2022江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A．1 B．i C．－1 D．－i【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算計(jì)算．【詳解】，所以．故選：C．2．已知集合，則(RA)∩B＝（

）A．[0，2) B．[－1，0) C．[－1，0] D．(－∞，－1)【答案】C【分析】解不等式確定集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】或，所以或，所以，，所以．故選：C.3．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160，則a的值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，再列式計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，依題意，，解得，所以a的值為.故選：B4．甲、乙、丙共3人參加三項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽，每項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽第一名到第三名的分?jǐn)?shù)依次為10，5，3.競(jìng)賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項(xiàng)的第一名及總分第一名，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過(guò)18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場(chǎng)比賽的第一名【答案】C【分析】根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.【詳解】依題意，甲的得分情況有兩種：10，10，5和10，10，3，顯然3人的總得分為54分，甲得分為10，10，5時(shí)，第二名、第三名的總分之和為29分，甲得分為10，10，3時(shí)，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；甲得分為10，10，5時(shí)，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對(duì)應(yīng)有三種情況：3，3，3；3，5，3；5，5，3，總分分別為9分，11分，13分，甲得分為10，10，3時(shí)，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對(duì)應(yīng)有三種情況：3，3，5；3，5，5；5，5，5，總分分別為11分，13分，15分，選項(xiàng)B，D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.故選：C5．梅森素?cái)?shù)是指形如2p－1的素?cái)?shù)，其中p也是素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))，如27－1＝127是梅森素?cái)?shù)，211－1＝23×89不是梅森素?cái)?shù).長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們?cè)趯ふ颐飞財(cái)?shù)的同時(shí)，不斷提出一些關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，1992年中國(guó)學(xué)者周海中提出一個(gè)關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜想，并首次給出其分布的精確表達(dá)式，被數(shù)學(xué)界命名為“周氏猜測(cè)”.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，則至少含有1個(gè)梅森素?cái)?shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)為：，共個(gè)，其中，即個(gè)梅森素?cái)?shù)，所以在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，則至少含有1個(gè)梅森素?cái)?shù)的概率為.故選：A6．已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，則（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，，，，，易知，所以，即，所以．故選：A．7．在正三棱錐P－ABC中，D是棱PC上的點(diǎn)，且PD＝2DC.設(shè)PB，PC與平面ABD所成的角分別為α，β，則sinα：sinβ＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)線面角的定義求，，由此可求.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵PB與平面ABD所成的角分別為α，∴，又與與平面ABD所成的角相等，∴，又PD＝2DC∴，故選：D.【點(diǎn)睛】8．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根據(jù)新函數(shù)的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯(cuò)位相減法求和．【詳解】由題意時(shí)，，，在上奇數(shù)共有個(gè)，，，，設(shè)，則，相減得：，所以，所以．故選：B．二、多選題9．下列命題中，正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則事件與事件獨(dú)立B．已知隨機(jī)變量的方差為，則C．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則D．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】BC【分析】由事件的互斥性可知它們一定不獨(dú)立來(lái)判斷第一個(gè)選項(xiàng)，由方差和期望的運(yùn)算性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷D選項(xiàng).【詳解】事件與事件互斥，即事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，也就是其中一個(gè)事件的發(fā)生會(huì)干擾另一件的發(fā)生，即事件與事件一定不獨(dú)立，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由方差的運(yùn)算性質(zhì)可知B選項(xiàng)正確；由二項(xiàng)分布的期望公式，，由期望的運(yùn)算性質(zhì)，，則，C選項(xiàng)正確；由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可知，，根據(jù)對(duì)稱性，，于是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知點(diǎn)A(4，3)在以原點(diǎn)O為圓心的圓上，B，C為該圓上的兩點(diǎn)，滿足，則（

）A．直線BC的斜率為 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面積為 D．B、C兩點(diǎn)在同一象限【答案】ABD【分析】由向量相等得直線平行，線段相等，同時(shí)得出的方向，從而由斜率判斷A，由四邊形的形狀判斷B，求出三角形面積判斷C，確定與的夾角的大小判斷D．【詳解】，則平行且相等，，A正確；而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正確，，，C錯(cuò)誤，設(shè)的傾斜角為，由且，若直線在直線上方，則，，均在第二象限，若直線在直線下方，由于，，因此點(diǎn)在第四象限，則（取較小角），在第四象限，綜上，在同一象限，D正確．故選：ABD．11．已知函數(shù)(A＞0，0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，f(x)的最大值為1D．若，則的最小值為π【答案】AC【分析】根據(jù)圖象求得，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、最值等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知，A選項(xiàng)正確.，，所以.為奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，C選項(xiàng)正確.，若，則，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12．已知函數(shù)f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，則（

）A．若點(diǎn)P(a，b)在f(x)的圖象上，則點(diǎn)Q(b，a)在g(x)的圖象上B．當(dāng)k＝e時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，B分別在f(x)，g(x)的圖象上，則|AB|的最小值為C．當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于D．當(dāng)k＝－2e時(shí)，函數(shù)G(x)＝f(x)－g(x)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)判斷A；結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)，求出的與直線相切的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)到直線的距離可得與圖象上兩點(diǎn)間的最短距離，從而判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值判斷C；根據(jù)函數(shù)與的單調(diào)性及反函數(shù)的性質(zhì)，確定它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷D．【詳解】由得，，所以是的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；時(shí)，，，由得，，所以函數(shù)的與直線平行的切線的切點(diǎn)是，到直線的距離是，所以，B錯(cuò)；時(shí)，，則，是增函數(shù)，，，所以在，即在上存在唯一零點(diǎn)，，時(shí)，，時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，所以，，，所以，由對(duì)勾函數(shù)知在上是減函數(shù)，，所以，C正確；時(shí)，是減函數(shù)，也是減函數(shù)，它們互為反函數(shù)，作出它們的圖象，如圖，易知它們有一個(gè)交點(diǎn)在直線上，在右側(cè)，的圖象在軸上方，而的圖象在處穿過(guò)軸過(guò)渡到軸下方，之間它們有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，在左上方，靠近處也有一個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以有3個(gè)零點(diǎn)，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)．考查綜合應(yīng)用的能力．對(duì)于互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)和的圖象上兩點(diǎn)間的距離的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，從而轉(zhuǎn)化為求出與直線平行的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)即可得．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可利用反函數(shù)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)得出結(jié)論．本題屬于較難題．三、填空題13．已知單位向量滿足，則＝__________.【答案】【分析】先將兩邊平方，求得，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求得的值.【詳解】由可知：，即，則，所以，故答案為：14．若，則α的一個(gè)可能角度值為_(kāi)_________.【答案】等答案較多【分析】先把化簡(jiǎn)成，解得后，解三角方程即可解決.【詳解】則，故，或故答案為：等均符合題意.15．已知橢圓的上頂點(diǎn)與拋物線C′：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F重合，P為C與C′的一個(gè)公共點(diǎn).若C的離心率為，且|PF|＝2，則p＝__________.【答案】3【分析】由橢圓上頂點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)相同，及橢圓離心率把用表示，由焦半徑公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程后可解得值．【詳解】由題意，又，所以，又，所以，則，所以，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)的舍去）．故答案為：3．四、雙空題16．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則________；O1O2＝__________.【答案】

【分析】由題可得，然后利用等積法可得，最后利用球的性質(zhì)即求.【詳解】設(shè)，則，∴三棱錐A′－BDC的外接球，點(diǎn)即為，∵將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A′－BD－C，又，∴平面，平面，∴，，∴，，∴，解得，∴，設(shè)球與平面，平面BCD分別切于P，Q，則為正方形，∴.故答案為：，.五、解答題17．從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)條件進(jìn)行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC邊的中點(diǎn)，且BD＝，求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積.【答案】，三角形的面積為【分析】結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】選①②，設(shè)，由余弦定理得，，所以，由于，所以.所以.選①③，設(shè)，由余弦定理得，所以，所以.選②③，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得①，在三角形中，由余弦定理得②，由①②解得，所以，所以.18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得數(shù)列的前n項(xiàng)和的解析式，求其最值后即可解決.(1)數(shù)列中，＝2，2()＝6－當(dāng)時(shí)，2()＝6－則2()-2()＝6－－（6－），整理得當(dāng)時(shí)，由2()＝6－，可得，滿足綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，(2)由（1）可知，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則綜上得，數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為2，最小值為故M－m19．如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點(diǎn)，滿足，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點(diǎn).(1)求證：DE//平面PBC；(2)求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明平面平面來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值.(1)依題意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.(2)設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，由于四邊形是菱形，所以，則，依題意平面平面且交線為，所以平面.連接，則，由于三角形是等邊三角形，所以，由于平面平面且交線為，所以平面，則，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，平面的法向量為.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，所以.20．當(dāng)今時(shí)代，國(guó)家之間的綜合國(guó)力的競(jìng)爭(zhēng)，在很大程度上表現(xiàn)為科學(xué)技術(shù)水平與創(chuàng)新能力的競(jìng)爭(zhēng).特別是進(jìn)入人工智能時(shí)代后，誰(shuí)掌握了核心科學(xué)技術(shù)，誰(shuí)就能對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手進(jìn)行降維打擊.我國(guó)自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科學(xué)研發(fā)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研發(fā)，不斷地對(duì)該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達(dá)到領(lǐng)先水平并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專利.(1)在研發(fā)過(guò)程中，對(duì)研發(fā)時(shí)間x(月)和產(chǎn)品的厚度y(nm)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：x(月)1234567y(nm)99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計(jì)該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為多少?(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競(jìng)爭(zhēng)壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：①直接售賣，則每條生產(chǎn)線可賣5萬(wàn)元；②先花20萬(wàn)元購(gòu)買技術(shù)專利并對(duì)老舊生產(chǎn)線進(jìn)行改造，使其達(dá)到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過(guò)程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣20萬(wàn)元；若改造失敗，則賣價(jià)為0萬(wàn)元.請(qǐng)判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案更為科學(xué)?并說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝u＋中的斜率和縱截距的最小二乘法估計(jì)的計(jì)算公式為＝，＝－.【答案】(1)，13nm；(2)方案②，詳見(jiàn)解析.【分析】（1）利用回歸直線公式即求；（2）分別計(jì)算兩種方案的收益，比較即得.(1)由題可得，∴，∴，∵，∴，即該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為13nm.(2)方案①，售賣收益為萬(wàn)元；方案②，設(shè)為3條老舊生產(chǎn)線改造成功的收益，的可能取值為－20,0,20,40，，，，，∴，∵，∴該企業(yè)應(yīng)選擇方案②更為科學(xué).21．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，直線l交C于A，B兩點(diǎn).(1)若線段AB的中點(diǎn)為，求l的方程；(2)若以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且O到l的距離為，求C的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)差法求得直線的方程.（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，求得，從而求得的方程.(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為，