重慶南州中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

重慶南州中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題，使得；，使得．以下命題為真命題的為()A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2且斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為(

)A. B. C. D.參考答案：C分析：根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長(zhǎng)，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則的坐標(biāo)為，過(guò)且斜率為的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長(zhǎng)，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.3.已知

則A．

B.

C.

D.參考答案：A4.對(duì)拋物線y2=4x，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為（0，1） B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為（1，0） D．開口向右，焦點(diǎn)為參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程為y2=4x，先定位再定量．【解答】解：∵拋物線方程為y2=4x，∴拋物線分布在一二象限，可得它的開口向右；又∵2p=4，∴=1，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．綜上所述，拋物線y2=4x開口向右，焦點(diǎn)為（1，0）．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的開口方向與焦點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5.已知A，B是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，M是E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為﹣，則E的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出M坐標(biāo)，由直線AM，BM的斜率之積為﹣得一關(guān)系式，再由點(diǎn)M在橢圓上變形可得另一關(guān)系式，聯(lián)立后結(jié)合隱含條件求得E的離心率．【解答】解：由題意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)M（x0，y0），∴，則，整理得：，①又，得，即，②聯(lián)立①②，得，即，解得e=．故選：D．6.集合（其中是虛數(shù)單位）中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．無(wú)窮多個(gè)參考答案：C7.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1-t,1-t,t),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,t,t),則A與B兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得后，從而可得其虛部.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及其復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部是，不是，這是復(fù)數(shù)概念中的易錯(cuò)題.9.設(shè)，則的值為（）．A．15 B．16 C．1 D．－15參考答案：A在中，令，可得，再令可得，所以．故選．10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).設(shè)a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，則a，b，c三者的大小關(guān)系是A.a<b<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a參考答案：B由f(x)＝f(2－x)可得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(3)＝f(－1).又當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，則f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增.所以f(－1)<f(0)<f.即c<a<b，故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為(k1≠0)，直線OP的斜率為，則的值等于________.參考答案：略12.已知直線:和圓C:，則直線與圓C的位置關(guān)系為

．參考答案：相切13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1

F2，以F1F2為直徑的圓與橢圓在y軸左側(cè)的部分交于A,B兩點(diǎn)，且ΔF2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為-______參考答案：-1略14.的值等于__________；參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式.【答案解析】解析：解：由誘導(dǎo)公式可得：，故答案為：.【思路點(diǎn)撥】直接使用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)在求值即可.15.在中，,則_____________.參考答案：16.已知隨機(jī)變量的分布列為（如圖所示）：設(shè)的數(shù)學(xué)期望E的值是

。－101P

參考答案：17.直線與直線垂直，則=

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式；CF：幾何概型．【分析】首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件，得到a≥b（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件可以通過(guò)列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù)，求得概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率．【解答】解：設(shè)事件A為“方程有實(shí)根”．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為a≥b（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件共12個(gè)：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，∴事件A發(fā)生的概率為P==（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是19.2019年春節(jié)檔有多部?jī)?yōu)秀電影上映，其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評(píng)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)分情況，得到如下表格：評(píng)價(jià)等級(jí)★★★★★★★★★★★★★★★分?jǐn)?shù)0～2021?4041?6061～8081?100人數(shù)5212675

(1)根據(jù)以上評(píng)分情況，試估計(jì)觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)價(jià)在四星以上(包括四星)的頻率；(2)以表中各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率作為各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的概率，假設(shè)每個(gè)觀眾的評(píng)分結(jié)果相互獨(dú)立.(i)若從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)選取3名，求恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星的概率；(ii)若從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)選取16名，記評(píng)價(jià)為五星的人數(shù)為X，求X的方差.參考答案：（1）（2）(i)(ii)3【分析】（1）從表格中找出評(píng)價(jià)為四星和五星的人數(shù)之和，再除以總數(shù)可得出所求頻率；（2）(i)記事件恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率可求出事件的概率；(ii)由題意得出，然后利用二項(xiàng)分布的方差公式可得出的值。【詳解】（1）由給出的數(shù)據(jù)可得，評(píng)價(jià)為四星的人數(shù)為6，評(píng)價(jià)為五星的人數(shù)是75，故評(píng)價(jià)在四星以上(包括四星)的人數(shù)為，故可估計(jì)觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)價(jià)在四星以上(包括四星)的頻率為0.81（或）；（2）(i)記“恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星”為事件A，則；(ii)由題可知，故.【點(diǎn)睛】本題第（1）考查頻率的計(jì)算，第（2）文考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率以及二項(xiàng)分布方差的計(jì)算，解題前要弄清事件的基本類型以及隨機(jī)變量所服從的分布列類型，再利用相關(guān)公式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。20.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)。問(wèn)：（Ⅰ）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？（Ⅱ）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）參考答案：解析：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這是一個(gè)不可能事件，過(guò)關(guān)的概率為0。所以最多只能連過(guò)4關(guān)。

.......5分（Ⅱ）設(shè)事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)失敗”，則對(duì)立事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)成功”。第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個(gè)。第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過(guò)此關(guān)的概率為：。第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。

........10分第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。

.........15分故連過(guò)前三關(guān)的概率為：。

........20分（說(shuō)明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）21.已知函數(shù)．(Ⅰ)若，證明：函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)；(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．………………1分所以當(dāng)a≤0時(shí)，，………………3分函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減函數(shù)………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，又f（1）=a﹣1＜0，………………6分故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a＞0．………………8分由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因?yàn)間（0）=﹣1＜0，2a＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0．當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．………10分要使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)f（x）的極小值f（x0）＜0，即．又因?yàn)椋?lnx0+x0﹣1＞0，又因?yàn)楹瘮?shù)h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．………