2017屆廣東省汕頭市潮師高級高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版）

2017屆廣東省汕頭市潮師高級高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、單選題（共12小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．124．已知，則的值是（

）A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則（

）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.166．已知下列四個命題：：若直線和平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；：若，則，；：若，則，；：在△中，若，則．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如果，，…，是拋物線：上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，是拋物線的焦點，若，則（

）A． B．C． D．8．等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（

）A． B． C． D．9．若，則（

）A． B．C． D．10．已知邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．11．設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為35，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．512．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（

）A． B．C． D．二、填空題（共4小題）13.一個總體中有60個個體，隨機(jī)編號0，1，2，…，59，依編號順序平均分成6個小組，組號依次為1，2，3，…，6．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為6的樣本，若在第1組隨機(jī)抽取的號碼為3，則在第5組中抽取的號碼是

．14.的展開式中，的系數(shù)為

．（用數(shù)字填寫答案）15.已知是的中線，，，則的最小值是

.16.已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為

個三、解答題（共7小題）17.如圖，在△中，點在邊上，，，,.（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求△的面積．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù).19.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為．（Ⅰ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．20.如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．21.已知函數(shù),．（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）在曲線上求一點，使它到直線：（為參數(shù)，）的距離最短，并求出點的直角坐標(biāo).23.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；（Ⅱ）若對任意，不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍．答案部分1.考點：集合的運算試題解析：，，，故選D.答案：D

2.考點：復(fù)數(shù)綜合運算試題解析：,，所對應(yīng)的點為，在第四象限，故選D.答案：D

3.考點：算法和程序框圖試題解析：執(zhí)行程序：輸入，，進(jìn)入循環(huán)；，，判斷條件，否，進(jìn)入循環(huán)；，，判斷條件，否，進(jìn)入循環(huán)；，，判斷條件，否，進(jìn)入循環(huán)；，，判斷條件，否，進(jìn)入循環(huán)；，，判斷條件，是，跳出循環(huán)；輸出，所以選C.答案：C

4.考點：誘導(dǎo)公式試題解析：，故選A.答案：A

5.考點：正態(tài)分布試題解析：服從正態(tài)分布,且,則，，，,故選B.答案：B

6.考點：全稱量詞與存在性量詞試題解析：：直線與平面內(nèi)任意直線垂直才垂直于面，直線和平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直不能得到，命題錯誤；：，命題成立；：由，解得，所以不存在這樣的，使得，命題錯誤；：當(dāng)都是銳角時，，可得，當(dāng)為鈍角，為銳角時，由，可得，則，也成立，命題正確.故真命題的個數(shù)為2個，選B.答案：B

7.考點：拋物線試題解析：的橫坐標(biāo)為，，，選A.答案：A

8.考點：等比數(shù)列函數(shù)求導(dǎo)運算試題解析：，則，故選C.答案：C

9.考點：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)試題解析：，為減函數(shù)，，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；函數(shù)為減函數(shù)，則有，故選D.答案：D

10.考點：空間幾何體的表面積與體積試題解析：設(shè)外接球的球心為，則到的距離相等，，過分別做面、面的垂線，垂直分別為，，則為的中心，取中點連接，則，，連接則，在中，，，，，即外接球的半徑為，表面積為，選D.答案：D

11.考點：均值定理線性規(guī)劃試題解析：畫出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為直線，，所以當(dāng)直線過時，有最大值，所以，解得，，所以選D.答案：D

12.考點：空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖試題解析：如圖，三視圖的還原圖為正方體中的四面體，其中，，，，，為等腰三角形，取中點，連接，即為三角形的高，，，所以該四面體的表面積為，故選A.答案：A

13.考點：抽樣試題解析：，第一組抽取的號碼為3，則第五組抽取的號碼為.答案：43

14.考點：二項式定理與性質(zhì)試題解析：，通項為，時，系數(shù)為，時，系數(shù)為，時，系數(shù)為，時，系數(shù)為，所以的系數(shù)為.答案：-40

15.考點：余弦定理數(shù)量積的應(yīng)用試題解析：，又，，，由余弦定理所以，所以的最小值為1.答案：1

16.考點：零點與方程試題解析：令即，令，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的和圖象如圖所示，兩個函數(shù)有兩個交點，所以有兩個零點.答案：2

17.考點：解斜三角形試題解析：（Ⅰ）解法一：在△中，因為，設(shè)，則．在△中，因為，，，所以．在△中，因為，，，由余弦定理得．因為，所以，即．解得．所以的長為.解法二：在△中，因為，設(shè)，則．在△中，因為，，，所以．所以．在△中，因為，，，由余弦定理得．所以．解得．所以的長為.（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得，．所以，從而．所以．解法二：由（Ⅰ）求得，．因為，所以△為等腰三角形．因為，所以．所以△底邊上的高．所以．答案：見解析

18.考點：數(shù)列綜合應(yīng)用試題解析：（1）設(shè)函數(shù)，則，由，得，所以.又因為點在函數(shù)的圖象上，所以.當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以，．（2）由（1）知，故．因此，要使恒成立，則需滿足即可，，所以滿足要求的最小正整數(shù)為10.答案：見解析

19.考點：概率綜合試題解析：（Ⅰ）設(shè)區(qū)間內(nèi)的頻率為，則區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為和．依題意得，解得．所以區(qū)間內(nèi)的頻率為．（Ⅱ）從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨立重復(fù)試驗，所以服從二項分布，其中．由（Ⅰ）得，區(qū)間內(nèi)的頻率為，將頻率視為概率得．因為的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，．所以的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為．（或直接根據(jù)二項分布的均值公式得到）…答案：見解析

20.考點：立體幾何綜合試題解析：（Ⅰ）證明：因為平面，平面，所以．因為是菱形，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）解法一：因為平面，，以為原點，，，方向為，，軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因為，，所以，，．則，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得．同理可求得平面的法向量為所以．因為二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．解法二：由（Ⅰ）知平面平面，連接與交于點，連接，，因為，，所以為平行四邊形．因為，分別是，的中點，所以為平行四邊形．且．因為平面平面，過點作于，則平面．過點作于，連接，則．所以是二面角的平面角的補(bǔ)角．在中，．在中，因為，所以．因為，，所以．因為，所以為直角三角形．所以．所以．所以．所以二面角的余弦值為．答案：見解析

21.考點：導(dǎo)數(shù)的綜合運用試題解析：（Ⅰ）解：因為，所以.因為曲線在點處的切線斜率為，所以，解得.（Ⅱ）證法一：因為,，所以等價于當(dāng)時，．要證，只需證明.以下給出二種思路證明．思路1：設(shè)，則.設(shè)，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，，所以函數(shù)在上有唯一零點，且.因為，所以，即.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值.所以.綜上可知，當(dāng)時，.思路2：先證明．設(shè)，則．因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以要證明，只需證明．下面證明．設(shè)，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．由于取等號的條件不同，所以．綜上可知，當(dāng)時，.答案：見解析

22.考點：極坐標(biāo)方程曲線參數(shù)方程試題解析：（Ⅰ）解：由，，可得．因為，，所以曲線的普通方程為（或）．（Ⅱ）解法一：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），消去得直線的普通方程為．因為曲線：是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)點，且點到直線：的距離最短，所以曲線在點處的切線與直線：平行．即直線與的斜率的乘積等于，即．因為，解得或．所以點的坐標(biāo)為或．由于點到直線的距離最短，所以點的坐標(biāo)為．解法二：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），消去得直線的普通方程為．因為曲線是以為圓心，1為半徑的圓，因為點在曲線上，所以可設(shè)點．所以點到直線的距離為．因為，所以當(dāng)時，．此時，所以點的坐標(biāo)為答案：見解析

23.考點：絕對值不等式試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)時，等價于．①當(dāng)時，不等式化為，無解；②當(dāng)時，不等式化為，解得；③當(dāng)時，不等式化為，解得．綜上所述，不等式的解集為．（Ⅱ）因為不等式的解集為空集，所以．以下給出兩種思路求的最大值.思路