(完整版)高等數(shù)學(xué)科學(xué)出版社下冊課后答案第十章曲線積分與曲面積分習(xí)題簡答

第十章曲線積分與曲面積分習(xí)題簡答習(xí)題10—1xy21A(0,1)B(,1)之間的一段劣??；1（1）Ixds，其中是圓L2中到22L解:(11)．2y（2）Ao(xy1)ds，其中是頂點為LO(0,0),A(1,0)及LCxB(0,1)所成三角形的邊界；B解:(xy1)ds322．L（3）xyds，其中為圓周xy2x；L222L解:y2ds2．x2L（4）x2yzds，其中為折線段ABCD，這里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),LLD(1,2,3)；解:x2yzds85．z3LB(0,0,2)D(1,2,3)C(1,0,2)xyz21(x0,y0,z0)的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密2求八分之一球面221度。A(0,0,0)yx444坐標(biāo)為,,．解故所求重心333習(xí)題10—21設(shè)L為xOy面內(nèi)一直線yb（為b常數(shù)），證明1Q(x,y)dy0。L證明：略.2計算下列對坐標(biāo)的曲線積分：（1）xydx，其中為拋物線y2x上從點A(1,1)到點B(1,1)的一段弧。LL4解:xydx。5Lx0時的點到（2）(x2y2)dx(x2y2)dy，其中是曲線y11x從對應(yīng)于LLx2時的點的一段??；解(x2y2)dx(x2y2)dy4．3Lydxxdy,L是從點A(a,0)沿上半圓周x2y2a2到點B(a,0)的一段弧；（3）L解ydxxdy0.L（4）xydyxydx，其中沿右半圓x2y2a2以點A(0,a)為起點，經(jīng)過點C(a,0)L22L到終點B(0,a)的路徑；解xydyxydxa4。224Lx3dx3zy2dyx2ydz，其中為從點A(3,2,1)到點B(0,0,0)的直線段AB；L（5）L870t3dt874。x3dx3zy2dyx2ydz解L11,xy22（6）I(zy)dx(xz)dy(xy)dz，L為橢圓周且從z軸xyz2,L正方向看去，L取順時針方向。解:2。習(xí)題10—31.利用曲線積分求下列平面曲線所圍成圖形的面積:23a解:。28(2)圓x2y22by，（b0）；解:。b22利用格林公式計算下列曲線積分:(1)(yx)dx(3xy)dy，其中L是圓(x1)2(y4)29，方向是逆時針L方向；解:18。ydx(3sinyx)dy，其中是依次連接A(1,0),B(2,1),C(1,0)三點的折線L(2)L段，方向是順時針方向。解:2.(exsinymy)dx(excosym)dym，其中為常數(shù)，L為圓x2y22ax(3)L上從點A(a,0)到點O(0,0)的一段有向?。?1解:2ma202ma2。yxdyydx，其中為橢圓4x2y21，取逆時(4)Lx2y2L針方向；0(0,0)oA(2a,0)x2解d2．0(5)uuu(x,y)x2y2，L為圓周x2y26x取逆時針方向，是nLnds，其中u沿L的外法線方向?qū)?shù)。解u36。Lnds3證明下列曲線積分在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值:(2,1)(2)(2xy)dxxydy；(1)(0,0)P解令P2xy，Qx2y，則1在整個yQxyB(2,1)A(2,0)3OxxOy面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分(2xy)dxxydy在整個面內(nèi)與路徑無(2)xOy(2,1)(0,0)關(guān)。為了計算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有(2,1)(2xy)dxxydy415。(2)(0,0)(x,y)(2xcosyysinx)dx(2ycosxxsiny)dy；2解令P2xcosyy2sinx，Q2ycosxx2siny，(2)2(0,0)yP則Q在整個xOy面內(nèi)恒成立，因B(x,y)y2(ysinxxsiny)x此，(2xcosyysinx)dx(2ycosxx2siny)dy在整O(x,y)2A(x,0)x(0,0)個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有(x,y)(2xcosyysinx)dx(2ycosxxsiny)dy22(0,0)x2cosyy2cosx。(y)（3）(x)dx(y)dy，其中和為連續(xù)函數(shù)。(1,2)(x)(2,1)Py0Qx在整個xOy面內(nèi)恒成立，因此，曲線P(x)，Q(y)，則解令積分(x)dx(y)dy在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計算該曲線積分，取如右圖xOy(1,2)(2,1)所示的積分路徑，則有(1,2)yC(1,2)12()xdx(y)dy。(x)dx(y)dy(2,1)214驗證下列P(x,y)dxQ(x,y)dy在整個xOy面內(nèi)為某B(1,1)A(2,1)Ox一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出這樣的一個u(x,y)：（1）(2xsiny)dxxcosydy；解令P2xsiny，QxcosyPyB(x,y)?Qxcosycosy，y?A(x,0)xO∴原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取4(x,y)(0,0)，00u(x,y)(x,y)PdxQdy=xxsiny2(0,0)(x2xyy2)dx(x22xyy2)dy；（2）2QxPyPx22xyy2，Qx22xyy，所以2x2y在整個解因為2xOy面內(nèi)恒成立，因此，：在整個xOy面內(nèi)，(x2xyy2)dx(x22xyy2)dy是某2一函數(shù)u(x,y)的全微分，即有(x22xyy2)dx(x22xyy2)dydu。u(x,y)13xxyxy13yC。易知3223（3）ex(1siny)dx(ex2siny)cosydy。解令P(x,y)ex(1siny)，Q(x,y)(ex2siny)cosy，則在全平面上有QPecosy，滿足全微分存在定理的條件，故在全平面上，xxyex(1siny)dx(ex2siny)cosydy是全微分．u(x,y)ex1exsinysin2y．5可微函數(shù)f(x,y)應(yīng)滿足什么條件時，曲線積分f(x,y)(ydxxdy)L與路徑無關(guān)？Pyf(x,y)，Qxf(x,y)，則解令Pf(x,y)yf(x,y)Qf(x,y)xf(x,y)。x，yyxPQf(x,y)(ydxxdy)當(dāng)y，曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。xOyxL5習(xí)題10—4xOyf(x,y,z)dS與二重積分有什么關(guān)系1當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分?xOyDxOy答當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，在面上的投影就是，于是有Df(x,y,z)dSf(x,y,0)dxdy。(xy2)dS2計算曲面積分，其中是D2zx（1）錐面yz1及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；22解1(21)。2zyz(0（2）yOz面上的直線段x01)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面。2解。23計算下列曲面積分:(1)dS，其中是拋物面在面上方的部分：xOyz2(x2y2),z0；13π.解：3(2)(xyz)dS，其中是上半球面xy2z2a2,z；02解：0πa3πa3.x3yzxyz)dS，其中為平面1在第一234（3）(卦限的部分；22761．6（4）1x2y2dS，其中是柱面xy2R2被平面﹑z0zH所截得的部分.2解1x2y2πH.dSR1同理可求得1x2y2dSπHR.26所以12πHdS.xy22R1z(xy2)（0z1）的質(zhì)量，此殼的密度為z。4求拋物面殼222π解(631).15習(xí)題10—5xOyR(x,y,z)dxdy與二重積分有什么關(guān)系?1當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分xOyxOy,的方程為0。若在面上的投影區(qū)域z答當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時為D，那么xyR(x,y,z)dxdyR(x,y,0)dxdy，Dxy當(dāng)取上側(cè)時，上式右端取正號;當(dāng)取下側(cè)時，上式右端取負(fù)號。2計算下列對坐標(biāo)的曲面積分:(1)(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy，其中是以坐標(biāo)原點為中心，邊長為2的立方體整個表面的外側(cè)；解：(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy24.1z22為旋轉(zhuǎn)拋物面(z0,z2之間部2)介于xy（2）(zx)dydzzdxdy，其中2分的下側(cè)。解：(z2x)dydzzdxdy8π。（3）xdydzydxdzzdxdy，其中為xy2z2a2，的上側(cè)；z02233=2a3解∴原式=a37（4）xydydzyzdxdzzxdxdy，其中是由平面，，，xyz1所圍成的四面體的表面的外側(cè)。解：xydydzyzdxdzzxdxdy。83把對坐標(biāo)的曲面積分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy3x2y23z6在第一卦限的化成對面積的曲面積分，這里為平面部分的上側(cè)。3223R(x,y,z)]dS解：[P(x,y,z)Q(x,y,z)555習(xí)題10—61利用高斯公式計算下列曲面積分：(xy)dxdyx(yz)dydzxy21及平面及所z0z3，其中為柱面2（1）圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。（《高等數(shù)學(xué)》P170例1）9解：。2（2）(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyzx2y，其中為曲面2及平面z0﹑zh(h0)所圍成的空間區(qū)域的整個邊界的外側(cè)。解(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy=0.zzh(xcosy2cosz2cos)dS，其中為錐面（3）2x2y2z介于平面z0﹑zh(h0)之間的2部分的下側(cè)，oycos﹑cos﹑是在點(x,y,z)處的法向量的方向余cosx弦。8解：h3。2利用高斯公式計算三重積分(xyyzzx)dxdydz，其中是由，，x0y00z1及x2y1所2z確定的空間閉區(qū)域。(xyyzzx)dxdydz11111解：。2663244353利用斯托克斯公式計算下列曲線積分：O（1）y(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz，1Lx其中L為平面xyz1與三個坐標(biāo)面的交線，其正向為逆時針方向，與平面xyz1上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則；(y2z2)dxzx2)(dy(x2y2)dz0。解：2L（2）(zy)dx(xz)dy(yx)dz，其中L為以點A(a,0,0)﹑B(0,a,0)﹑LC(0,0,a)為頂點的三角形沿ABCA的方向。解：(y2zx2))dx(z22dy(x2y2)32。dzaL習(xí)題10—71若球面上每一點的密度等于該點到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質(zhì)量。）解：8ar34。4adra2r2a302設(shè)某流體的流速為v(yz,zx,xy)，求單位時間內(nèi)從圓柱：xya（0zh）222的內(nèi)部流向外側(cè)的流量（通量）。解：0.9v(xyz,y2zx,z2xy)的散度。3求向量場2PQR解divv2(xyz)。xyzxy1,22yixjck（為常數(shù)）沿有向閉曲線cL:4求向量場A（從z軸的z0,正向看L依逆時針方向）的環(huán)流量。2(sin2tcos2t)dt2。Qyxxdycdz解：()dL0復(fù)習(xí)題A一、選擇題1．設(shè)是從原點O(0,0)沿折線yx11至點A(2,0)的折線段,則曲線積分Lydxxdy等于（C）．LB．1．2D．．A．0．2C．．2．若微分(2008x20084xy3)dx(cx2y22009y2009)dy為全微分，則c等于（B）．A．0．B．6．C．6．D．2．3．空間曲線L:xetcost,yetsint,zet(0t1)的弧長等于（D）．A．1．B．2．C．3．D．3(e1)．4．設(shè)為上半球面z2x2y2，為在第一卦限的部分，則下列等式正確的是1（D）．dS．B．dS2dS．A．dS1dS4dS．1D．SC．d3dS．115．設(shè)為球面x2y2z2a2的外側(cè)，則積分zdxdy等于（A）．10A．2B．a(chǎn)2x2y2dxdy．C．1．D．0．22dxdy．a(chǎn)2x2yx2y2a2x2y2a2二、填空題Ltyasint(01．設(shè)曲線為圓周cos,xat(xy2)2009ds2a4019．2),則2L2．設(shè)為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分(2xy2)d(xxx24y)dy0．LL1dS4．z23．設(shè)是以原點為球心,為半徑的球面,則2Rxy223a3．4．設(shè)為球面xyz2a2的下半部分的下側(cè),則曲面積分dd22zxy5．向量場A(y2z2)i(z2x2)j(x2y2)k的旋度rotA(2y2z)i(2z2x)j(2x2y)k．三、計算題y1.計算x2y2dsL：xyax22ds=2aL解：∴xy222xLoaxyyxydx,其中為右半圓LA(0,a)a2以點為起點B(0,a)2．計算2dxy2,點為終22L點的一段有向??；1解：a4。43．計算xyzdS,其中為平面xyz1在第一卦限中的部分；解：3。1204.計算yzdzdx,其中是球面xyz21的上半部分并取外側(cè)；22π解。45．驗證：在整個xOy面內(nèi),(x23y)dx(3xy2)dy是某一函數(shù)u(x,y)的全微分,并求出一個這樣的函數(shù).。11QxPy解因為3y,Q3xy2,所以Px3在整個面內(nèi)恒成立xOy,因此,在整個2xOy面內(nèi),(x3y)dx(3xy2)dy是某一函數(shù)(,)的全微分,uxy2所求的函數(shù)為u(x,y)13x33xy13y3C.x2y2z21,d,其中為閉曲線yxzdyxz四、計算曲線積分dL，若從z軸正IyzL向看去,取逆時針方向.L解：0.zxy0五、計算曲面積分(xy2)dS,其中是線段z(02)繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所得2的旋轉(zhuǎn)曲面．解：(x2y2)dS82π。z1x22繞z軸旋轉(zhuǎn)y0六、計算曲面積分(zx)dydzzdxdy,其中為zOx上的拋物線2z2一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面介于z0和之間的部分的下側(cè)．解：8π，七、設(shè)一段錐面螺線xecos,yesin,ze(0π)上任一點(x,y,z)處的線密1度函數(shù)為(x,y,z)z,求它的質(zhì)量．x2y223解：1e。π2x0內(nèi)與路徑無關(guān),八、設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),積分()(dd)在右半平面fxyxyL試求滿足條件f(0)1的函數(shù)f(x)．解令P(x,y)yf(x)，Q(x,y)f(x)，依題意，有QP，xyf(x)ex為所求的函數(shù)。12九、設(shè)空間區(qū)閉域由曲面x2zaz0y2與平面圍成a,其中為正常數(shù),記表面2V的外側(cè)為,的體積為,證明：x2yz2dydzxy2z2dzdx(1xyz)zdxdyV．證明略。復(fù)習(xí)題B一、填空題2z2a3a32x2y2L1．設(shè)的方程,則dxs2xy0Lxydxxydy的值為2．設(shè)為正向圓周(x1)(y1)21，則曲線積分L2x2y2xy22L0．3．設(shè)是曲面zxy2介于1和之間的部分z2,則曲面積分z22I(x2y2z2)dS的值為172π．zxyzRx2y圍成的空間閉區(qū)域2,是的整4．設(shè)是由錐面與半球面222個邊界的外側(cè),則xdydzydzdxzdxdy(22)πR3．Arz(x23),則矢量場dgrar通過曲面xy2z21上半部分的流量25．設(shè)15Qπ．4二、計算題1．計算曲線積分yds，L（1）L是第一象限內(nèi)從點A(0,1)到點B(1,0)的單位圓弧B'(