利用曲率建立平面解析幾何的幾何直觀 論文

利用曲率建立平面解析幾何的幾何直觀【摘要】：圓錐曲線是高中平面解析幾何的重點內(nèi)容，也是高考的重點考查內(nèi)容.在圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)中，我們往往會忽略圓錐曲線的彎曲程度在解題中的應(yīng)用.在高等數(shù)學(xué)中，我們一般用曲線在某點處的曲率來反映在該點處的彎曲程度．本文以橢圓為例，介紹了其部分幾何性質(zhì)的幾何直觀，以及利用曲率從幾何直觀的角度簡化復(fù)雜的代數(shù)運算從而解決相關(guān)問題． 【關(guān)鍵詞】：圓錐曲線、曲率

曲線上各點處的彎曲程度是描述曲線局部性態(tài)的一個重要標(biāo)志．我們在高等數(shù)學(xué)中一般用曲線在某點處的曲率來表示曲線在該點處的彎曲程度．曲率指的是曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率．直觀的說，過曲線上某點作切線，我們把曲線在該點處偏離切線的程度叫做該點處的彎曲程度，彎曲程度越大，則曲率越大．我們一般用K來表示曲率，曲率的計算公式為：K=|xy￠￠￠-xy￠￠￠．(x￠+y￠)3/2設(shè)曲線C在其上一點P處的曲率K10，過點P作一個半徑為r=1的圓，使它在點PK處與曲線C有相同的切線，并在點P附近與曲線位于切線的同側(cè)，我們把這個圓稱為曲線C在點P處的曲率圓，曲率圓的半徑r和圓心稱為曲線C在點P處的曲率半徑和曲率中心．以焦點在x軸上的橢圓為例，設(shè)橢圓E：x2+y2=1(a>>0)，F(xiàn)1、F2為E的左、右a2b2焦點，由橢圓的曲率計算公式結(jié)合曲率半徑公式r=1可得橢圓E在其上任一點Px，y0)K0處的曲率半徑r=ab22(x02+y02)3．2a4b4特別地，當(dāng)點P為橢圓E的短軸頂點時，r=a2；當(dāng)點P為橢圓E的長軸頂點時，bb2r=a，此時，點P處的曲率圓恰為與橢圓E相切于點P處的密切圓（這里不再進行證明）．并且，橢圓在長軸頂點處的曲率圓直徑長恰好等于橢圓的通徑長2b2，從幾何直觀的角a度我們可以用通徑的大小來描述橢圓的“扁平”程度，這與我們可以利用橢圓在長軸頂點處的密切圓（曲率圓）以彎曲的程度反映橢圓F1yPF2Ax的“扁平”程度是一致的．同時，我們還可以直觀的“觀察出”：橢R圓上到某焦點距離最短的點為與該焦點對應(yīng)的長軸頂點．如右圖：Q記橢圓E的右頂點為A，作點A處的曲率圓Q，P為橢圓E上任意一點，PF2與圓Q交于點R，如圖所示，從圖中我們也可以直觀地得到：|PF2||RF2||AF2|，即橢圓上到某焦點距離最短的點為與該焦點對應(yīng)的長軸頂點．同樣的，我們也可以得到雙曲線x2-y2=1a>0，b>0)在實軸頂點處的曲率半徑為b2a2b2a，拋物線y2=2pxp>0)在頂點處的曲率半徑為p，與橢圓類似，我們也可以從幾何直觀的角度去理解相關(guān)幾何性質(zhì)，這里我們不再展開．另一方面，因為橢圓E在點Px0，y0)處的切線方程為：xx0+yy0=1，則切線的一個法a2b2向量為r

n=(x0，

b y2

0)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，DFPF1 2的角平分線與點P處的切線垂直，所以r

na2x為DFPF1 2的角平分線的一個方向向量，y如圖所示，設(shè)F1(-，0)，DFPF1 2=2b，則：P(x0,y0)cosb |=|uuurruuurPFn1 rPF1||n|=|(-c-x0，-y0)(×a

x02，

b y2

0)|，F(xiàn)1bF2|x02+2cx0+c2+y02x02+y02a4b4將x02+y02=1代入上式，得：a2b2cosb=c2x021+

cxa202x02+y02=(cx01+

cxa20+y02=a1+y02，+2cx0+a+a)x20x02a2a4b4aaa4b4a4b4代入r=ab22(x02+y02)3中，可得：r=ab221b)=b23b.2a4b4(cos3acos因為b?(0 π，2)，顯然，當(dāng)b增大時，r隨之增大，則曲率K隨之減小，即彎曲程度隨之減小．從橢圓的圖形上我們能夠直觀的感受出，橢圓在短軸頂點處的彎曲程度是最小的，此時b最大，即DFPF1 2最大，于是我們從曲率的角度直觀地解釋了橢圓焦點三角形中的一個重要的性質(zhì)：橢圓的短軸頂點到兩焦點所張角最大．相較于代數(shù)方法，利用曲率，我們可以從幾何直觀的角度，用圓錐曲線的彎曲程度觀察并分析出其相關(guān)幾何性質(zhì)，讓代數(shù)結(jié)論有了與之對應(yīng)的幾何直觀，從而使我們更容易理解由代數(shù)方法得到的幾何性質(zhì)．下面我們來看看這種處理方式在考題中的應(yīng)用．例1．（2016年浙江高考理科第19題）設(shè)橢圓C：x2a+y2=1(a>1)．（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用ak表示）；（2）若任意以點A(01)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心離的取值范圍．本題第（2）問一種常規(guī)的參考解答是：解析：假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點PQ，滿足|AP||=AQ|，記直線APAQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k>2 0，k11k2．由（1）知|AP|=1+k1212ak21，|AQ|=1+k212ak222，+ak21

22+ak22故1+k1212ak21=1+k212ak222，所以(k12-k2)[1+k12+k2+a2(2-a2)kk122]=0，+ak21

22+ak22222由于k11k2，則1+k12+k2+a2(2-a2)kk122=0，因此(1 1+k12)(1 1+k22)=+a2(2-a2)，22對于上式關(guān)于k1，2方程有解的充要條件是：1+a2(2-a2)>1，得a>2，因此，任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點的充要條件是1<a2￡2，故e=c=a2-1?(0,2]．a(chǎn)a22事實上，因為A(01)為橢圓C的短軸頂點，以點A(01)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點即橢圓C上任意一點到點A的距離不超過短軸另一頂點到點A的距離，即：橢圓C上任意一點P都滿足|PA|2b．這與2021年全國高考乙卷理科第11題題干完全一致：例2．（2021年全國高考乙卷理科第11題）設(shè)B是橢圓C：x2+y2=1(a>>0)的上頂點，a2b2若C上的任意一點P都滿足|PB|2b，則C的離心離的取值范圍是（）A．[2,1)B．1

[,1)2C．(0,2]D． 1

(0,]222題干描述成“|PB|2b恒成立”時，我們又可以從二次函數(shù)的角度給出另一種做法：解析：設(shè)Px0,y0)，因為B(0,)，x02+y02=1，a2=b2+c2，a2b2所以|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02)+(y0-b)2=-c2(y0 b+c3)2 b+c4+a2+b2，b2b222因為-b￡y0￡b，當(dāng)-b3￡-b即b23c2時，|PB|2max=4b2，即|PB|max=2b，符合題意，c2由b23c2，得a2-c23c2，解得e?(0,2]；2當(dāng)-bc3>-b即b2<c2時，|PB|2max b=c4+a2+b2，則b4c+a2+b2￡4b2，得(c2-b2)2￡0，22顯然該不等式不成立，故e?(0,2]．2這兩道題本質(zhì)上完全相同，區(qū)別是2016年浙江高考理科第19題給出的是一種幾何描述，而2021年全國高考乙卷理科第11題給出的是一種代數(shù)表示，我們可以用不同的代數(shù)方法加以解決，這是解析幾何的“解析”二字的含義所在．對于主觀解答題，代數(shù)方法有不可取代的嚴(yán)謹(jǐn)性，但是對于客觀題，如果我們能從幾何直觀的角度理解并分析出相關(guān)結(jié)論，可以有效的避免復(fù)雜的運算．以例1為例，我們觀察下面的三個圖形，其中實線的圓（圓?。橄鄳?yīng)橢圓短軸下頂點的曲率圓（圓?。摼€變化的圓為以A(01)為圓心的圓．AAA(1)(2)(3)隨著a的增大，橢圓越來越扁平，在短軸頂點處的彎曲程度越來越小，即在短軸頂點處的曲率越來越?。ㄇ拾霃皆絹碓酱螅畧D（2）中以A為圓心，短軸長為半徑的圓與短軸下頂點處的曲率圓重合，與橢圓相切于下頂點．而當(dāng)圖（2）中的a繼續(xù)變大時，如圖（3），橢圓短軸下頂點處的曲率半徑大于短軸長，以A為圓心的圓與橢圓可以有4個交點，在例2上呈現(xiàn)的就是橢圓上存在點到短軸上頂點的距離大于2b．所以圖（2）是橢圓直觀上滿足題意的臨界狀態(tài)，于是只要滿足：橢圓短軸下頂點處的曲率半徑不大于短軸長，即a2￡2b，解得e?(0,2]．b2從上述解法中我們可以看出，只要是與圓錐曲線的彎曲程度有關(guān)，曲率可以作為一種簡單且有效的工具為解題帶來便捷，我們再看一例：例3．已知橢圓E:x2+y2=1，圓C:(x-2+y2=r2．當(dāng)C與E有且僅有兩個交點時，C43上的點都在E的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍．tC上的點都在E的內(nèi)部，則此時C與E相容易理解，當(dāng)C與E有且僅有兩個交點時，切，則在同一切點處應(yīng)有一條公切線．于是我們得到如下常規(guī)解法：解析：由對稱性，不妨設(shè)其中一個切點為Px0,y0)，則-2￡x0￡2則圓C在點P處的切線方程為：(x-x0)(x0-t)+(y-y0)y0=0，即(x0-tx+yy0=xx0 0-t)+y02①橢圓E在點P處的切線方程為：xx0+yy0=1，即3xx0+yy0=3②434因為①與②相同，故x0-t3x=40，則t=x0?[-11

,]22，4當(dāng) 1t=±2時，C與E切于一點（橢圓E的長軸頂點），故t?(-11

,)22．上述解法中，當(dāng) 1t=±2時，C與E切于橢圓E的長軸頂點，此時當(dāng)圓C最大時，恰為橢圓E在長軸頂點處的密切圓，即橢圓E在長軸頂點處的曲率圓．事實上，滿足條件的圓C半徑最大時與橢圓E相切，且有兩個切點，則圓心C必位于橢圓E兩個長軸頂點處的曲率圓的圓心之間，如下圖所示（圖中兩個實線圓為橢圓E在長軸頂點處的曲率圓）：因為橢圓E在長軸頂點處的曲率圓半徑為