定積分的幾何應(yīng)用平面圖形面積

第二定積分的幾何應(yīng)用四、同步練習(xí)一、主要內(nèi)直角坐標(biāo)情

dAf(x)db

Aaf(x)ddA[f(x)g(x)]db

Aa[f(x)g(x)]dbAaf(x)g(x)dbc

y=g(x)y=a[f(x)g(x)]dbc[g(x)f(x)]db(ad

xxd x(yydyyyAc(y)(y)d(cd O

x(x參數(shù)方程情yf(

(f(x)0,x[a,b])

x(t y(t

yf(且φx),ψx)()a,()

o (t)在[,]([])上具有一階連續(xù)y(t

A

f(x)dx (t)(tbb

(a極坐標(biāo)情設(shè)(C[(0求由曲(及射線]2A 2

2((問題如何畫出極坐標(biāo)方程所表示的曲線的草方法L的極坐標(biāo)方程為：(1o由0(0,可確定曲線L的如：對于雙紐 2a2cos2 由方程 cos2令2θ及32θ 4

θ4

3θ 2o若((

則L關(guān)于極軸對稱；則L關(guān)于y軸對稱3o(()的單調(diào)性yOx如：對于a(a0,0yOx a a隨的增加而增4o綜合1o3o的討論畫出圖形二、典型例例 計(jì)算由兩條拋物線y2x和yx2所圍成圖形的面積y2 求兩曲線2

y2(0,0)

2o選x

x 面積元素:dA

xx2)d

x3 A0

xx2)dx

x2 3 3yx36y23例2計(jì)算由曲線yx3yx36y23解(方法1)1oyx36yx 2ox為積分變量

x[2,x[2, d

[(x36x)x2]dx[0,3],

dA2[x2(x36x)]d AA10A(x36xx2)dx3(x2x36x)dx0

3(方法2) 3

3A3

f(x)g(

dx

(x36x)x2d0(x36xx2)dx3(x2x36x)dx0

說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形問題：積分變量能 y嗎？太麻煩例3求由曲線2y2x4y2x所圍成圖的面積2y2x

2y2x解

y2

y2兩曲線的交點(diǎn)(4,2)和(4,2) 222A2

[

(2y2

4)]dy

(4y2)d

(4y2)dy2[4y232

y3

320302 求由擺線xa(tsint),ya(1cost)(a0)的一拱與x軸所圍平面圖形的面2A

2π0

ydx

a(1cost

a(1cost)da2

(1cost)2d 4a2 0

tdo

2aπ8a2π0

ud

(令ut2 2

2sinudu16a 3π 例5計(jì) 螺線a(a0,02所圍圖形面積解dA1(a)2 2A

)2dπ

a21324π33

例 求雙紐線2a2cos2所圍平面圖形的面積解第一象限部分面積的4y4Oay4OaxA cosA cos2d π2asin20a2例7計(jì)算心形線a(1cos)(a與

a(1cos解利用對稱性,所求面 π

2aA

2π2

acos)2

22 22

2cos2

cos221πa2 2 2)5πa22a2a 三、同步練x1y2將圓x2y282圖形分割成兩部分，求較小部分的面積求曲 lnxlny1所圍圖形的面積為何值才能使yxx1)xyxx1)與xx軸圍成的面積xacos3

yasin3

(a0),圖形的面積2a2cos2與圓

a(a0)取何值時(shí)，由曲線ya(1x2和該曲線上兩點(diǎn)(1,0),(1,0設(shè)fx)在[ab]上可導(dǎo)，fx0,f(a0,證明：對圖

y=ff

B(x的兩個(gè)面積函惟一(a

Ax)和B(x)使

A(x A()2008.B(四、同步練習(xí)解拋物線x1y2將圓x2y282圖形分割成兩部分，求較小部分的面積1y解 2y2兩曲線的交點(diǎn)(2,2)和(2,2).2A2

8y21y2)d222 8y21y2)d 2sin 2

32(4 tdt 2[44(1cos2t)dt 2π43

lnx

ln

1所圍圖形的面積 lnx1,lnye e1xe,e1y e又lnxlny

ln lnxln lny

1xee1x11yee1y1

ye11eo

xyeyxy

e1x e1y1中曲線為xyeyeye

xy1S1(ex1e

e)dx e 1

x)1 1e11

o

eyxy 為何值才能使yxx1)x軸圍成的面積等yxx1)與xx軸圍成的面積.解yx(x1)與x軸所圍面 1x(x1)dx 0時(shí)

x(x1)d

61

12

12o 由A1A2

2(11)0,

6 3 由圖形的對稱性, 1,

1也符合條件

xacos3 4.(a0)所圍成圖形的面積yasin3yyoaaA40yd 4asint3acost(sint 2 2a[sintsint]dt0

a285.2a2cos2

解2a2cos 2cos22sin2cos22解 π6

46o4π4y4a6o A22

6 2sin)20 2 4acos2d26π

(π1

223)a26.數(shù)a(a0)取何值時(shí)，由曲線ya(1x2和該曲線上兩點(diǎn)(1,0),(1,0)處的法線所圍成的圖y-1x解由曲線ya(1x2y-1xy2axy|x12a(1,0)y1(x1)1S 1 [a(1x)0

2a(x1)]d

a S43得 a

6,

a4故 a 6時(shí) 47.設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)， f(x)0,f(a)存在唯一的(aA()2008.

積函數(shù)Ax)和Bx使yy=fB(A()2008

f

A(x

B(xB(A()2008B()

(B()

b令Fx)Ax2008Bx)

Fx)在(ab唯一的零點(diǎn)令Fx)Ax2008Bx f(x) x[a,

y=f fx)在[ab]上單調(diào)增加

fA(x

B(x又 f(a)

x(a, f(x)f(a)于 A(x)

f(f(x)(xaxb

f(t)dB(x)xf(t)dtf(x)(bxyA(a) B(b)1o零點(diǎn)的存在 fx)在[ab]

y=ff B(xA(x AxBxFx)均在[ab]A(x)[f(x)(xa)f(x)]f(xf(x)(xa) (x(a,b] Ax)在[ab]故x(a,b]， A(x)A(a)A(b)A(a)B(x)f(x)[f(x)(bx)f(xf(x)(bx) Bx)在[ab]

(x[a,b)故x[ab)，有Bx)B(bB(a)B(b) F(a)A(a)2008B(a02008B(a)F(b)A(b)2008B(b)A(b)20080由零點(diǎn)定理知，F(xiàn)x)在(ab內(nèi)