2022屆陜西省西安市高新第一中學高三上學期第八次大練習數(shù)學（理）試題（解析）

2022屆陜西省西安市高新第一中學高三上學期第八次大練習數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得根式不等式以及對數(shù)不等式解得集合，再求交集即可.【詳解】由題可得：，，所以.故選：C.2．若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則和共軛復數(shù)相關知識求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：B3．公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領先他100米，當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領先他10米，當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜先他1米.所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.001米時，烏龜爬行的總距離為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)烏龜每次爬行的距離構成等比數(shù)列，寫出和，再結合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，烏龜每次爬行的距離構成等比數(shù)列，其中，且，所以烏龜爬行的總距離為.故選：A.4．已知實數(shù)、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式組所表示的可行域，利用代數(shù)式的幾何意義以及數(shù)形結合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：目標函數(shù)的幾何意義為可行域內(nèi)的點與定點連線的斜率，由圖可知，當點在可行域內(nèi)運動時，直線的傾斜角均為銳角，聯(lián)立可得，即點，當點與點重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：C.5．己知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，代值計算即可得出的值.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，故，又，所以，，又，故，所以，所以，故選：B.6．2021年是鞏固脫貧攻堅成果的重要一年，某縣為響應國家政策，選派了甲?乙?丙?丁四名工作人員到A，B，C三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，若每個村至少去1人，則甲單獨被分到A村的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】甲?乙?丙?丁4人分到三個不同的村，每個村至少分1人的方法數(shù)是，其中甲被單獨分到A村的方法數(shù)是，根據(jù)古典概率公式計算可得答案.【詳解】解：甲?乙?丙?丁4人分到三個不同的村，每個村至少分1人的方法數(shù)是，其中甲被單獨分到A村的方法數(shù)是，因此所求概率.故選：A.7．下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得的范圍可判斷A；利用基本不等式求最值注意滿足一正二定三相等可判斷B；作差比較與的大小可判斷C；作差比較與的大小可判斷D.【詳解】因為，所以，所以，故A錯誤；只有在時才成立，故B錯誤；因為，所以，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：D.8．已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用奇偶函數(shù)的定義，列出方程組計算作答.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則，即，而，聯(lián)立解得，，所以.故選：C9．設橢圓C：的左、右焦點分別為，過的直線與C交于A，B兩點，若為等邊三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷出，利用求得離心率.【詳解】由于為等邊三角形，根據(jù)橢圓的對稱性可知，在中，，，所以.故選：A10．已知命題p：在中，若，則；命題q：函數(shù)有兩個零點，則下列為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別判斷命題p、命題q的真假，進而依次判斷各選項即可得出結果.【詳解】對于命題p：在中，（大邊對大角），由正弦定理得，故p是真命題；對于命題q：∵，∴函數(shù)在上有一個零點，又∵，∴函數(shù)有三個零點，故q為假，∴q為假命題.所以為假命題；為假命題；為真命題；④為假命題.故選:C.11．在直三棱柱中，，則三棱柱外接球體積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件將直三棱柱補形成正方體，借助正方體求其外接球半徑計算作答.【詳解】在直三棱柱中，因，即，則，于是得，將其補形成棱長為2的正方體，如圖，則直三棱柱的外接球即為棱長為2的正方體的外接球，球半徑，因此，，所以三棱柱外接球體積等于.故選：A12．已知實數(shù)，，滿足且，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題中的條件得到，從而得到；再根據(jù)時得到，結合函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到.【詳解】由得，————①由得，————②兩式相加得，因為，，所以，又因為，所以；因為，，所以，即，所以；令，則，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以，即，又令，則，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，所以由，得到.所以.故選：D.二、填空題13．已知向量、滿足，，，則___________.【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質可求得結果.【詳解】.故答案為：.14．設，是雙曲線實軸的兩個端點，是雙曲線上的一點（異于，兩點），且，則雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【分析】設點的坐標為，利用點在雙曲線上則點的坐標滿足雙曲線方程，結合題意，即可求得【詳解】設，則，所以，又Q在雙曲線上，可得，所以.可得，即，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足，則___________.【答案】【分析】由已知及正弦定理可得，，進而由余弦定理可得的值．【詳解】因為，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案為：.三、雙空題16．取棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，依次進行下去，對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，如圖所示.則此多面體有___________條棱，表面積為___________.【答案】

24

【分析】由每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，再考慮到每條邊對應兩個面，由此可得多面體的棱.分別由三角形和四邊形的的面積公式求得多面體的表面積.【詳解】解：每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，，考慮到每條邊對應兩個面，所以實際只有條棱.三角形和四邊形的邊長都是，所以正方形總面積為，三角形總面積為，所以多面體的表面積為.故答案為：24；.四、解答題17．已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，且、、成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得結果；（2）求出，利用裂項相消法可求得.(1)解：對于等差數(shù)列，因為，且、、成等比數(shù)列，即，即，解得，因此，.(2)解：因為為等差數(shù)列，，所以，則，因此，.18．如圖甲，三棱錐，均為底面邊長為?側棱長為的正棱錐，且A?B?C?D四點共面（點P，Q在平面的同側），，交于點O.(1)證明：平面平面；(2)如圖乙，設，的延長線交于點M，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接根據(jù)題意可得，結合線面垂直判定定理可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理得證；（2）法一：建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求出其法向量，利用向量法求二面角問題步驟求解即可；法二：通過題意和圖形證明為二面角的平面角，在三角形中利用解三角形求出即為所求.(1)證明：如圖，連接因為，為的中點，所以．同理，，又，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．(2)法一：如圖，分別過，作平面的垂線，垂足分別為，，則，在上，且，分別為的三等分點，且，,，所以四邊形為矩形，所以．且，所以．所以，由（1）得兩兩垂直．又，所以．如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設，分別為平面與平面的法向量，則，．所以，由圖可得所以二面角的平面角的余弦值為.法二：分別過作平面的垂線，垂足分別為，，則，在上，且，分別為的三等分點，且，，，所以四邊形為矩形，所以．且，所以，所以．取的中點，則，，所以為二面角的平面角．又，所以．又，所以，所以．又，.所以二面角的平面角的余弦值為.19．2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標志著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責生產(chǎn)的型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應用前景十分廣泛.該公司為了將型材料更好地投入商用，擬對型材料進行應用改造.根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應用改造投入（億元）與產(chǎn)品的直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456723468101315222740485460當時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：，模型②：；當時，確定y與x滿足的線性回歸方程為.回歸模型模型①模型②79.1320.2(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較當時模型①，②的相關指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預測對型材料進行應用改造的投入為17億元時的直接收益；(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當應用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預測依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時公司收益（直接收益+國家補貼）的大小.附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)，且當越大時，回歸方程的擬合效果越好..用最小二乘法求線性回歸方程的截距：.【答案】(1)，模型②擬合精度更高?更可靠，收益為；(2)投入17億元比投入20億元時收益小.【分析】（1）根據(jù)題意求得，再根據(jù)的計算公式，即可分別求得，則可判斷不同模型的擬合度；（2）根據(jù)題意，求得回歸直線方程，即可代值計算，求得預測值.(1)對于模型①，對應的，故對應的，故對應的相關指數(shù)，對于模型②，同理對應的相關指數(shù)，故模型②擬合精度更高?更可靠.故對型材料進行應用改造的投入為17億元時的直接收益為.(2)當時，后五組的，由最小二乘法可得，故當投入20億元時公司收益（直接收益+國家補貼）的大小為：，故投入17億元比投入20億元時收益小.20．已知拋物線的焦點為，直線與軸交于，與交于，且.(1)求拋物線的方程；(2)設、是上兩點，其橫坐標之和為，且在以為直徑的圓上，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由設，可得，由可得出關于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的方程；（2）求出直線的斜率為，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合韋達定理求出的值，即可得出直線的方程.(1)解：由已知設，代入得.所以，，因為，所以，整理可得，即，，解得.所以的方程為.(2)解：設、，則，，，，所以，.設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，解得.由韋達定理可得，，，同理，若或，則與，重合，不合乎題意，則，即，解得.因此，直線的方程為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．己知函數(shù).(1)若關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，證明：.【答案】(1).(2)證明見解析.【分析】（1）將不等式轉化為，設，求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可得實數(shù)a的取值范圍；（2）令，利用正弦函數(shù)的性質可得證.(1)解：當時，，則可化為，設，則，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則，所以；(2)證明：令，則，所以①當時，，此時；②當時，由（1）可知：當時，，即③當時，，綜上所述：當時，.22．在直角坐標系中，曲線的方程為：.(1)以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程；(2)設曲線C上任一點為，求的取值范圍.【答案】(1)（為參數(shù)，且）(2)【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和普通方程之間的關系進行轉化即可；（2）利用（1）中已知參數(shù)方程代入并結合參數(shù)范圍即可求出范圍.(1)曲線，即，是以為圓心，為半徑，且過原點的圓，設過原點的直線交曲線的另一點于，設，則，由已知得，以過原點