淺談無窮級數(shù)的求和

PAGE題目：淺談無窮級數(shù)的求和姓名：學(xué)院：管理學(xué)院專業(yè)：學(xué)號：二○一六年六月一日PAGEI淺談無窮級數(shù)的求和中國成都聶瑤四川農(nóng)業(yè)大學(xué)中國成都610000摘要：本文介紹了運(yùn)用裂項(xiàng)相消,錯位相減,逐項(xiàng)微分,逐項(xiàng)積分,運(yùn)用特殊級數(shù)的和這幾種方法求級數(shù)的和,并通過實(shí)例說明了這些方法的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:級數(shù);求和;冪級數(shù);傅里葉級數(shù)Abstract：Inthispaper,wediscussthemethodsofthesummationsubstractionbypartitiontermsormisplace,differentiationtermbyterm,integrationtermbytermandthesummationofthespecialseries.Someexamplesareillustratedtotheapplicationsofthesemethods.Keywords:series;summation;powerseries;Fourierseries目錄TOC\o"1-3"\u摘要 I0引言 11裂項(xiàng)相消法 12錯位相減法 33逐項(xiàng)微分法 44逐項(xiàng)積分法 65運(yùn)用特殊級數(shù)的和求和法 8參考文獻(xiàn) 12PAGE第11頁,共12頁0引言無窮級數(shù)(簡稱級數(shù))是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分.它是表示函數(shù),研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要工具.眾所周知,收斂級數(shù)都有和,然而求出收斂級數(shù)的和常常是較困難的.因此,本文將討論運(yùn)用裂項(xiàng)相消,錯位相減,逐項(xiàng)微分,逐項(xiàng)積分,運(yùn)用特殊級數(shù)的和來求級數(shù)的和,并通過實(shí)例說明了這些方法的應(yīng)用.為行文的簡潔,本文中未特別申明的符號與文獻(xiàn)[1]一致.1、裂項(xiàng)相消法設(shè),,則的部分和為.若,則.也就是說的和為.我們稱上述求級數(shù)和的方法為裂項(xiàng)相消法.利用裂項(xiàng)相消法求級數(shù)的和,關(guān)鍵是怎樣將級數(shù)的通項(xiàng)拆成前后有抵消部分的形式,通常經(jīng)過變形,有理化分子或分母,三角函數(shù)恒等變形等處理可達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的.以下用具體例子來進(jìn)行說明.例1求無窮級數(shù)的和.解因?yàn)?所以,于是.所以.如果一個級數(shù)的通項(xiàng)是一個三角函數(shù)式,則可考慮利用三角函數(shù)公式,將其化簡為兩式之差以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.例2求級數(shù)的和.解先考慮變換問題的數(shù)學(xué)形式,由,聯(lián)想到正切的差角公式,再設(shè),則原級數(shù)的部分和為所以.如果一個級數(shù)的通項(xiàng)是一個分母為若干根式之積的分式,則可考慮將其分母或分子有理化以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.例3求和.解先對通項(xiàng)分母中的和式進(jìn)行有理化,得,于是,有,所以.2、錯位相減法設(shè)為等差數(shù)列,公差為,為等比數(shù)列,公比為,則稱為混合級數(shù),這類級數(shù)的求和問題一般采用錯位相減法.事實(shí)上,設(shè),(1)兩邊同時乘以公比得,即,(2)(5)式減去(6)式得,.我們這種求級數(shù)和的方法為錯位相減法.例4求級數(shù)的和.解因?yàn)?(3),(4)(7)式減去(8)得,即,于是,所以,故.3、逐項(xiàng)微分法定理若在上,的每一項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)一致收斂于,又收斂于,則,即,且一致收斂于.這定理說明了和號同求導(dǎo)運(yùn)算可以交換,它也稱為逐項(xiàng)微分的定理.但要注意的是,僅僅在條件“一致收斂”之下,即使存在且連續(xù),也不能保證和號同求導(dǎo)數(shù)號可以交換.例5求級數(shù)的和.解令,在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)微分,得.注意到,所以,于是當(dāng)時,有.例6求級數(shù).解令,逐項(xiàng)求導(dǎo)得,所以.因?yàn)榧墧?shù)在處收斂,所以,即.例7求級數(shù)的和函數(shù).解,令,,所以,,.例8求冪級數(shù)的和.解在上對逐項(xiàng)求導(dǎo),可知,.由此可得.在這兩端乘以,我們有,解得.4、逐項(xiàng)積分法定理2設(shè)在上一致收斂于,并且每一都在上連續(xù),則,亦即和號可以與積分號交換.又在上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)也一致收斂于.該定理也稱為逐項(xiàng)積分定理.例9求級數(shù)的和.解令,其收斂域?yàn)?在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)積分,得其中,于是.例10求下列級數(shù)的和(1);(2).解(1)在上對作逐項(xiàng)積分,可知(2)對,令,有由此知.對,令,有,由此可得.5、運(yùn)用特殊級數(shù)的和求和法這種方法的基本思想是:將待求和的級數(shù)用一些已知級數(shù)來表示,通過代入已知級數(shù)求得待求級數(shù)的和.以下運(yùn)用例子來說明該方法.例11求.解原式可以用級數(shù)表示如下.考慮級數(shù),其收斂半徑為1,故當(dāng)時收斂,設(shè)其和函數(shù)為,下面在區(qū)間內(nèi)求.由于,所以令,即得.例12(1)求級數(shù)的和;(2)求級數(shù)的和.解(1)由于所以,故.(2)因?yàn)?所以,從而.例13求下列級數(shù)的和:(1);(2).解(1)由于,令,得的和,因此.(2)由于當(dāng)時,有,故令即得,于是有.例14求下列常數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和:(1);(2);(3).解將在內(nèi)展開為正弦級數(shù)有,,所以.(1)當(dāng)時,有.(2)當(dāng)時,有.(3)當(dāng)時,有.例15求的和.解將函數(shù).令,則.例16求和.解令,則.因?yàn)?按實(shí)部和虛部分別相等的關(guān)系,即得.利用四則運(yùn)算等將所給級數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程再求解,這種思維方式和求解方法與錯位相減法類似,只不過在錯位相減法中兩邊同乘的是等比級數(shù)的公比,在這里則需依具體情況而定,同乘以關(guān)于的某個代數(shù)式再兩式相減以得化簡.例17求級數(shù)的和.解因?yàn)樵摷墧?shù)的收斂半徑,又因?yàn)楫?dāng).,則,(5),(6)(9)式減去(10)得,故.轉(zhuǎn)化為微分方程求解,即研究它的導(dǎo)數(shù)或其與它本身有何特點(diǎn)及相關(guān)聯(lián)系,看其是否滿足某微分方程及定解條件.找出求和級數(shù)所滿足的微分方程及定解條件,再解該方程.參考文獻(xiàn)：[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(下冊)[M],北京:高等教育出版社,2021.[2]陳傳璋.數(shù)學(xué)分析講義下冊[J],北京:高等教育出版社，2021.[3]張春平.無窮級數(shù)的求和探討[J],沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào),(3)2021,20-21.[4]鄭春雨.數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的求法例談[J],海南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),(3)2021,96-97.[5]蔡炯輝.胡曉敏,收斂級數(shù)求和的初等方法[J],玉溪師范學(xué)院院報(bào),(6)2021,95-98.[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析下冊(第三版)[M],北京:高等教育出版社,2021.[7]汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M],北京:科學(xué)出版社,2021.[8]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室,高等數(shù)學(xué)(下冊),北京:高等教育出版社,1996.[9]宣立新主編.高等教育(上、下冊),北京:高等教育出版社,2021.[10]高建福.無窮級數(shù)與連分?jǐn)?shù)[M],合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2021,43.[11]朱文輝,張亭.p級數(shù)的求和[J],大學(xué)數(shù)學(xué),(3)2021,114-116[12]R.R.Goldberg.FourierTransforms[M].cambridge,1961.[13]Peppard,Kim.“CollegeAlgebraTutorialonGeometricSequencesandseries”.NewYork:Halsledpress,1981.

咖啡店創(chuàng)業(yè)計(jì)劃書第一部分：背景在中國，人們越來越愛喝咖啡。隨之而來的咖啡文化充滿生活的每個時刻。無論在家里、還是在辦公室或各種社交場合，人們都在品著咖啡。咖啡逐漸與時尚、現(xiàn)代生活聯(lián)系在一齊。遍布各地的咖啡屋成為人們交談、聽音樂、休息的好地方，咖啡豐富著我們的生活，也縮短了你我之間的距離，咖啡逐漸發(fā)展為一種文化。隨著咖啡這一有著悠久歷史飲品的廣為人知，咖啡正在被越來越多的中國人所理解。第二部分：項(xiàng)目介紹第三部分：創(chuàng)業(yè)優(yōu)勢目前大學(xué)校園的這片市場還是空白，競爭壓力小。而且前期投資也不是很高，此刻國家鼓勵大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，有一系列的優(yōu)惠政策以及貸款支持。再者大學(xué)生往往對未來充滿期望，他們有著年輕的血液、蓬勃的朝氣，以及初生牛犢不怕虎的精神，而這些都是一個創(chuàng)業(yè)者就應(yīng)具備的素質(zhì)。大學(xué)生在學(xué)校里學(xué)到了很多理論性的東西，有著較高層次的技術(shù)優(yōu)勢，現(xiàn)代大學(xué)生有創(chuàng)新精神，有對傳統(tǒng)觀念和傳統(tǒng)行業(yè)挑戰(zhàn)的信心和欲望，而這種創(chuàng)新精神也往往造就了大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的動力源泉，成為成功創(chuàng)業(yè)的精神基礎(chǔ)。大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的最大好處在于能提高自己的潛力、增長經(jīng)驗(yàn)，以及學(xué)以致用;最大的誘人之處是透過成功創(chuàng)業(yè)，能夠?qū)崿F(xiàn)自己的理想，證明自己的價值。第四部分：預(yù)算1、咖啡店店面費(fèi)用咖啡店店面是租賃建筑物。與建筑物業(yè)主經(jīng)過協(xié)商，以合同形式達(dá)成房屋租賃協(xié)議。協(xié)議資料包括房屋地址、面積、結(jié)構(gòu)、使用年限、租賃費(fèi)用、支付費(fèi)用方法等。租賃的優(yōu)點(diǎn)是投資少、回收期限短。預(yù)算10-15平米店面，啟動費(fèi)用大約在9-12萬元。2、裝修設(shè)計(jì)費(fèi)用咖啡店的滿座率、桌面的周轉(zhuǎn)率以及氣候、節(jié)日等因素對收益影響較大?？Х瑞^的消費(fèi)卻相對較高，主要針對的也是學(xué)生人群，咖啡店布局、格調(diào)及采用何種材料和咖啡店效果圖、平面圖、施工圖的設(shè)計(jì)費(fèi)用，大約6000元左右3、裝修、裝飾費(fèi)用具體費(fèi)用包括以下幾種。(1)外墻裝飾費(fèi)用。包括招牌、墻面、裝飾費(fèi)用。(2)店內(nèi)裝修費(fèi)用。包括天花板、油漆、裝飾費(fèi)用，木工、等費(fèi)用。(3)其他裝修材料的費(fèi)用。玻璃、地板、燈具、人工費(fèi)用也應(yīng)計(jì)算在內(nèi)。整體預(yù)算按標(biāo)準(zhǔn)裝修費(fèi)用為360元/平米，裝修費(fèi)用共360*15=5400元。4、設(shè)備設(shè)施購買費(fèi)用具體設(shè)備主要有以下種類。(1)沙發(fā)、桌、椅、貨架。共計(jì)2250元(2)音響系統(tǒng)。共計(jì)450(3)吧臺所用的烹飪設(shè)備、儲存設(shè)備、洗滌設(shè)備、加工保溫設(shè)備。共計(jì)600(4)產(chǎn)品制造使用所需的吧臺、咖啡杯、沖茶器、各種小碟等。共計(jì)300凈水機(jī)，采用美的品牌，這種凈水器每一天能生產(chǎn)12l純凈水，每一天銷售咖啡及其他飲料100至200杯，價格大約在人民幣1200元上下?？Х葯C(jī)，咖啡機(jī)選取的是電控半自動咖啡機(jī)，咖啡機(jī)的報(bào)價此刻就應(yīng)在人民幣350元左右，加上另外的附件也不會超過1200元。磨豆機(jī)，價格在330―480元之間。冰砂機(jī)，價格大約是400元一臺，有點(diǎn)要說明的是，最好是買兩臺，不然夏天也許會不夠用。制冰機(jī)，從制冰量上來說，一般是要留有富余。款制冰機(jī)每一天的制冰量是12kg。價格稍高550元，質(zhì)量較好，所以能夠用很多年，這么算來也是比較合算的。5、首次備貨費(fèi)用包括購買常用物品及低值易耗品，吧臺用各種咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的費(fèi)用。大約1000元6、開業(yè)費(fèi)用開業(yè)費(fèi)用主要包括以下幾種。(1)營業(yè)執(zhí)照辦理費(fèi)、登記費(fèi)、保險費(fèi);預(yù)計(jì)3000元(2)營銷廣告費(fèi)用;預(yù)計(jì)450元7、周轉(zhuǎn)金開業(yè)初期，咖啡店要準(zhǔn)備必須量的流動資金，主要用于咖啡店開業(yè)初期的正常運(yùn)營。預(yù)計(jì)2000元共計(jì)： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：發(fā)展計(jì)劃1、營業(yè)額計(jì)劃那里的營業(yè)額是指咖啡店日常營業(yè)收入的多少。在擬定營業(yè)額目標(biāo)時，必須要依據(jù)目前市場的狀況，再思考到咖啡店的經(jīng)營方向以及當(dāng)前的物價情形，予以綜合衡量。按照目前流動人口以及人們對咖啡的喜好預(yù)計(jì)每一天的營業(yè)額為400-800，根據(jù)淡旺季的不同可能上下浮動2、采購計(jì)劃依據(jù)擬訂的商品計(jì)劃，實(shí)際展開采購作業(yè)時，為使采購資金得到有效運(yùn)用以及商品構(gòu)成達(dá)成平衡，務(wù)必針對設(shè)定的商品資料排定采購計(jì)劃。透過營業(yè)額計(jì)劃、商品計(jì)劃與采購計(jì)劃的確立，我們不難了解，一家咖啡店為了營業(yè)目標(biāo)的達(dá)成，同時有效地完成商品構(gòu)成與靈活地運(yùn)用采購資金，各項(xiàng)基本的計(jì)劃是不可或缺的。當(dāng)一家咖啡店設(shè)定了營業(yè)計(jì)劃、商品計(jì)劃及采購計(jì)劃之后，即可依照設(shè)定的采購金額進(jìn)行商品的采購。經(jīng)過進(jìn)貨手續(xù)檢驗(yàn)、標(biāo)價之后，即可寫在菜單上。之后務(wù)必思考的事情，就是如何有效地將這些商品銷售出去。3、人員計(jì)劃為了到達(dá)設(shè)定的經(jīng)營目標(biāo)，經(jīng)營者務(wù)必對人員的任用與工作的分派有一個明確的計(jì)劃。有效利用人力資源，開展人員培訓(xùn)，都是我們務(wù)必思考的。4、經(jīng)費(fèi)計(jì)劃經(jīng)營經(jīng)費(fèi)的分派是管理的重點(diǎn)工作。通常能夠?qū)⒖Х鹊杲?jīng)營經(jīng)費(fèi)分為人事類費(fèi)用(薪資、伙食費(fèi)、獎金等)、設(shè)備類費(fèi)用(修繕費(fèi)、折舊、租金等)、維持類費(fèi)用(水電費(fèi)、消耗品費(fèi)、事務(wù)費(fèi)、雜費(fèi)等)和營業(yè)類費(fèi)用(廣告宣傳費(fèi)、包裝費(fèi)、營業(yè)稅等)。還能夠依其性質(zhì)劃分成固定費(fèi)用與變動費(fèi)用。我們要針對過去的實(shí)際業(yè)績設(shè)定可能增加的經(jīng)費(fèi)幅度。5、財(cái)務(wù)計(jì)劃財(cái)務(wù)計(jì)劃中的損益計(jì)劃最能反映全店的經(jīng)營成果?？Х鹊杲?jīng)營者在營運(yùn)資金的收支上要進(jìn)行控制，以便做到經(jīng)營資金合理的調(diào)派與運(yùn)用。總之，以上所列的六項(xiàng)基本計(jì)劃(營業(yè)額、商品采購、銷售促進(jìn)、人員、經(jīng)費(fèi)、財(cái)務(wù))是咖啡店管理不可或缺的。當(dāng)然，有一些咖啡店為求管理上更深入，也能夠配合工作實(shí)際需要制訂一些其他輔助性計(jì)劃。第六部分：市場分析2019-2021年中國咖啡市場經(jīng)歷了高速增長的階段，在此期間咖啡市場總體銷售的復(fù)合增長率到達(dá)了17%;高速增長的市場為咖啡生產(chǎn)企業(yè)帶給了廣闊的市場空間，國外咖啡生產(chǎn)企業(yè)如雀巢、卡夫、ucc等企業(yè)紛紛加大了在中國的投資力度，為爭取未來中國咖啡市場的領(lǐng)先地位打下了良好的基礎(chǔ)?？Х蕊嬃现饕侵杆偃芸Х群凸嘌b即飲咖啡兩大類咖啡飲品;在速溶咖啡方面，2018-2021年間中國速溶咖啡市場規(guī)模年均增長率到達(dá)16%，顯示出還處于成長階段的中國速溶咖啡市場的高增長性和投資空間;在灌裝即飲咖啡方面，2008-2010年間中國灌裝即飲咖啡市場年均增長率也同樣到達(dá)15%;未來幾年，中國咖啡飲料的前景仍將被看好。現(xiàn)今咖啡店主要是以連鎖式經(jīng)營，市場主要被幾個集團(tuán)壟斷。但由于幾個集團(tuán)的咖啡店并沒有個性主題，很難配合講求特式的年青人。我們亦有思考到其他飲品店的市場競爭狀況，但發(fā)現(xiàn)這些類似行業(yè)多不是以自助形式經(jīng)營，亦很難配合講求效率的年青人。故我們認(rèn)為開設(shè)自助式主題咖啡店能到達(dá)年青人的需要，尚有很多發(fā)展空間。有數(shù)據(jù)證明，中國的咖啡消費(fèi)量正逐年上升，而有望成為世界重要的咖啡消費(fèi)國。第七部分：營銷策略1、同行業(yè)競爭分析知己知彼，百戰(zhàn)百勝?？Х鹊杲?jīng)營者應(yīng)隨時關(guān)注競爭者的經(jīng)營動態(tài)及其產(chǎn)品構(gòu)成狀況，并進(jìn)行深入的比較與分析，借以占據(jù)經(jīng)營上的有利地位