哈工大概率論2022年秋季學(xué)期期末考題及答案-2023修改整理

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題

一、填空題（每小題3分，共5小題，滿分15分）

1．設(shè)大事A、B互相自立，大事B、C互不相容，大事A與C不能同時(shí)發(fā)生，且

()()0.5PAPB==，()0.2PC=，則大事A，B和C中僅C發(fā)生或僅C不發(fā)生的概

率為_(kāi)_________．

2．設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則21eXY

-=-的概率密度為

()Yfy=__________．

3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為21e,0

()20,0

x

xxfxx-?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估量概率

≥+=0,

00,11)(2xxx

xf.（B）0,

157(),1116160,1xfxxxx=?≤?.【】

5．設(shè)12,,

,nXXX為來(lái)自總體2~(,)XNμσ的一個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)量2)(1μ

-=

XS

nY其中X為樣本均值，2

S為樣本方差，則【】（A）2~(1)Yxn-（B）~(1)Ytn-（C）~(1,1)YFn-（D）~(1,1)YFn-．

三、（8分）假設(shè)某段時(shí)光內(nèi)來(lái)到百貨公司的顧客數(shù)聽(tīng)從參數(shù)為λ的Poisson分布，而在百貨

公司里每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)電視機(jī)的概率均為p，且顧客之間是否購(gòu)買(mǎi)電視機(jī)互相自立，試求=A“該段時(shí)光內(nèi)百貨公司售出k臺(tái)電視機(jī)”的概率（假設(shè)每顧客至多購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視機(jī)）。

四、（8分）設(shè)隨機(jī)變量[]~0,1XU，求（1）2

41YXX=-+的概率密度

()Yfy；

（2）X與Y的相關(guān)系數(shù)XYρ.

五、（8分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的分布列分離為

X01Y—101

P1/32/3P1/31/31/3

且1)(2

2==YXP，求（1）二維隨機(jī)變量),(YX的概率分布；（2）XYZ=的概率分布；

（3）X與Y的相關(guān)系數(shù)XYρ

.

六、（12分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y互相自立,且分離聽(tīng)從正態(tài)分布)2,(σ

μN(yùn)和

)22,(σμN(yùn),其

中σ為未知參數(shù)且0σ>.記YXZ-=.（1）求的概率密度Z2

(;)fzσ；（2）設(shè)

12,,,nZZZ為來(lái)自總體Z的容易隨機(jī)樣本,求2

σ的最大似然估量2

σ∧

;（3）證實(shí)2σ∧

是

2σ的無(wú)偏估量量。

七、（4分）在x軸上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)可以在囫圇數(shù)軸的整數(shù)點(diǎn)上游動(dòng)，記nS為時(shí)刻n時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置。若在時(shí)刻0t=時(shí)，處于初始位置為原點(diǎn)，即00S=，它移動(dòng)的規(guī)章：每隔單位時(shí)光，它總是收到一個(gè)外力的隨機(jī)作用，使位置發(fā)生變化，分離以概率p及概率1qp=-向正的或負(fù)的方向移動(dòng)一個(gè)單位（直線上無(wú)限制的隨機(jī)游動(dòng)）。求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻n時(shí)處于位置k的概率，即求()nPSk=.

2022年概率期末答案

一、填空題：（15分）

1.0.45

2.()?

?

?≤≤=其它,010,1yyfY3.41

.4.）

（8.2,6.2.5．3/4二、挑選題：（15分）

1A2B3D4C5C

三、解：設(shè)i

A表示這段時(shí)光內(nèi)到達(dá)百貨公司的顧客數(shù)(),2,1,0=i

利用全概率公式：++++=AAAAAAAk10

()()()()()0

iiiiiik

PAPAPAAPAPAA∞

∞

====∑∑(()

0,0)iPAAik=≤y時(shí)，()1=yFY當(dāng)12≤≤-y時(shí)，()()()

322

+≤-=yXPyFY

()3232++≤≤+-=yXyP()()

321132++≤≤+≤≤+-=yXPXyP

()130321-+=++--=yy

∴()??

???≥=-?+-?+?=-==-=-=EYEYDYEXEXDX所以0=ρ

2分

六、解：（I）由題設(shè)：Y-XZ=聽(tīng)從正態(tài)分布且)3,0()2,(~2

22σσσμμN(yùn)NZ=+-

Z∴的概率密度為：2

262

321)f(z,σσ

πσze

-

=

4分

（II）似然函數(shù)2

22

262

22

61

2

1)()6(321);,,L(zσσσπσ

πσiiznnzn

ine

e

z-

-

-

-

===

∏

取對(duì)數(shù)：2

22

6262σσπizLnnLnnLnL=

令4

2226120σσσiznLnL+?-==??，解得：=2

σ∑=niizn1231

∴2

σ的極大似然估量為=∧

2σ∑=niizn1

2314分

（III）由題設(shè)知：nzzz,,,21自立且與總體Z同分布

E∴=∧

2σE2212

123313131σσ=??=?=∑∑==nn

Eznznn

ii

nii于是=∧

2

σ∑=niizn1

231為2σ的無(wú)偏估量。4分

七、解：為使質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=n時(shí)位于k位置（k也可以是負(fù)值）?在前n次游動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)比向左移動(dòng)的次數(shù)多k次，若以x表示它在前n次游動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)，y表示向左移動(dòng)的次數(shù)，則有：

?

?

?==+ky-xn

yx2分即,2

k

nx+=由于x是整數(shù)，所以k與n必需具有相同的奇偶性。大事{}k=nS發(fā)生相當(dāng)于要求在前n次游動(dòng)中有2kn+次向右，2

k

n-次