利用曲率建立平面解析幾何的幾何直觀 論文

利用曲率建立平面解析幾何的幾何直觀【摘要】：圓錐曲線是高中平面解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.在圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，我們往往會(huì)忽略圓錐曲線的彎曲程度在解題中的應(yīng)用.在高等數(shù)學(xué)中，我們一般用曲線在某點(diǎn)處的曲率來(lái)反映在該點(diǎn)處的彎曲程度．本文以橢圓為例，介紹了其部分幾何性質(zhì)的幾何直觀，以及利用曲率從幾何直觀的角度簡(jiǎn)化復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算從而解決相關(guān)問(wèn)題． 【關(guān)鍵詞】：圓錐曲線、曲率

曲線上各點(diǎn)處的彎曲程度是描述曲線局部性態(tài)的一個(gè)重要標(biāo)志．我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中一般用曲線在某點(diǎn)處的曲率來(lái)表示曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度．曲率指的是曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率．直觀的說(shuō)，過(guò)曲線上某點(diǎn)作切線，我們把曲線在該點(diǎn)處偏離切線的程度叫做該點(diǎn)處的彎曲程度，彎曲程度越大，則曲率越大．我們一般用K來(lái)表示曲率，曲率的計(jì)算公式為：K=|xy￠￠￠-xy￠￠￠．(x￠+y￠)3/2設(shè)曲線C在其上一點(diǎn)P處的曲率K10，過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)半徑為r=1的圓，使它在點(diǎn)PK處與曲線C有相同的切線，并在點(diǎn)P附近與曲線位于切線的同側(cè)，我們把這個(gè)圓稱為曲線C在點(diǎn)P處的曲率圓，曲率圓的半徑r和圓心稱為曲線C在點(diǎn)P處的曲率半徑和曲率中心．以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例，設(shè)橢圓E：x2+y2=1(a>>0)，F(xiàn)1、F2為E的左、右a2b2焦點(diǎn)，由橢圓的曲率計(jì)算公式結(jié)合曲率半徑公式r=1可得橢圓E在其上任一點(diǎn)Px，y0)K0處的曲率半徑r=ab22(x02+y02)3．2a4b4特別地，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓E的短軸頂點(diǎn)時(shí)，r=a2；當(dāng)點(diǎn)P為橢圓E的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)時(shí)，bb2r=a，此時(shí)，點(diǎn)P處的曲率圓恰為與橢圓E相切于點(diǎn)P處的密切圓（這里不再進(jìn)行證明）．并且，橢圓在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓直徑長(zhǎng)恰好等于橢圓的通徑長(zhǎng)2b2，從幾何直觀的角a度我們可以用通徑的大小來(lái)描述橢圓的“扁平”程度，這與我們可以利用橢圓在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的密切圓（曲率圓）以彎曲的程度反映橢圓F1yPF2Ax的“扁平”程度是一致的．同時(shí)，我們還可以直觀的“觀察出”：橢R圓上到某焦點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)．如右圖：Q記橢圓E的右頂點(diǎn)為A，作點(diǎn)A處的曲率圓Q，P為橢圓E上任意一點(diǎn)，PF2與圓Q交于點(diǎn)R，如圖所示，從圖中我們也可以直觀地得到：|PF2||RF2||AF2|，即橢圓上到某焦點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)．同樣的，我們也可以得到雙曲線x2-y2=1a>0，b>0)在實(shí)軸頂點(diǎn)處的曲率半徑為b2a2b2a，拋物線y2=2pxp>0)在頂點(diǎn)處的曲率半徑為p，與橢圓類似，我們也可以從幾何直觀的角度去理解相關(guān)幾何性質(zhì)，這里我們不再展開(kāi)．另一方面，因?yàn)闄E圓E在點(diǎn)Px0，y0)處的切線方程為：xx0+yy0=1，則切線的一個(gè)法a2b2向量為r

n=(x0，

b y2

0)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，DFPF1 2的角平分線與點(diǎn)P處的切線垂直，所以r

na2x為DFPF1 2的角平分線的一個(gè)方向向量，y如圖所示，設(shè)F1(-，0)，DFPF1 2=2b，則：P(x0,y0)cosb |=|uuurruuurPFn1 rPF1||n|=|(-c-x0，-y0)(×a

x02，

b y2

0)|，F(xiàn)1bF2|x02+2cx0+c2+y02x02+y02a4b4將x02+y02=1代入上式，得：a2b2cosb=c2x021+

cxa202x02+y02=(cx01+

cxa20+y02=a1+y02，+2cx0+a+a)x20x02a2a4b4aaa4b4a4b4代入r=ab22(x02+y02)3中，可得：r=ab221b)=b23b.2a4b4(cos3acos因?yàn)閎?(0 π，2)，顯然，當(dāng)b增大時(shí)，r隨之增大，則曲率K隨之減小，即彎曲程度隨之減?。畯臋E圓的圖形上我們能夠直觀的感受出，橢圓在短軸頂點(diǎn)處的彎曲程度是最小的，此時(shí)b最大，即DFPF1 2最大，于是我們從曲率的角度直觀地解釋了橢圓焦點(diǎn)三角形中的一個(gè)重要的性質(zhì)：橢圓的短軸頂點(diǎn)到兩焦點(diǎn)所張角最大．相較于代數(shù)方法，利用曲率，我們可以從幾何直觀的角度，用圓錐曲線的彎曲程度觀察并分析出其相關(guān)幾何性質(zhì)，讓代數(shù)結(jié)論有了與之對(duì)應(yīng)的幾何直觀，從而使我們更容易理解由代數(shù)方法得到的幾何性質(zhì)．下面我們來(lái)看看這種處理方式在考題中的應(yīng)用．例1．（2016年浙江高考理科第19題）設(shè)橢圓C：x2a+y2=1(a>1)．（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用ak表示）；（2）若任意以點(diǎn)A(01)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心離的取值范圍．本題第（2）問(wèn)一種常規(guī)的參考解答是：解析：假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)PQ，滿足|AP||=AQ|，記直線APAQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k>2 0，k11k2．由（1）知|AP|=1+k1212ak21，|AQ|=1+k212ak222，+ak21

22+ak22故1+k1212ak21=1+k212ak222，所以(k12-k2)[1+k12+k2+a2(2-a2)kk122]=0，+ak21

22+ak22222由于k11k2，則1+k12+k2+a2(2-a2)kk122=0，因此(1 1+k12)(1 1+k22)=+a2(2-a2)，22對(duì)于上式關(guān)于k1，2方程有解的充要條件是：1+a2(2-a2)>1，得a>2，因此，任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是1<a2￡2，故e=c=a2-1?(0,2]．a(chǎn)a22事實(shí)上，因?yàn)锳(01)為橢圓C的短軸頂點(diǎn)，以點(diǎn)A(01)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)即橢圓C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離不超過(guò)短軸另一頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離，即：橢圓C上任意一點(diǎn)P都滿足|PA|2b．這與2021年全國(guó)高考乙卷理科第11題題干完全一致：例2．（2021年全國(guó)高考乙卷理科第11題）設(shè)B是橢圓C：x2+y2=1(a>>0)的上頂點(diǎn)，a2b2若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|2b，則C的離心離的取值范圍是（）A．[2,1)B．1

[,1)2C．(0,2]D． 1

(0,]222題干描述成“|PB|2b恒成立”時(shí)，我們又可以從二次函數(shù)的角度給出另一種做法：解析：設(shè)Px0,y0)，因?yàn)锽(0,)，x02+y02=1，a2=b2+c2，a2b2所以|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02)+(y0-b)2=-c2(y0 b+c3)2 b+c4+a2+b2，b2b222因?yàn)?b￡y0￡b，當(dāng)-b3￡-b即b23c2時(shí)，|PB|2max=4b2，即|PB|max=2b，符合題意，c2由b23c2，得a2-c23c2，解得e?(0,2]；2當(dāng)-bc3>-b即b2<c2時(shí)，|PB|2max b=c4+a2+b2，則b4c+a2+b2￡4b2，得(c2-b2)2￡0，22顯然該不等式不成立，故e?(0,2]．2這兩道題本質(zhì)上完全相同，區(qū)別是2016年浙江高考理科第19題給出的是一種幾何描述，而2021年全國(guó)高考乙卷理科第11題給出的是一種代數(shù)表示，我們可以用不同的代數(shù)方法加以解決，這是解析幾何的“解析”二字的含義所在．對(duì)于主觀解答題，代數(shù)方法有不可取代的嚴(yán)謹(jǐn)性，但是對(duì)于客觀題，如果我們能從幾何直觀的角度理解并分析出相關(guān)結(jié)論，可以有效的避免復(fù)雜的運(yùn)算．以例1為例，我們觀察下面的三個(gè)圖形，其中實(shí)線的圓（圓?。橄鄳?yīng)橢圓短軸下頂點(diǎn)的曲率圓（圓弧），虛線變化的圓為以A(01)為圓心的圓．AAA(1)(2)(3)隨著a的增大，橢圓越來(lái)越扁平，在短軸頂點(diǎn)處的彎曲程度越來(lái)越小，即在短軸頂點(diǎn)處的曲率越來(lái)越?。ㄇ拾霃皆絹?lái)越大）．圖（2）中以A為圓心，短軸長(zhǎng)為半徑的圓與短軸下頂點(diǎn)處的曲率圓重合，與橢圓相切于下頂點(diǎn)．而當(dāng)圖（2）中的a繼續(xù)變大時(shí)，如圖（3），橢圓短軸下頂點(diǎn)處的曲率半徑大于短軸長(zhǎng)，以A為圓心的圓與橢圓可以有4個(gè)交點(diǎn)，在例2上呈現(xiàn)的就是橢圓上存在點(diǎn)到短軸上頂點(diǎn)的距離大于2b．所以圖（2）是橢圓直觀上滿足題意的臨界狀態(tài)，于是只要滿足：橢圓短軸下頂點(diǎn)處的曲率半徑不大于短軸長(zhǎng)，即a2￡2b，解得e?(0,2]．b2從上述解法中我們可以看出，只要是與圓錐曲線的彎曲程度有關(guān)，曲率可以作為一種簡(jiǎn)單且有效的工具為解題帶來(lái)便捷，我們?cè)倏匆焕豪?．已知橢圓E:x2+y2=1，圓C:(x-2+y2=r2．當(dāng)C與E有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，C43上的點(diǎn)都在E的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍．tC上的點(diǎn)都在E的內(nèi)部，則此時(shí)C與E相容易理解，當(dāng)C與E有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，切，則在同一切點(diǎn)處應(yīng)有一條公切線．于是我們得到如下常規(guī)解法：解析：由對(duì)稱性，不妨設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為Px0,y0)，則-2￡x0￡2則圓C在點(diǎn)P處的切線方程為：(x-x0)(x0-t)+(y-y0)y0=0，即(x0-tx+yy0=xx0 0-t)+y02①橢圓E在點(diǎn)P處的切線方程為：xx0+yy0=1，即3xx0+yy0=3②434因?yàn)棰倥c②相同，故x0-t3x=40，則t=x0?[-11

,]22，4當(dāng) 1t=±2時(shí)，C與E切于一點(diǎn)（橢圓E的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)），故t?(-11

,)22．上述解法中，當(dāng) 1t=±2時(shí)，C與E切于橢圓E的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)圓C最大時(shí)，恰為橢圓E在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的密切圓，即橢圓E在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓．事實(shí)上，滿足條件的圓C半徑最大時(shí)與橢圓E相切，且有兩個(gè)切點(diǎn)，則圓心C必位于橢圓E兩個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓的圓心之間，如下圖所示（圖中兩個(gè)實(shí)線圓為橢圓E在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓）：因?yàn)闄E圓E在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓半徑為