2022山東省濰坊市高三一模統(tǒng)考（3月）數(shù)學試題（解析版）

2022屆山東省濰坊市高三一模統(tǒng)考（3月）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】因為集合，，所以，故選：C2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)z即可作答.【詳解】設(shè)，，則，由得：，即，于是得，解得，則有對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限.故選：A3．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】對的取值進行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，由可得，此時；若，則，不合乎題意；若，由可得，此時.因此，滿足的的取值范圍是或，因為或，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合幾何體是圓柱，再由圓柱的體積公式直接計算作答.【詳解】以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以2為底面圓半徑，高為2的圓柱，由圓柱的體積公式得：，所以所得到的幾何體的體積為.故選：B5．已知，且，則（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化簡方程，解方程可得，進而可得，然后利用誘導公式即可判斷.【詳解】∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故選：A.6．如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為36，F(xiàn)到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由點到直線的距離公式可得b，已知結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)列方程組直接求解.【詳解】點的到漸近線，即的距離，又由題知，解得，所以.故選：B7．第十三屆冬殘奧會于2022年3月4日至3月13日在北京舉行.現(xiàn)從4名男生，2名女生中選3人分別擔任冬季兩項、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多有1名女生被選中，則不同的選擇方案共有（

）.A．72種 B．84種 C．96種 D．124種【答案】C【分析】先分有一名女生和沒有女生兩種情況選出自愿者，然后再排列.【詳解】第一步，選出的自愿者中沒有女生共種，只有一名女生共種；第二步，將三名志愿者分配到三項比賽中共有.所以，不同的選擇方案共有種.故選：C8．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（

）.A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)得當區(qū)間關(guān)于函數(shù)的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，不妨設(shè)y取得最大值，求得，再代入求得函數(shù)的最小值，由此可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以當區(qū)間關(guān)于它的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，對稱軸為，此時函數(shù)有最值，不妨設(shè)y取得最大值，則有，所以，解得，得，所以，所以的最小值為，故選：D.二、多選題9．某市共青團委統(tǒng)計了甲、乙兩名同學近十期“青年大學習”答題得分情況，整理成如圖所示的莖葉圖.則下列說法中正確的是（

）.A．甲得分的30%分位數(shù)是31B．乙得分的眾數(shù)是48C．甲得分的中位數(shù)小于乙得分的中位數(shù)D．甲得分的極差等于乙得分的極差【答案】BCD【分析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)，逐一分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】對于A，甲得分從小到大排列為：27，28，31，39，42，45，55，55，58，66，而，所以甲得分的30%分位數(shù)是35，A不正確；對于B，乙的得分中有兩個48，其余分數(shù)值均只有一個，因此，乙得分的眾數(shù)是48，B正確；對于C，甲得分的中位數(shù)是43.5，乙得分的中位數(shù)是45，C正確；對于D，甲得分的極差、乙得分的極差都是39，D正確.故選：BCD10．已知向量，將繞原點O旋轉(zhuǎn)﹣30°，30°，60°到的位置，則（

）.A． B．C． D．點坐標為【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的夾角判斷A，再由全等三角形可判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義判斷C，根據(jù)向量的模相等判斷D.【詳解】因為繞原點O旋轉(zhuǎn)﹣30°，30°，60°到，所以與的夾角為，故，A選項正確；由題意知，,所以，即，故B正確；因為,,所以由數(shù)量積的定義知，故C正確；若點坐標為，則，故D不正確.故選：ABC11．已知圓，一條光線從點射出經(jīng)x軸反射，下列結(jié)論正確的是（

）.A．圓C關(guān)于x軸的對稱圓的方程為B．若反射光線平分圓C的周長，則入射光線所在直線方程為C．若反射光線與圓C相切于A，與x軸相交于點B，則D．若反射光線與圓C交于M、N兩點，則面積的最大值為【答案】ABD【分析】對于A，由對稱的性質(zhì)直接求解即可，對于B，由題意可知入射光線所在的直線過點和，從而可求出直線方程，對于C，由題意可知反射光線所在的直線過點，則，然后由圓的性質(zhì)可求出，進而可求得的值，對于D，設(shè)，，表示弦長和弦心距，可表示出面積，從而可求出其最大值【詳解】由，得，則圓心，半徑為1，對于A，圓關(guān)于x軸的對稱圓的方程為，所以A正確，對于B，因為反射光線平分圓C的周長，所以反射光線經(jīng)過圓心，所以入射光線所在的直線過點，因為入射光線過點，所以入射光線所在的直線的斜率為，所以入射光線所在直線方程為，即，所以B正確，對于C，由題意可知反射光線所在的直線過點，則，因為，所以，所以C錯誤，對于D，設(shè)，，則圓心到直線的距離為，，所以，所以當，即時，面積取得最大值，所以D正確，故選：ABD12．已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（

）.A．平面QBCB．設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D．二面角的正切值為【答案】BCD【分析】由題可得PQ為球O的直徑，設(shè)P到底面的距離為h，球的半徑為R，結(jié)合條件可得，可得，然后逐項分析即得.【詳解】∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．拋物線的焦點坐標為，則C的準線方程為______.【答案】【分析】由拋物線的標準方程及焦點坐標直接寫出準線方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，所以C的準線方程為.故答案為：14．已知函數(shù)則______.【答案】7【分析】根據(jù)函數(shù)每段的定義域求解.【詳解】因為函數(shù)所以，所以7，故答案為：715．2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長的和為______尺.【答案】84【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日晷長為首項，芒種日晷長為第12項的等差數(shù)列，求出公差即可列式計算作答.【詳解】依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，芒種日晷長為2.5尺，記為，因相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到芒種日晷長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長最短，則夏至的日晷長為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長最長，則大雪的日晷長為，顯然夏至到大雪的日晷長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，所以一年中夏至到大雪的日晷長的和為(尺).故答案為：8416．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當時，，若關(guān)于x的方程有4個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)給定條件探討函數(shù)性質(zhì)，進而探求出函數(shù)的性質(zhì)，并作出其圖象，數(shù)形結(jié)合求出a的范圍.【詳解】依題意，，當時，，則當時，，又為偶函數(shù)，即，即，當，即時，，當，即時，，因此，當時，，顯然有，于是得是周期為4的周期函數(shù)，當時，，當時，，令，則，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對稱，討論的情況，再由對稱性可得的情況，當時，，則時，，當時，，當時，函數(shù)的圖象、性質(zhì)與的的圖象、性質(zhì)一致，關(guān)于x的方程有4個不同實根，即直線與的圖象有4個公共點，當時，函數(shù)的部分圖象如圖，觀察圖象知，當直線過原點及點，即時，直線與的圖象有5個公共點，當直線過原點及點，即時，直線與的圖象有3個公共點，當直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到直線時，旋轉(zhuǎn)過程中的每個位置的直線(不含邊界)與的圖象總有4個公共點，于是得，當時，關(guān)于x的方程有4個不同實根，有，由對稱性知，當時，關(guān)于x的方程有4個不同實根，有，所以實數(shù)a的取值范圍是：.故答案為：【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).四、解答題17．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，然后由已知條件列方程求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）可得，從而得，然后利用錯位相減法求(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，得，解得，所以；(2)由（1）可得，所以，，，所以，所以.18．在①，②AC邊上的高為，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并完成解答.問題：記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，______.(1)求c的值；(2)設(shè)AD是的角平分線，求AD的長.【答案】(1)3(2)【分析】（1）選條件①：利用余弦定理直接求得；選條件②：利用三角形的面積公式直接求得；選條件③：先求出，利用和差角公式及正弦定理即可求得.（2）選條件①：求出，利用正弦定理即可求得；選條件②；求得，利用正弦定理即可求得；選條件③：利用正弦定理即可求得；(1)選條件①：，由余弦定理，選條件②；AC邊上的高為，由三角形的面積公式，解得，.選條件③：，由題意可知，所以，因為，，由正弦定理，，解得，.(2)選條件①：因AD是的角平分線，所以，，，則，由正弦定理，.選條件②；因AD是的角平分線，所以，，，則，由正弦定理，.選條件③：因為AD是的角平分線，所以，則，由正弦定理，.19．根據(jù)國家部署，2022年中國空間站“天宮”將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關(guān)知識，某部門組織了空間站建造過程3D模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列見解析，，甲比乙闖關(guān)成功的可能性大【分析】（1）可分析出“乙闖關(guān)”屬于獨立重復(fù)實驗，直接求概率；（2）直接求出甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，再求出甲闖關(guān)成功的概率，比較甲、乙闖關(guān)成功的概率，即可下結(jié)論.(1)記乙闖關(guān)成功為事件A，所以.(2)由題意知隨機變量X是所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因為，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.20．圖1是由矩形、等邊和平行四邊形組成的一個平面圖形，其中，，N為的中點.將其沿AC，AB折起使得與重合，連結(jié)，BN，如圖2.(1)證明：在圖2中，，且B，C，，四點共面；(2)在圖2中，若二面角的大小為，且，求直線AB與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)取AC的中點M，證明平面BMN及即可推理作答.(2)在平面BMN內(nèi)作，建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.(1)取AC的中點M，連接NM，BM，如圖，因為矩形，N為的中點，則，又因ABC為等邊三角形，則，，平面BMN，則有平面BMN，又平面BMN，所以；矩形中，，平行四邊形中，，因此，，所以B，C，，四點共面.(2)由(1)知，，則為二面角的平面角，，在平面BMN內(nèi)過M作，有，以M為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由得，，設(shè)直線AB與平面所成角為，于是得，所以直線AB與平面所成角的正弦值是.21．已知橢圓的焦距為2，點在C上.(1)求C的方程；(2)若過動點P的兩條直線，均與C相切，且，的斜率之積為-1，點，問是否存在定點B，使得？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，點.【分析】(1)根據(jù)給定條件可得橢圓C的二焦點坐標，利用橢圓定義求出橢圓的長軸長即可計算作答.(2)設(shè)出過點的直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，由判別式探求出的關(guān)系即可推理作答.(1)由題意知，橢圓C的半焦距，焦點分別為，，由橢圓定義得：橢圓長軸長，即，，所以橢圓C的方程為.(2)設(shè)點，顯