數(shù)學建模數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析

數(shù)學建模數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析2023/4/21數(shù)學建模1第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六實驗目的實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學軟件包求解統(tǒng)計問題。1、直觀了解統(tǒng)計基本內(nèi)容。1、統(tǒng)計的基本理論。3、實驗作業(yè)。2、用數(shù)學軟件包求解統(tǒng)計問題。第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模3統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設檢驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模4一、統(tǒng)計量第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模5第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模6二、分布函數(shù)的近似求法第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模7三、幾個在統(tǒng)計中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41．正態(tài)分布),(2smN密度函數(shù)：222)(21)(smsp--=xexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(smsp--￥-ò=其中m為均值，2s為方差，+￥<<￥-x.標準正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-￥-ò=Fp，

分布函數(shù)第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模8第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模9第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模10返回F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模11參數(shù)估計第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模12一、點估計的求法(一）矩估計法第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模13(二）極大似然估計法第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模14二、區(qū)間估計的求法第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模151、已知DX，求EX的置信區(qū)間2．未知方差DX，求EX的置信區(qū)間(一)數(shù)學期望的置信區(qū)間（二）方差的區(qū)間估計返回第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模161.參數(shù)檢驗：如果觀測的分布函數(shù)類型已知，這時構(gòu)造出的統(tǒng)計量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗稱為參數(shù)檢驗.參數(shù)檢驗的目的往往是對總體的參數(shù)及其有關性質(zhì)作出明確的判斷.

對總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法，檢驗這種假設是否正確，從而決定接受假設或拒絕假設.假設檢驗2.非參數(shù)檢驗：如果所檢驗的假設并非是對某個參數(shù)作出明確的判斷，因而必須要求構(gòu)造出的檢驗統(tǒng)計量的分布函數(shù)不依賴于觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗叫非參數(shù)檢驗.如要求判斷總體分布類型的檢驗就是非參數(shù)檢驗.第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模17假設檢驗的一般步驟是：第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模18（一）單個正態(tài)總體均值檢驗一、參數(shù)檢驗第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模19第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模20（二）單個正態(tài)總體方差檢驗第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六（三）兩個正態(tài)總體均值檢驗第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六（四）兩個正態(tài)總體方差檢驗第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模23二、非參數(shù)檢驗（二）概率紙檢驗法概率紙是一種判斷總體分布的簡便工具.使用它們，可以很快地判斷總體分布的類型.概率紙的種類很多.返回第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模24統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用2.基本統(tǒng)計量3.常見概率分布的函數(shù)4.頻數(shù)直方圖的描繪5.參數(shù)估計6.假設檢驗7.綜合實例返回第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模25一、數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用例1上海市區(qū)社會商品零售總額和全民所有制職工工資總額的數(shù)據(jù)如下統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模261、年份數(shù)據(jù)以1為增量，用產(chǎn)生向量的方法輸入。命令格式：x=a:h:bt=78:872、分別以x和y代表變量職工工資總額和商品零售總額。

x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4]y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]3、將變量t、x、y的數(shù)據(jù)保存在文件data中。savedatatxy4、進行統(tǒng)計分析時，調(diào)用數(shù)據(jù)文件data中的數(shù)據(jù)。loaddataToMATLAB(txy)方法1第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模271、輸入矩陣：data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]2、將矩陣data的數(shù)據(jù)保存在文件data1中：savedata1data3、進行統(tǒng)計分析時，先用命令：loaddata1

調(diào)用數(shù)據(jù)文件data1中的數(shù)據(jù)，再用以下命令分別將矩陣data的第一、二、三行的數(shù)據(jù)賦給變量t、x、y：t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要調(diào)用矩陣data的第j列的數(shù)據(jù)，可用命令：data(:,j)方法2ToMATLAB(data)返回第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模28二、基本統(tǒng)計量對隨機變量x，計算其基本統(tǒng)計量的命令如下：均值：mean(x)中位數(shù)：median(x)標準差：std(x)

方差：var(x)偏度：skewness(x)

峰度：kurtosis(x)例對例1中的職工工資總額x，可計算上述基本統(tǒng)計量。ToMATLAB(tjl)返回第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模29三、常見概率分布的函數(shù)Matlab工具箱對每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值與方差：stat隨機數(shù)生成：rnd（當需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.）第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模30在Matlab中輸入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1、密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma)(當mu=0,sigma=1時可缺省)ToMATLAB(liti2)如對均值為mu、標準差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模31ToMATLAB(liti3)3、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出x，使得P{X<x}=P.此命令可用來求分位數(shù).2、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)ToMATLAB(liti4)第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模32ToMATLAB(liti5)4、均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正態(tài)分布N(3,52)的均值與方差.命令為：[m,v]=normstat(3,5)結(jié)果為：m=3,v=255、隨機數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n).產(chǎn)生mn階的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣.例6命令：M=normrnd([123;456],0.1,2,3)結(jié)果為：M=0.95672.01252.88543.83345.02886.1191ToMATLAB（liti6）此命令產(chǎn)生了23的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣，各數(shù)分別服從N(1,0.12),N(2,22),N(3,32),N(4,0.12),N(5,22),N(6,32)返回第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模331、給出數(shù)組data的頻數(shù)表的命令為：

[N,X]=hist(data,k)此命令將區(qū)間[min(data),max(data)]分為k個小區(qū)間（缺省為10），返回數(shù)組data落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個小區(qū)間的中點X.2、描繪數(shù)組data的頻數(shù)直方圖的命令為：

hist(data,k)四、頻數(shù)直方圖的描繪返回第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模34五、參數(shù)估計1、正態(tài)總體的參數(shù)估計設總體服從正態(tài)分布，則其點估計和區(qū)間估計可同時由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令在顯著性水平alpha下估計數(shù)據(jù)X的參數(shù)（alpha缺省時設定為0.05），返回值muhat是X的均值的點估計值，sigmahat是標準差的點估計值,muci是均值的區(qū)間估計,sigmaci是標準差的區(qū)間估計.第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模352、其它分布的參數(shù)估計有兩種處理辦法:一.取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；二.使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計命令.（1）[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點估計及其區(qū)間估計.（2）[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)-----在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點估計及其區(qū)間估計.（3）[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點估計及其區(qū)間估計.返回第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模36六、假設檢驗在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進行假設檢驗.1、總體方差sigma2已知時，總體均值的檢驗使用z-檢驗

[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù)x的關于均值的某一假設是否成立，其中sigma為已知方差，alpha為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于tail的取值：tail=0，檢驗假設“x的均值等于m”tail=1，檢驗假設“x的均值大于m”tail=-1，檢驗假設“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設，h=0表示不可以拒絕假設，sig為假設成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模37

例7Matlab統(tǒng)計工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat.中提供了美國1993年一月份和二月份的汽油平均價格（price1,price2分別是一，二月份的油價，單位為美分），它是容量為20的雙樣本.假設一月份油價的標準偏差是一加侖四分幣（=4），試檢驗一月份油價的均值是否等于115.解作假設：m=115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令：loadgas然后用以下命令檢驗[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)返回：h=0，sig=0.8668，ci=[113.3970116.9030].檢驗結(jié)果:1.布爾變量h=0,表示不拒絕零假設.說明提出的假設均值115是合理的.2.sig-值為0.8668,遠超過0.5,不能拒絕零假設3.95%的置信區(qū)間為[113.4,116.9],它完全包括115,且精度很高..

ToMATLAB（liti7）第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模382、總體方差sigma2未知時，總體均值的檢驗使用t-檢驗[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù)x的關于均值的某一假設是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于tail的取值：tail=0，檢驗假設“x的均值等于m”tail=1，檢驗假設“x的均值大于m”tail=-1，檢驗假設“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設，h=0表示不可以拒絕假設，sig為假設成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模39返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=[116.8120.2].檢驗結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設.說明提出的假設油價均值115是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[116.8120.2],它不包括115,故不能接受假設.3.sig-值為4.9517e-004,遠小于0.5,不能接受零假設.

ToMATLAB（liti8）例8試檢驗例8中二月份油價Price2的均值是否等于115.解作假設：m=115，price2為二月份的油價，不知其方差，故用以下命令檢驗[h,sig,ci]=ttest(price2,115)第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模403、兩總體均值的假設檢驗使用t-檢驗

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù)x，y的關于均值的某一假設是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于tail的取值：tail=0，檢驗假設“x的均值等于y的均值”tail=1，檢驗假設“x的均值大于y的均值”tail=-1，檢驗假設“x的均值小于y的均值”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設，h=0表示不可以拒絕假設，sig為假設成立的概率，ci為與x與y均值差的的1-alpha置信區(qū)間.第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模41返回：h=1，sig=0.0083，ci=[-5.8,-0.9].檢驗結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設.說明提出的假設“油價均值相同”是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[-5.8,-0.9],說明一月份油價比二月份油價約低1至6分.3.sig-值為0.0083,遠小于0.5,不能接受“油價均相同”假設.ToMATLAB（liti9）例9試檢驗例8中一月份油價Price1與二月份的油價Price2均值是否相同.解用以下命令檢驗[h,sig,ci]=ttest2(price1,price2)第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模424、非參數(shù)檢驗：總體分布的檢驗Matlab工具箱提供了兩個對總體分布進行檢驗的命令:（1）h=normplot(x)（2）h=weibplot(x)此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài).此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形態(tài).返回第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模43例10一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)故障.故障是完全隨機的，并假定生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障機會均相同.工作人員是通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障紀錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下：459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851試觀察該刀具出現(xiàn)故障時完成的零件數(shù)屬于哪種分布.第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模44解1、數(shù)據(jù)輸入ToMATLAB（liti101）2、作頻數(shù)直方圖hist(x,10)3、分布的正態(tài)性檢驗normplot(x)4、參數(shù)估計：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)（看起來刀具壽命服從正態(tài)分布）（刀具壽命近似服從正態(tài)分布）估計出該刀具的均值為594，方差204，均值的0.95置信區(qū)間為[553.4962，634.5038]，方差的0.95置信區(qū)間為[179.2276，237.1329].ToMATLAB（liti104）ToMATLAB（liti102）ToMATLAB（liti103）第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/21數(shù)學建模455、假設檢驗ToMATLAB（lit