減法運算(減法運算要變換為加法運算來進行)。但要注意的是，同號相加或異號相減時，有可能發(fā)生溢出。所謂溢出(Overflow)，就是指運算結果超出了原指定位數所能表示的帶符號數范圍。因此，當發(fā)生溢出時，需要增加二進制補碼的位數，否則，運算結果將出錯。補碼運算過程中是否溢出可以通過結果的符號位來直觀地判斷。正數加正數或正數減負數結果均應為正數，負數加負數或負數減正數結果均應為負數，否則即為溢出。第33頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-11】利用8位二進制補碼計算(98)10-(75)10，結果仍然用十進制數表示。解(98)10-(75)10=(+98)10+(-75)10 =(01100010)補+(10110101)補=［1］(00010111)補=(00010111)原=(+23)10011000101011010100010111+[1]自動丟失第34頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六100111101011010101010011+[1]溢出錯誤【例1-12】利用8位二進制補碼計算(-98)10-(75)10，結果仍然用十進制數表示。

解(-98)10-(75)10=(-98)10+(-75)10=(10011110)補+(10110101)補=［1］(01010011)補=(01010011)原=(+83)10第35頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六該題的結果顯然是錯誤的，因為一個負數減去一個正數結果不可能是正數。錯誤的原因在于本題的正確結果(-173)10超過了8位二進制補碼所能表示的十進制數范圍，因而運算時發(fā)生了溢出錯誤。解決的辦法是采用9位補碼運算，就可得到正確的結果為(-173)10。第36頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.2.3代碼計算機等數字設備除了處理二進制數外，有時候還需要處理其它數字甚至字母或符號。如同帶符號數表示法中用二進制的0表示“+”、用1表示“-”一樣，這些字母、數字、符號也必須用二進制數來表示。這種用一組符號按一定規(guī)則表示給定字母、數字、符號等信息的方法稱為編碼(Encode)，編碼的結果稱為代碼(Code)。寄信時收發(fā)信人的郵政編碼、因特網上計算機主機的IP地址等，就是生活中常見的編碼實例。第37頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六從編碼的角度看，前面介紹的用各種進制來表示數的大小的方法也可以看作是一種編碼。當用二進制表示一個數的大小時，按上述方式表示的結果常常稱為自然二進制碼。帶符號數的原碼、反碼和補碼表示法本質上都可看作是編碼。通常，一種編碼的長度n不僅與要編碼的信息個數m有關，而且與編碼本身所采用的符號個數k也有關系。n、m和k之間一般滿足下面的關系：kn-1＜m≤kn

第38頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六例如，用十進制符號0~9來對500個不同的信息編碼時，k=10，m=500，從上式可求得n=3，即至少需要3位十進制數才能實現對500個不同信息的有效編碼。當用二進制符號來編碼時，上式變?yōu)?n-1＜m≤2n第39頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.格雷碼格雷碼是一種典型的循環(huán)碼(CyclicCode)。循環(huán)碼有兩個特點，一個是相鄰性，一個是循環(huán)性。相鄰性是指任意兩個相鄰的代碼中僅有1位取值不同，循環(huán)性是指首尾的兩個代碼也具有相鄰性。凡是滿足這兩個特性的編碼都稱為循環(huán)碼。當時序電路中采用循環(huán)碼編碼時，不僅可以有效地防止波形出現毛刺(Glitch)，而且可以提高電路的工作速度。十進制數0~15的4位二進制格雷碼(GrayCode)如表1-2所示。顯然，它符合循環(huán)碼的兩個特性，因此是一種循環(huán)碼。例如，5和6的兩個代碼分別為0111和0101，只有次低位取值不同；首尾的0和15的兩個代碼分別為0000和1000，也只有最高位取值不同。第40頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-24位二進制格雷碼第41頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.BCD碼BCD碼是二-十進制碼的簡稱，也就是二進制編碼的十進制數(BinaryCodedDecimal)。它是用二進制代碼來表示十進制的10個數符，因此至少需要4位二進制數編碼。當采用4位二進制編碼時，共有16個碼組，原則上可以從中任選10個來代表十進制的10個數符，多余的6個碼組稱為禁用碼，平時不允許使用。第42頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-3常用BCD碼第43頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六8421BCD碼是最常用也是最簡單的一種BCD代碼，其顯著特點是它與十進制數符的4位等值二進制數完全相同，各位的權依次為8、4、2、1。由于這個原因，有時也稱它為自然BCD碼。5421BCD碼各位的權依次為5、4、2、1，其顯著特點是最高位連續(xù)5個0后連續(xù)5個1。當計數器采用這種編碼時，最高位可產生對稱方波輸出。2421BCD碼各位的權依次為2、4、2、1，其顯著特點是，將任意一個十進制數符D的代碼的各位取反，正好是與9互補的那個十進制數符(9-D)的代碼。例如，將4的代碼0100取反，得到的1011正好是9-4=5的代碼。這種特性稱為自補特性，具有自補特性的代碼稱為自補碼(SelfComplementingCode)。第44頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六余3碼也是一種自補碼，其顯著特點是它總是比對應的8421BCD碼多3（0011）。余3循環(huán)碼由4位二進制格雷碼去除首尾各3組代碼得到，仍然具有格雷碼的特性，因而也稱為格雷碼。上述代碼中，8421BCD碼、5421BCD碼、2421BCD碼是有權碼，余3碼和余3循環(huán)碼是無權碼。判斷一種代碼是否是有權碼，只要檢驗這種代碼的每個碼組的各位是否具有固定的權值即可。例如5421BCD碼，每個碼組各位從高到低都具有5、4、2、1的權值，因而是一種有權碼，且各位權值依次為5、4、2、1。如果發(fā)現一種代碼中至少有1個碼組的權值不同，這種代碼就是無權碼。第45頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-13】分別用8421BCD碼和余3碼表示十進制數(258.369)10。解(258.369)10=(001001011000.001101101001)8421BCD=(010110001011.011010011100)余3碼第46頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

3.ASCII碼ASCII碼是美國信息交換標準代碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)的簡稱，是目前國際上最通用的一種字符碼。計算機輸出到打印機的字符碼就采用ASCII碼。ASCII碼采用7位二進制編碼表示十進制符號、英文大小寫字母、運算符、控制符以及特殊符號，如表1-4所示。第47頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-4ASCII碼編碼表第48頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-4中一些控制符的含義如下：NULNull空白 DC1DeviceControl1設備控制1SOHStartofHeading標題開始DC2DeviceControl2設備控制2STXStartofText正文開始DC3DeviceControl3設備控制3ETXEndofText正文結束DC4DeviceControl4設備控制4EOTEndofTransmission傳輸結束NAKNegativeAcknowledge否認ENQEnquiry詢問SYNSynchronousIdle同步空傳ACKAcknowledge確認ETBEndofTransmissionBlock塊結束BELBell響鈴(告警)CANCancel取消BSBackspace退一格EMEndofMedium紙盡第49頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六HTHorizontalTabulation水平列表SUBSubstitute替換LFLineFeed換行ESCEscape脫離VTVerticalTabulation垂直列表FSFileSeparator文件分離符FFFormFeed走紙GSGroupSeparator字組分離符CRCarriageReturn回車RSRecordSeparator記錄分離符SOShiftOut移出USUnitSeparator單元分離符SIShiftIn移入SPSpace空格DLEDataLinkEscape數據鏈路換碼DELDelete刪除第50頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

4.奇偶校驗碼數據在傳輸過程中，由于噪聲、干擾的存在，使得到達接收端的數據有可能出現錯誤。我們必須采取某種特殊的編碼措施，檢測并糾正這些錯誤。能夠檢測信息傳輸錯誤的代碼稱為檢錯碼(ErrorDetectionCode)，能夠糾正信息傳輸錯誤的代碼稱為糾錯碼(CorrectionCode)。檢錯碼和糾錯碼統(tǒng)稱為可靠性編碼，采用這類編碼可以提高信息傳輸的可靠性。第51頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六奇偶校驗碼(PartyCheckCode)是最簡單也是最著名的一種檢錯碼，它能夠檢測出傳輸碼組中的奇數個碼元錯誤。奇偶校驗碼的編碼方法非常簡單，就是在信息碼組中增加1位奇偶校驗位(奇偶校驗位一般位于信息碼組之前)，使得增加校驗位后的整個碼組具有奇數個1或偶數個1的特點。如果每個碼組中1的個數為奇數，則稱為奇校驗碼；如果每個碼組中1的個數為偶數，則稱為偶校驗碼。例如，十進制數5的8421BCD碼0101增加校驗位后，奇校驗碼是10101，偶校驗碼是00101，其中最高位分別為奇校驗位1和偶校驗位0。ASCII碼也可以通過增加1位校驗位的辦法方便地擴展為8位，8位在計算機中稱為1個字節(jié)，這也是ASCII碼采用7位編碼的一個重要原因。第52頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.3邏輯代數基礎1.3.1邏輯代數的基本運算邏輯代數有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種基本運算(也分別稱為邏輯乘、邏輯加和邏輯非)，其運算符分別為“·”、“+”和“-”。與運算符“·”通?？梢允÷浴＿壿嬤\算的功能常用真值表(TruthTable)來描述。將自變量的各種可能取值及其對應的函數值F列在一張表上，就構成了真值表。第53頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-5與運算真值表ABF=A·B000110110001第54頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-6或運算真值表ABF=A+B000110110111第55頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-7非運算真值表AF=A0110第56頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-3用開關電路實現基本邏輯運算(a)與；(b)或；(c)非第57頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-4與、或、非門的邏輯符號(a)與門符號；(b)或門符號；(c)非門符號第58頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.3.2復合邏輯運算與常用邏輯門將與、或、非三種基本的邏輯運算進行組合，可以得到各種形式的復合邏輯運算，其中最常用的幾種復合邏輯運算是“與非(NAND)”運算、“或非(NOR)”運算、“與或非(AND-OR-OT)”運算、“異或(XOR)”運算以及“同或(XNOR)”運算。這些運算的代數式、真值表、邏輯門符號以及基本特性詳見表1-8，其中邏輯門符號欄中最后一種為新邏輯門符號(即國標符號)，“=1”為“異或”限定符。第59頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-8復合邏輯運算與常用邏輯門第60頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-8復合邏輯運算與常用邏輯門第61頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-8復合邏輯運算與常用邏輯門第62頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六“異或”運算在功能上相當于不考慮進位的二進制加法運算，因而有時候也被稱為模2加?！爱惢颉边\算和“同或”運算的結果只與參與運算的自變量取值有關，而與自變量的順序無關。當n個變量參與“異或”運算或“同或”運算時，其結果并不需要將各自變量的取值逐個“異或”或“同或”來獲得，而只要數一數自變量中取值為1或0的個數即可。如果取值為1的自變量的個數為奇數，則“異或”運算結果為1，否則為0；如果取值為0的自變量的個數為偶數，則“同或”運算結果為1，否則為0。另外，到目前為止，實際的異或門(XORGate)和同或門(XNORGate)都只有兩個輸入端，而與門、或門、與非門(NANDGate)、或非門(NORGate)和與或非門(AND-OR-NOTGate)都可以有多個輸入端。比如與或非門，它不僅可以有多個與項輸入，而且每個與項還可以有多個輸入。第63頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-14】直接畫出下列邏輯函數的實現電路，允許反變量輸入。

解X、Y、Z的實現電路如圖1-5所示。X是4變量異或函數，因為只有2輸入異或門，所以必須用三個異或門才能實現。Y是與或非函數，用一個與或非門就可實現。Z是與或型函數，既可以如圖所示用兩個與門、一個或門實現，也可以用一個與或非門和一個非門來實現。第64頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-5例1-14的實現電路第65頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.3.3邏輯代數的基本公式和運算規(guī)則1.基本公式表1-9邏輯代數的基本公式第66頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-15】證明表1-9中公式1中的分配律、吸收律和包含律。證明第67頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.運算規(guī)則1)代入規(guī)則對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數同時取代等式兩端的任何一個邏輯變量A后，等式依然成立。這就是代入規(guī)則。利用代入規(guī)則，可以方便地擴展公式。例如，可以把摩根定律擴展到含有n個變量的等式:第68頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六下面以三變量為例進行證明：第69頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)對偶規(guī)則設F為一個邏輯函數表達式，若將F中的“與”、“或”運算符互換(即·變?yōu)?，+變?yōu)椤?，常量0、1互換(即0變?yōu)?，1變?yōu)?)，所得到的新表達式就叫做函數F的對偶式(DualityExpression)或對偶函數(DualityFunction)，常用Fd表示。如果兩個邏輯函數表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，不僅可以幫助人們證明邏輯等式，而且可以幫助人們減少公式的記憶量。例如，表1-9中的公式1和公式2就互為對偶式，只需記憶其中一邊的公式就可以了。第70頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

【例1-16】求的對偶函數。

解求對偶函數時，要注意保持原式中的運算次序不變。本例Fd表達式中的括號就是為了保證原式中的運算次序不變。原來大非號下面為兩項相或，因此變號后應為兩項相與。第71頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六3)反演規(guī)則在邏輯代數中，常將邏輯函數F叫作原函數，將F叫作F的反函數或補函數，將由原函數求反函數的過程叫作“反演(ReversalDevelopment)”或“求反”。若A是函數F的一個自變量，則稱A為原變量A的反變量。將一個邏輯函數表達式F中的“與”、“或”運算符互換，常量0、1互，原變量與反變量互換，就可得到F的反函數F。這就是反演規(guī)則。雖然利用摩根定律也可以從F求得F，但運算過程比較復雜。利用反演規(guī)則求反函數F時，不僅要注意運算的優(yōu)先順序，而且還要注意只有單個變量的反變量才變?yōu)樵兞?，而對于多個變量組合后的“非”號不能變反。第72頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-17】寫出上例中F的反函數F的表達式并用反演律驗證其正確性。解利用反演規(guī)則，有利用反演定律，有二者是完全相等的。因此，利用反演規(guī)則所得到的反函數是正確的。第73頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.4邏輯函數的描述方法1.4.1真值表描述法【例1-18】某公司有A、B、C三個股東，分別占有公司50%、30%和20%的股份。一個議案要獲得通過，必須有超過50%股權的股東投贊成票。試列出該公司表決電路的真值表。解用1表示股東贊成議案，用0表示股東不贊成議案；用F表示表決結果，且用1表示議案獲得通過，用0表示議案未獲得通過。根據這些假定，不難列出該公司表決電路的真值表，如表1-10所示。第74頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-10真值表第75頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.4.2代數式描述法

1.邏輯函數的代數表達式現在，用邏輯代數表達式來描述例1-18中的表決電路問題。由題中所述表決規(guī)則和股東權益可知，一個議案要得到通過，必須同時滿足以下兩個條件：(1)大股東A贊成；(2)小股東B、C中至少有1個贊成。第76頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六根據假定，大股東A贊成即邏輯變量A取值為1；小股東B、C中至少有1個贊成即邏輯變量B為1或C為1，或B、C均為1。顯然，條件②中的變量B和C為“邏輯或”的關系，即B+C。而條件①與條件②為“邏輯與”的關系，只有A為1且B+C也為1時，F才為1。因此，表決結果F的邏輯表達式為F=A(B+C)和真值表一樣，該表達式也準確地描述了該公司表決電路的邏輯關系。第77頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.邏輯函數的標準形式對于給定的邏輯函數，其代數表達式的具體描述形式可以是多種多樣的。例如，例1-18中的表決電路問題也可以這樣來理解：只要大股東A和小股東B同時贊成，或大股東A和小股東C同時贊成，或大股東A和小股東B、C同時贊成，議案便可獲得通過。第一種情況可用AB來表示，第二種情況可用AC來表示，第三種情況可用ABC來表示，而這三種情況又是一種“邏輯或”的關系，只要任何一種情況出現，表決結果F便為1。因此，F的邏輯表達式為F=AB+AC+ABC第78頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1)標準積之和式在邏輯代數中，全部輸入變量均以原變量或反變量的形式出現1次且僅出現1次的“乘積項(與項)”稱為“標準積項”。n個變量的邏輯函數最多可以有2n個標準積項。以兩個變量A、B的函數為例，它最多可以有4個標準積項：和AB。諸如 等形式的乘積項都不是標準積項。第79頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六標準積項有時也稱為“最小項(Minterm)”，并用小寫英文字母m加序號下標i的形式來簡記。序號i的確定方法是，將最小項中的變量按序排列后，原變量用1表示，反變量用0表示，得到1組二進制數，將其轉換為等值的十進制數，就是序號i。例如，二變量函數F(A,B)的4個最小項為第80頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六全部由標準積項邏輯加構成的“積之和(SOP)”邏輯表達式稱為“標準積之和式(CanonicalSOPExpression)”或“標準與或式”。由于標準積項也稱為最小項，所以有時也把標準積之和式稱為“最小項表達式”。例如，下面就是一個三變量邏輯函數F(A,B,C)的“標準積之和式”的三種表示形式：(變量型)(m型)(Σm型)第81頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)標準和之積式在邏輯代數中，全部輸入變量均以原變量或反變量的形式出現1次且僅出現1次的“和項(或項)”稱為“標準和項”。n個變量的邏輯函數最多可以有2n個標準和項。以兩個變量A、B的函數為例，它最多可以有4個標準和項： 和A+B。諸如A、等形式的和項都不是標準和項。第82頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六標準和項有時也稱為“最大項(Maxterm)”，并用大寫英文字母M加序號下標i的形式來簡記。序號i的確定方法是，將最大項中的變量按序排列后，原變量用0表示，反變量用1表示，得到1組二進制數，將其轉換為等值的十進制數，就是序號i。例如，二變量函數F(A,B)的4個最大項為第83頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六全部由標準和項邏輯乘后構成的“和之積(POS)”邏輯表達式稱為“標準和之積式(CanonicalPOSExpression)”或“標準或與式”。由于標準和項也稱為最大項，所以有時也把標準和之積式稱為“最大項表達式”。例如，下面就是一個三變量邏輯函數F(A,B,C)的“標準和之積式”的三種表示形式：(變量型)(M型)(∏M型)第84頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六3)最小項與最大項的性質(1)全部最小項之和恒為1，全部最大項之積恒為0，即第85頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(2)任意兩個不同的最小項之積恒為0，任意兩個不同的最大項之和恒為1，即如果i≠j，則有mi·mj=0Mi+Mj=1(3)相同序號的最小項和最大項互為反函數，即第86頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六4)標準積之和式與標準和之積式的關系(1)標準積之和式與標準和之積式是同一函數的兩種不同表示形式，因此二者在本質上是相等的。(2)兩種標準式中的最小項和最大項序號間存在一種互補關系，即標準積之和式中未出現的最小項序號k必以最大項的序號k出現在標準和之積式中，反之亦然。利用這一特性，可以方便地根據一種標準表達式寫出另一種標準表達式。(3)由相同自變量和相同序號構成的最小項表達式與最大項表達式互為反函數。第87頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-19】已知F(A,B,C)=∑m(0,1,4,7)，寫出其最大項表達式。

解三變量函數的最小項或最大項序號可有0、1、2、3、4、5、6、7，現在給定的最小項表達式中出現了序號0、1、4、7，因此，未出現的2、3、5、6等序號必出現在最大項表達式中。所以，最大項表達式為F(A,B,C)=∏M(2,3,5,6)第88頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六下面證明其正確性。第89頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

3.從真值表寫邏輯函數的標準式1)從真值表寫標準積之和式標準積之和式中的最小項與真值表中F=1的各行變量取值一一對應，因此，邏輯函數的標準積之和式就是真值表中使函數值為1的各個最小項之和。由此得出從真值表寫標準積之和式的方法如下：(1)找出F=1的行；(2)對每個F=1的行，取值為1的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，然后取其乘積，得到最小項；(3)將各個最小項進行邏輯加，得到標準積之和式。第90頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)從真值表寫標準和之積式標準和之積式中的最大項與真值表中F=0的各行變量取值一一對應，因此，邏輯函數的標準和之積式就是真值表中使函數值為0的各個最大項之積。由此得出從真值表寫標準和之積式的方法如下：(1)找出F=0的行；(2)對每個F=0的行，取值為0的變量用原變量表示，取值為1的變量用反變量表示，然后取其和，得到最大項；(3)將各個最大項進行邏輯乘，得到標準和之積式。邏輯函數的標準和之積式也可通過下面方法得到：首先寫出的標準積之和式，然后利用摩根定律求出的標準和之積式。第91頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-20】寫出表1-11所示真值表的標準積之和式和標準和之積式。表1-11真值表第92頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

解表1-11實際上就是前面介紹的表決電路真值表。其標準積之和式為其標準和之積式為第93頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六如果首先寫出的標準積之和式，然后利用摩根定律，也可得到標準和之積式為當只需寫出簡記形式的標準積之和式和標準和之積式時，分別將F=1和F=0的各行中自變量取值化為十進制數，就可分別得到標準積之和式中各最小項的序號和標準和之積式中各最大項的序號。實際上，序號也是真值表從0開始編號的行號。第94頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.4.3卡諾圖描述法1.卡諾圖的結構卡諾圖(KarnaughMap)實際上是由真值表變換而來的一種方格圖?？ㄖZ圖上的每一個小方格代表真值表上的一行，因而也就代表一個最小項或最大項。真值表有多少行，卡諾圖就有多少個小方格?？ㄖZ圖不僅是邏輯函數的描述工具，而且還是邏輯函數化簡的重要工具。第95頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1)二變量卡諾圖二變量卡諾圖的結構如圖1-6所示。每個小方格中左上角的數字表明該小方格所表示的真值表中的行號，行號實際上就是真值表中自變量取值的等值十進制數，因而也就是它所代表的最小項或最大項的序號。圖1-6二變量卡諾圖第96頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)多變量卡諾圖圖1-7多變量卡諾圖(a)三變量；(b)四變量；(c)五變量第97頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2.用卡諾圖描述邏輯函數1)從真值表到卡諾圖

【例1-21】用卡諾圖描述表1-12所示真值表的邏輯函數。

解表1-12所示真值表已編有行號，因此，將各行F取值填入三變量卡諾圖編號相同的小方格即可，如圖1-8所示。有時候為了簡潔起見，也可只填0或1。圖1-8例1-21的卡諾圖第98頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六表1-12真值表第99頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六2)從邏輯表達式到卡諾圖標準函數表達式的卡諾圖填寫非常方便。如果是最小項表達式，則只要將最小項表達式中出現的序號對應的卡諾圖編號小方格填入1即可；如果是最大項表達式，則只要將最大項表達式中出現的序號對應的卡諾圖編號小方格填入0即可。當邏輯函數表達式不是標準形式時，可逐項填寫卡諾圖，其方法是：對于“與或型”表達式，每個與項中的原變量用1表示，反變量用0表示，在卡諾圖上找到對應這些變量取值的小方格并填入1；對于“或與型”表達式，每個或項中的原變量用0表示，反變量用1表示，在卡諾圖上找到對應這些變量取值的小方格并填入0。全部的“與項”或“或項”填寫完畢后，卡諾圖即填寫完畢。其他類型邏輯函數的卡諾圖可以類似填寫。第100頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-22】用卡諾圖分別描述下列邏輯函數。Y(A,B,C)=∑m(0,1,2,6)Z(A,B,C)=∏M(1,2,4,5)

解函數Y和Z的卡諾圖如圖1-9所示。圖1-9例1-22的卡諾圖(a)Y；(b)Z第101頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-23】分別將下列邏輯函數填入卡諾圖并寫出各自的標準表達式。

解Y的卡諾圖如圖1-10（a）所示。其中，Y的第一個與項A填出卡諾圖第二行左側的兩個1，Y的第二個與項C填出卡諾圖中間兩列的四個1。Z的卡諾圖如圖1-10（b）所示。其中，Z的第一個或項+B填出卡諾圖第二行左側的兩個0，Z的第二個或項填出卡諾圖中間兩列的四個0。第102頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-10例1-23的卡諾圖(a)Y；(b)Z第103頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六Y和Z的標準表達式分別為第104頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.5邏輯函數的化簡1.5.1邏輯函數最簡的標準邏輯函數“最簡”的標準與函數本身的類型有關。類型不同，“最簡”的標準也有所不同。這里以最常用的“與或型”表達式為例來介紹“最簡”的標準。一般而言，“與或型”邏輯函數需要同時滿足下列兩個條件，方可稱為“最簡”：(1)與項最少；(2)每個與項中的變量數最少。第105頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六與項最少，可以使電路實現時所需的邏輯門的個數最少；每個與項中的變量數最少，可以使電路實現時所需邏輯門的輸入端個數最少。這樣就可以保證電路最簡、成本最低。對于其他類型的電路，也可以得出類似的“最簡”標準。例如“或與型”表達式，其“最簡”的標準可以變更為：或項最少及每個或項中的變量數最少。需要指出的是，同一類型的邏輯函數表達式有時候可能會有簡單程度相同的多個最簡式。這與化簡時所使用的方法有關。第106頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.5.2代數法化簡邏輯函數直接利用邏輯代數的基本公式，通過并項(如、消項(如A+AB=A)、消元(如)、配項(如)等多種手段消去邏輯函數中多余的項或變量，以實現邏輯函數最簡化的方法，稱為代數化簡法或公式化簡法。第107頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-24】利用邏輯代數的基本公式將下面邏輯函數化簡為最簡與或非式。解第108頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-25】用代數法化簡邏輯函數解第109頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六1.5.3邏輯函數的卡諾圖化簡法1.卡諾圖化簡邏輯函數的原理

根據邏輯代數的吸收定律：可知，任意兩個只有一個變量取值不同的最小項或最大項結合，都可以消去取值不同的那個變量而合并為一項。而卡諾圖上任意兩個在幾何位置上相鄰或與中心軸對稱的小方格代表的最小項或最大項都只有一個變量取值不同，因此，它們可以結合在一起，消除取值不同的那個變量而合并為一項。第110頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

2.卡諾圖上合并最小項(最大項)的規(guī)律(1)2個相鄰的最小項(最大項)結合，可以消去1個取值不同的變量而合并為1項，如圖1-11和圖1-12所示；圖1-11兩個最小項結合第111頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-12兩個量大項結合第112頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(2)4個相鄰的最小項(最大項)結合，可以消去2個取值不同的變量而合并為1項，如圖1-13和圖1-14所示；圖1-134個最小項結合第113頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-144個最大項結合第114頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(3)8個相鄰的最小項(最大項)結合，可以消去3個取值不同的變量而合并為1項，如圖1-15和圖1-16所示；圖1-158個最小項結合第115頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-168個最大項結合第116頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(4)一般結論：2n個相鄰的最小項(最大項)結合，可以消去n個取值不同的變量而合并為1項。一個最小項(最大項)可以根據需要多次使用(因為A=A+A，A=AA)。第117頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

3.卡諾圖上合并最小項(最大項)的原則為了保證在卡諾圖上將邏輯函數化簡到最簡，畫卡諾圈時應該遵循以下原則：(1)從只有一種圈法或最少圈法的項開始。(2)圈要盡可能大，圈的個數要盡可能少。每個圈內必須是2n個相鄰項，且至少有一個最小項(最大項)為本圈所獨有。(3)卡諾圖上所有的最小項(最大項)均被圈過。第118頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六4.卡諾圖上化簡邏輯函數的步驟(1)畫圖：根據給定真值表或邏輯表達式中顯示的變量個數，畫出相應的卡諾圖。(2)填圖：根據給定真值表或邏輯表達式填寫卡諾圖。為簡便起見，可以只填1或0。(3)畫圈：根據前述化簡原則，畫出所有的卡諾圈。求“最簡與或式”時，圈1；求“最簡或與式”時，圈0。第119頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六(4)讀圖：無論是圈0還是圈1，各個卡諾圈中取值不同的變量都將消去，只需讀出取值相同的那些變量即可。如果是圈1，取值為1的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，取這些變量的乘積，即得該卡諾圈化簡后的“最簡積項”；將所有圈的“最簡積項”邏輯加，即得“最簡與或式”或“最簡積之和式”。如果是圈0，取值為0的變量用原變量表示，取值為1的變量用反變量表示，取這些變量的和，即得該卡諾圈化簡后的“最簡和項”；將所有圈的“最簡和項”邏輯乘，即得“最簡或與式”或“最簡和之積式”。第120頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六

5.化簡舉例【例1-26】用卡諾圖化簡邏輯函數，寫出其最簡與或式。解卡諾圖如圖1-17所示。由圖中可見，第三列的兩個1均有兩種圈法，而第二列和第四列的1都只有一種圈法，因此應從第二列或第四列的1開始圈。如果從第三列的兩個1開始圈，很可能會增加第三列的一個圈。由此讀出最簡與或式為此化簡結果與直接利用包含律得到的結果相同。第121頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-17例1-26的卡諾圖第122頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六圖1-18例1-27的卡諾圖第123頁，共143頁，2023年，2月20日，星期六【例1-27】用卡諾圖化簡邏輯函數，寫出其最簡或與式。

解卡諾圖如圖1-18所示。由圖中可見，除了第一列和第四列的0只有一種圈法外，其余的三個0均有兩種圈法，因此應從第一列或第四列的0開始圈。這兩個圈圈過后，剩下第一行左側的0未圈。圈這個0的方法有兩種，一種是與下方的0圈在一起（如實線框所示），另一種是