態(tài)和力學(xué)量表象

態(tài)和力學(xué)量表象第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六本章目的：給出各種方式平行描述體系狀態(tài)，力學(xué)量等方案----表象找出不同表象之間的相互關(guān)系和變換規(guī)則----幺正變換建立另外一套解薛定諤方程的方案---Dirac算符引進(jìn)產(chǎn)生，湮滅算符重新討論諧振子第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）動(dòng)量表象（二）力學(xué)量表象（三）討論§1態(tài)的表象第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六在坐標(biāo)表象中，體系的狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(x,t)描寫，這樣一個(gè)態(tài)如何用動(dòng)量為變量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹。動(dòng)量本征函數(shù)：假設(shè)Ψ(x,t)是歸一化波函數(shù)，則C(p,t)也是歸一。命題證（一）動(dòng)量表象第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動(dòng)量所得結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的幾率。|Ψ(x,t)|2dx是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果在x→x+dx范圍內(nèi)的幾率。Ψ(x,t)與C(p,t)一一對(duì)應(yīng)，描述同一狀態(tài)。Ψ(x,t)是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)；而C(p,t)就是該狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)。C(p,t)物理意義第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六那末，在任一力學(xué)量Q表象中，Ψ(x,t)所描寫的態(tài)又如何表示呢？推廣上述討論：因此可以對(duì)任何力學(xué)量Q都建立一種表象，稱為力學(xué)量Q表象。問題（1）具有分立本征值的情況（2）含有連續(xù)本征值情況（二）力學(xué)量表象第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）具有分立本征值的情況設(shè)算符Q的本征值為：Q1,Q2,...,Qn,...，相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...。將Ψ(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：若Ψ,un都是歸一化的，則an(t)也是歸一化的。證：由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的狀態(tài)中測量Q得Qn的幾率。a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描寫狀態(tài)在Q表象中的表示。寫成矩陣形式第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六共軛矩陣歸一化可寫為第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（2）含有連續(xù)本征值情況設(shè)力學(xué)量Q的本征值和本征函數(shù)分別為：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)則歸一化則變?yōu)椋簗an(t)|2是在Ψ(x,t)態(tài)中測量力學(xué)量Q所得結(jié)果為Qn

的幾率；|aq(t)|2dq是在Ψ(x,t)態(tài)中測量力學(xué)量Q所得結(jié)果在q→q+dq之間的幾率。在這樣的表象中，Ψ仍可以用一個(gè)列矩陣表示：歸一化仍可表為：Ψ+Ψ=1第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六這類似于一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量A在直角坐標(biāo)系由三分量AxAyAz描述；在球坐標(biāo)系用三分量ArAA描述。AxAyAz和Ar,A,A

形式不同，但描寫同一矢量A。（三）討論第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六波函數(shù)是態(tài)矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有無限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。所以我們可以把狀態(tài)Ψ看成是一個(gè)矢量——態(tài)矢量。選取一個(gè)特定力學(xué)量Q表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系，u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量簡稱基矢。第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）力學(xué)量算符的矩陣表示（二）Q表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì)（三）Q有連續(xù)本征值的情況§２算符的矩陣表示返回第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六坐標(biāo)表象：Q表象：代入（一）力學(xué)量算符的矩陣表示第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六Q表象的表達(dá)方式F在Q表象中是一個(gè)矩陣，F(xiàn)nm是其矩陣元Φ=FΨ簡寫成寫成矩陣形式第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六寫成矩陣?yán)?：求Lx在L2,Lz共同表象，=1子空間中的矩陣表示。令：u1=Y11u2=Y10,u3=Y1-1

Lx矩陣是3×3矩陣計(jì)算中使用了公式由此得Lx矩陣元(Lx)11=(Lx)22=(Lx)33=0(Lx)13=(Lx)31=0(Lx)12=(Lx)21=(Lx)23=(Lx)32=/21/2Lz在自身表象中具有最簡單形式，是一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是Lz的本征值。

同理可得LyLz則Lx的矩陣元可如下計(jì)算：第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）力學(xué)量算符用厄密矩陣表示所以厄密算符的矩陣表示是一厄密矩陣。例2：在例1中給出了Lx,Ly在L2,Lz表象中的矩陣形式，下面我們驗(yàn)證一下這兩個(gè)矩陣是厄密矩陣。厄密矩陣（二）Q表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì)第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（2）力學(xué)量算符在自身表象中的形式Q的矩陣形式結(jié)論：算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是算符的本征值。第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）只有連續(xù)本征值如果Q只有連續(xù)本征值q，上面的討論仍然適用，只需將u,a,b的角標(biāo)從可數(shù)的n,m換成連續(xù)變化的q，求和換成積分，見下表。分立譜連續(xù)譜算符F在Q表象仍是一個(gè)矩陣，矩陣元由下式確定：只是該矩陣的行列是不是可數(shù)的，而是用連續(xù)下標(biāo)表示（三）Q有連續(xù)本征值的情況第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）平均值公式（二）本征方程（三）Schrodinger方程的矩陣形式返回§3量子力學(xué)公式的矩陣表述第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六坐標(biāo)表象平均值公式在Q表象中式右寫成矩陣相乘形式簡寫成（一）平均值公式第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六寫成矩陣形式表成顯式整理改寫上式是一個(gè)齊次線性方程組方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一組λ值：λ1,λ2,...,λn,....就是F的本征值。將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應(yīng)于各λi的本征矢于是求解微分方程的問題就化成了求解代數(shù)方程根的問題。（二）本征方程第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六例1：?本征函數(shù)um(x)在自身表象中的矩陣表示。同樣將um(x)按?的本征函數(shù)展開：顯然有所以u(píng)m(x)在自身表象中的矩陣表示如下：例如：L2,Lz的共同本征函數(shù)Y11,Y10,Y1-1.在L2,Lz的共同表象中的矩陣形式就特別簡單。例2：求Lx本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。Lx的本征方程為：解欲得a1,a2,a3不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零λ(-λ2+2)=0

解得本征值λ=0,±.第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六取λ=代入本征方程得：解得：a1=(1/21/2)a2a3=(1/21/2)a2

由歸一化條件定a2為簡單計(jì)取實(shí)數(shù)同理得另外兩個(gè)本征值相應(yīng)本征函數(shù)則=1,Lx=的本征態(tài)可記為：第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六寫到Q表象按力學(xué)量算符Q的本征函數(shù)展開左乘um*(t)對(duì)x整個(gè)空間積分ΨH都是矩陣簡寫（三）Schrodinger方程的矩陣形式第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六§4Dirac符號(hào)(一）引(二)態(tài)矢量（三）算符（四）總結(jié)返回第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六前四章給出的都是X-表象中的形式，本章中給出了任一力學(xué)量Q-表象中的形式，它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間,即某一具體的力學(xué)量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定表象，正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量形式A來表示一個(gè)矢量，而不用具體坐標(biāo)系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一樣。量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以該方法所使用的符號(hào)稱為Dirac符號(hào)。(一）引第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）右矢空間前面已經(jīng)講過，一個(gè)狀態(tài)通過一組力學(xué)量完全集的測量（完全測量）來確定，通常用所測得的力學(xué)量的量子數(shù)來確定。例如：一維線性諧振子其狀態(tài)由量子數(shù)n

確定，記為ψn(x)；氫原子的狀態(tài)由量子數(shù) n,l,m確定，記為ψnlm(r,,)，如此等等。在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個(gè)矢量|>與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，該矢量稱為右矢。|n>ψn(x)；|n,l,m>ψnlm狀態(tài)|n>和ψn(x)亦可分別記成|ψn>和|ψnlm>。對(duì)力學(xué)量的本征態(tài)可表示為|x>,|p>,|Qn>...等。 因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡稱基矢）。右矢空間的任一矢量|ψ>可按該空間的某一完備基矢展開。例如：(二)態(tài)矢量第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（2）左矢空間右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量，記為<|。例如：Dirac符號(hào)右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g，<ψ|和|ψ>稱為伴矢量。<p’|,<x’|,<Qn|組成左矢空間的完備基組，任一左矢量可按其展開，即左矢空間的任一矢量可按左矢空間的完備基矢展開。第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（3）伴矢量|ψ>和<ψ|的關(guān)系|ψ>按Q的左基矢|Qn>展開|ψ>=a1|Q1>+a2|Q2>+...+an|Qn>+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：<ψ|按Q的左基矢<Qn|展開：<ψ|=a*1<Q1|+a*2<Q2|+...+a*n<Qn|+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：ψ+=(a*1,a*2,...,a*n,...)同理某一左矢量<φ|亦可按Q的左基矢展開：<φ|=b*1<Q1|+b*2<Q2|+...+b*n<Qn|+...定義|ψ>和<φ|的標(biāo)積為：顯然<φ|ψ>*=<ψ|φ>這就是用Dirac表示的波函數(shù)歸一化條件。由標(biāo)積定義得:第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六本征態(tài)的正交歸一化條件可寫為：由此可以看出|ψ>和<ψ|的關(guān)系：1）在同一確定表象中，各分量互為復(fù)共軛；2）由于二者屬于不同空間所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加；3）右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進(jìn)行標(biāo)積運(yùn)算，其結(jié)果為一復(fù)數(shù)。（4）本征函數(shù)的封閉性展開式兩邊左乘<Qm|得:將an代回原式得：因?yàn)閨ψ>是任意態(tài)矢量，所以成立。本征矢|Qn>的封閉性I分立譜第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)于連續(xù)譜|q>，q取連續(xù)值，任一狀態(tài)|ψ>展開式為：II連續(xù)譜同理，對(duì)于

|x’>和|p'>分別有這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。由于所以它們也稱為單位算符，在運(yùn)算中可插入（乘到）公式任何地方而不改變原公式的正確性。例如：在|ψ>左側(cè)插入算符同理即得態(tài)矢按各種力學(xué)量本征矢的展開式第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六投影算符|Qn><Qn|或|q><q|的作用相當(dāng)一個(gè)算符，它作用在任一態(tài)矢|ψ>上，相當(dāng)于把|ψ>投影到左基矢|Qn>或|q>上，即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在|Qn>上的分量<Qn|ψ>或<q|ψ>。故稱|Qn><Qn|和|q><q|為投影算符。第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六(1)右矢空間在抽象的Dirac表象 Dirac符號(hào)的特點(diǎn)是簡單靈活。如果欲把上式寫至Q表象，則只需在適當(dāng)位置插入單位算符。左乘<Qm|把公式變到Q表象算符F在Q表象中的矩陣表示的矩陣元Fmn寫成矩陣形式

ψ=FφQ表象X表象（三）算符第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六平均值公式插入單位算符（2）共軛式（左矢空間）表明量子力學(xué)中的力學(xué)量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。若F是厄密算符第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）X表象描述與Dirac符號(hào)Dirac符號(hào)

項(xiàng)目X表象（四）總結(jié)第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（2）左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系左矢空間右矢空間（3）厄密共軛規(guī)則由常量C、左矢、右矢和算符組成的表示式，求其厄密共軛式的表示規(guī)則1）把全部次序整個(gè)顛倒2）作如下代換：常量CC*<|左矢右矢|>

|><|例如第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）引言（二）H-F定理（三）實(shí)例§5Hellmann-Feynman 定理及應(yīng)用返回第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六 關(guān)于量子力學(xué)體系能量本征值問題，有不少定理，其中應(yīng)用最廣泛的要數(shù)Hellmann-Feynman定理（簡稱H-F定理）該定理的內(nèi)容涉及能量本征值及各種力學(xué)量平均值隨參數(shù)變化的規(guī)律。（1）當(dāng)體系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出關(guān)于 各種力學(xué)量平均值的許多信息，而不必利用波函數(shù)去進(jìn) 行煩瑣的計(jì)算；（2）利用H-F定理可以很巧妙地推出維里定理。（一）引言第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)體系的Hamilton量H中含有某參量λ，En是H的本征值，ψn是歸一的束縛態(tài)本征函數(shù)（n為一組量子數(shù)），則證據(jù)題設(shè)，ψn滿足本征值方程：其共軛方程為：對(duì)λ求導(dǎo)數(shù)并左乘<ψn|得：<ψn|ψn>=1

[證畢]由共軛方程知，上式等號(hào)左邊第二項(xiàng)為0，H-F定理很有實(shí)用價(jià)值，H中的μ,等都可以選為參數(shù)λ。（二）H-F定理第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）證明一維諧振子<V>=<p2/2μ>。證一維諧振子Hamilton量：方法I：取μ作為參數(shù)λ由HF定理簡記為（三）實(shí)例第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六方法II令λ=ω由HF定理第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）算符a,a+,N.（二）占有數(shù)表象返回§6占有數(shù)表象第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六本節(jié)我們從新的角度討論這一問題，引進(jìn)占有數(shù)表象。（2）定義新算符a,a+,N.令

證明二者滿足如下對(duì)易關(guān)系（一）算符a,a+,N.（1）坐標(biāo)表象下的線性諧振子第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六證[證畢]第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（3）用算符a,a+表示振子Hamilton量由a,a+定義式將算符x,p用新算符a,a+表示出來代入振子Hamilton量2=/第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（4）a,a+,N的物理意義I.a,a+的物理意義將a作用在能量本征態(tài)ψn(αx)上由ψn的遞推公式用Dirac符號(hào)表示其中|n>,|n-1>,|n+1>等都是H的本征基矢，En,En-1,En+1。是相應(yīng)本征值。因?yàn)檎褡幽芰恐荒芤驭貫閱挝蛔兓?，所以ω能量單位可以看成是一個(gè)粒子，稱為“聲子”。狀態(tài)|n>表示體系在此態(tài)中有n個(gè)粒子（聲子）稱為n個(gè)聲子態(tài)。粒子湮滅算符粒子產(chǎn)生算符顯然有振子基態(tài)的基矢第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六用產(chǎn)生算符a+表示的振子基矢II.N的意義 上式表明，n是N算符的本征值，描寫粒子的數(shù)目，故N稱為粒子數(shù)算符。第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六以|n>為基矢的表象稱為占有數(shù)表象湮滅算符a的矩陣元

矩陣形式為：產(chǎn)生算符a+的矩陣元

（二）占有數(shù)表象第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（一）不同表象之間的變換和么正變換矩陣（二）波函數(shù)和算符的變換關(guān)系（三）么正變換的性質(zhì)§7么正變換矩陣返回第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（1）么正變換矩陣力學(xué)量A,B其本征方程分別為:由于本征基矢的封閉性B基矢可按A的基矢展開：展開系數(shù)：（一）不同表象之間的變換和么正變換矩陣第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六寫成矩陣形式（2）S矩陣的么正性1）S+S=I2）SS+=IS+S=SS+→S+=S-1所以第51頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六（3）如何求么正變換矩陣方法I：由S矩陣元的定義式：計(jì)算出全部矩陣元即可得到S矩陣。方法II：由表達(dá)式可知，S矩陣元Skβ,n=1,2,3,...即是基矢|φβ>在A表象中的表示，即反之，如果我們已經(jīng)知道了某一力學(xué)量基矢在另一力學(xué)量表象中的表示，那末我們就可以直接把S變換矩陣寫出來。為清楚簡單起見，假設(shè)：A和B的本征矢各只有3個(gè)，分別為:|ψ1>,|ψ2>,|ψ3>和|φ1>,|φ2>,|φ3>。|φ1>=S11|ψ1>+S21|ψ2>+S31|ψ3>|φ2>=S12|ψ1>+S22|ψ2>+S32|ψ3>|φ3>=S13|ψ1>+S23|ψ2>+S33|ψ3>如果|φβ>,(β=1,2,3)在A表象中的表示已知：第52頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六在A表象中，B的本征基矢可表示為：將三列矩陣元按原列次序組成一個(gè)新矩陣：就是由A表象到B表象的么正變換