無窮小量與無窮大量階的比較

無窮小量與無窮大量階的比較第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六注意1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的變化過程；2.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六無界，不是無窮大．第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六證第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六極限運算法則的證明定理證由無窮小運算法則,得第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六有界，注①此定理對于數(shù)列同樣成立②此定理證明的基本原則：③(1),(2)可推廣到任意有限個具有極限的函數(shù)④(2)有兩個重要的推論第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六四、無窮小的比較例如,觀察各極限不可比.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六定義:第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例1解例2解第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六常用等價無窮小:注上述10個等價無窮?。òǚ?、對、冪、指、三）必須熟練掌握第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:一般地有即α與β等價α與β互為主要部分例如,第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六補充高階無窮小的運算規(guī)律第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六五、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證意義求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例3解注意不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.等價關(guān)系具有：自反性，對稱性，傳遞性第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例4解錯解第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例5解第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例6求解一解二第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六解三例7求解第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六關(guān)于1∞型極限的求法第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.六、小結(jié)第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六3.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.4.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.作業(yè)P66:1,2,3,5,6..第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六思考題1思考題2在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？第34頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六思考題1解答不能保證.例有思考題2解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．第35頁，共36頁，2023年，2