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文檔簡介
1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,AC和BD相交于點E,且DC2=CE?CA.(1)求證:BC=CD;(2)分別延長AB,DC交于點P,過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F,若PB=OB,CD=,求DF的長.2.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F.切點為G,連接AG交CD于K.
(1)求證:KE=GE;
(2)若=KD·GE,試判斷AC與EF的位置關系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=,求FG的長.3.如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB于點F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=,BE=7,求線段PC的長.
1.【解答】:(1)證明:∵DC2=CE?CA,∴=,△CDE∽△CAD,∴∠CDB=∠DBC,∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴BC=CD;(2)解:如圖,連接OC,∵BC=CD,∴∠DAC=∠CAB,又∵AO=CO,∴∠CAB=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴AD∥OC,∴=,∵PB=OB,CD=,∴=∴PC=4又∵PC?PD=PB?PA∴PA=4也就是半徑OB=4,在RT△ACB中,AC===2,∵AB是直徑,∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中,設FD=x,則AF=,∴在RT△APF中有,,求得DF=.2解:(1)如答圖1,連接OG.
∵EG為切線,∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由為:
連接GD,如答圖2所示.
∵KG2=KDGE,即=,
∴=,又∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,又∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;
(3)連接OG,OC,如答圖3所示.
sinE=sin∠ACH=,設AH=3t,則AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK﹣CH=t.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=()2,
解得t=.
設⊙O半徑為r,
在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r﹣3t)2+(4t)2=r2,解得r=t=.
∵EF為切線,∴△OG
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