【2017年整理】曲線積分及其與路徑無關(guān)問題

曲線積分與路徑無關(guān)問題1.第一型曲線積分(1)對弧長的曲線積分的模型：設(shè)給定一條平面曲線弧：,其線密度為求弧的質(zhì)量。,(2)若，則=，即對弧長的曲線積分與積分弧段有關(guān),但與積分弧段的方向無關(guān)。(3)對弧長的曲線積分的計(jì)算設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為，,其中、在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且=特別,當(dāng)時(shí),表示曲線弧的弧長。當(dāng)曲線弧的方程為，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則=；把線弧的方程為化作參數(shù)方程，，=2.第二型曲線積分(1)第二型曲線積分的模型:設(shè)有一平面力場，其中為連續(xù)函數(shù),一質(zhì)點(diǎn)在此力場的力作用下，由點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動到點(diǎn)，求力場的力所作的功。，(2)設(shè)為有向曲線弧，為與方向相反的有向曲線弧，則即第二型曲線積分方向無關(guān)(3)設(shè)平面上的有向曲線的參數(shù)方程為，當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí),曲線的點(diǎn)由起點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn),、在以及為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)、在上連續(xù)，則曲線積分存在，且=這里的是曲線的起點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，是曲線的終點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，并不要求。若曲線的方程為對應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則=；若曲線的方程為對應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則=。同樣，以上并不要求，。公式可推廣到空間曲線上對坐標(biāo)的曲線積分的情形，若空間曲線的參數(shù)方程為，則=這里下限為曲線的起點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值，上限為曲線的終點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值。例1計(jì)算，其中(1)為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。(2)為從到點(diǎn)的直線段.解法1(1)由知不是的單值函數(shù)，因此不能運(yùn)用公式（2），但可運(yùn)用公式（3），這里，從變到，于是===。解法2當(dāng)把曲線分成與兩部分時(shí)，在每一部分上都是的單值函數(shù)。在上，由變到；在上，，由變到。于是=+=+==(2)直線的方程為,,從到,于是==從這個(gè)例子可以看出,對坐標(biāo)的曲線積分沿不同的路徑,曲線積分不一定相等.3.格林公式及其應(yīng)用格林公式:設(shè)平面閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中是的正向邊界曲線。在公式(1)中取，可得，上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此計(jì)算有界閉區(qū)域的面積的公式為:。例2計(jì)算星形線所圍圖形的面積.解由公式(2)得===.例3在過點(diǎn)Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲線族中，求一條曲線Ｃ，使沿該曲線從Ｏ到Ａ的線積分的值最小。解本題可用代入法直接求解，這里采用“補(bǔ)線法”用格林公是求解。令，即AO直線段。。用一元函數(shù)極值的方法得時(shí)達(dá)到最小值。4.平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件從定義我們知道，曲線積分的值與被積函數(shù)與積分的路徑有關(guān)，但也有特殊情形，如重力對物體作的功只與起點(diǎn)、終點(diǎn)位置有關(guān)，與物體移動的路徑無關(guān)；定義：（曲線積分與路徑無關(guān)問題）設(shè)是平面上的一個(gè)開區(qū)域，以及在內(nèi)具有一階階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果對內(nèi)任意兩點(diǎn)與，以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條曲線、，恒有=，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)。定理：以下條件等價(jià)在區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)的充分；內(nèi)沿任一閉曲線的積分為零；設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)恒成立；為全微分．例3計(jì)算,其中是從點(diǎn)經(jīng)圓周上半部到點(diǎn)的弧段。解直接計(jì)算曲線積分比較難,先判斷是否與積分路徑無關(guān).這里,,有=,且與在全平面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).因此這個(gè)曲線積分與路徑無關(guān).為便于計(jì)算,取直線段作為積分路徑.于是==例4計(jì)算,其中為:（1）任一簡單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域不含有原點(diǎn);（2）以原點(diǎn)為圓心的任一圓周.解這里,,,且與在不含原點(diǎn)的任意一個(gè)區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（1）這個(gè)曲線積分與路徑無關(guān),所以.（2）由這一圓周所包圍折區(qū)域內(nèi)含有原點(diǎn),因此不滿足定理(3)及格林公式的條件,只能直接計(jì)算.這一圓周的參數(shù)方程為,,則.例5設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（=1\*ROMANI）證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（=2\*ROMANII）求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】證明（=1\*ROMANI）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（=2\*ROMANII）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可.Y【詳解】（=1\*ROMANI）Yl2CoXl3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則.（=2\*ROMANII）設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（Ⅰ）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有.①②比較①、②兩式的右端，得④③④③由③得，將代入④得所以，從而【評注】本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形.5.二元函數(shù)的全微分求法定義：若函數(shù)使,則稱函數(shù)是表達(dá)式的一個(gè)原函數(shù)。判別法：設(shè)開區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)存在原函數(shù)的充分必要條件是等式在內(nèi)恒成立。求法：一般取.例5驗(yàn)證在整個(gè)在平面內(nèi)是存在原函數(shù),并求出一個(gè)原函數(shù)。解這里,,且在整個(gè)在平面內(nèi)恒成立,因此在整個(gè)在平面內(nèi)存在原函數(shù).==.對于常微分方程,由上面可知這個(gè)微分方程的通解為(為任意常數(shù)).PAGEPAGE1六年級下冊語文培優(yōu)測試卷（一）第一部分：詞語積累與運(yùn)用一、將下列句中畫線的俗語換成一個(gè)意義相當(dāng)?shù)乃淖殖烧Z。1、人家又沒有明確是說你，你去解釋，不是此地?zé)o銀三百兩嗎？（）2、他的結(jié)局，對于那種這山望著那山高的人，也是一個(gè)極好地教訓(xùn)。（）3、再不動動腦子，還是這樣干下去，肯定是井里打水往河里倒。（）4、讓我這個(gè)大老粗在這么多人面前作報(bào)告，這不是趕鴨子上架嗎？（）二、將成語補(bǔ)充完整。只許州官放火，（）以其人之道，（）千里之行（）（），死而后已（），路人皆知天下興亡，（）三：依次填入下列各句橫線處的詞語，最恰當(dāng)?shù)囊唤M是（）如果不是秋風(fēng)將種子吹下莖稈，那種子不是要被酷寒所凍僵嗎？是秋風(fēng)，把葉子介紹給根須，使它找到了_______生命的母體；是秋風(fēng)，把種子藏進(jìn)了厚實(shí)的泥土，使它有了一個(gè)_______春天的溫床；是秋風(fēng)，把果實(shí)領(lǐng)進(jìn)了一個(gè)個(gè)溫暖的家，使它_______了生命的胚胎。A．延伸萌生保持B。延續(xù)萌動保持C．延續(xù)萌生保存D。延伸萌動保存四、下列詞語搭配完全正確的一項(xiàng)是（）A． 提高認(rèn)識價(jià)錢便宜解決疑難保衛(wèi)公物B． 反映情況身體強(qiáng)大發(fā)揚(yáng)風(fēng)格灌溉稻田C． 發(fā)現(xiàn)問題遠(yuǎn)大理想?yún)⒂^演出改正錯誤D． 改善生活天氣晴朗安排工作工作認(rèn)真五、在括號里填上恰當(dāng)?shù)姆戳x詞。（1）春天對（）正如秋天對（）（2）簡單對（）正如復(fù)雜對（）（3）詳細(xì)對（）正如簡略對（）（4）（）對湖水正如（）對海洋。（5）保護(hù)環(huán)境是（）的，破壞環(huán)境是（）的。第二部分閱讀部分夢結(jié)束的地方有人做過統(tǒng)計(jì)，迄今為止，大約有五百人成功地等上了珠穆朗瑪峰頂，亦大約有五百人在攀登過程時(shí)獻(xiàn)出了寶貴的生命。無論這個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字屬實(shí)與否，都不折不扣地表明，攀登珠穆朗瑪峰生死系于一線，代價(jià)極其殘酷。因攀登珠穆朗瑪峰而遇難的勇士凈庚華去世后，筆者走進(jìn)他的獨(dú)居，目睹的是一個(gè)癡迷登山者的世界：墻上貼滿了登山明星的照片、珠峰風(fēng)景畫、掛滿了登山爪、登山靴、滑雪桿。他用13年的漫長歲月做準(zhǔn)備，為此放棄了婚煙，離開了心愛的女兒，甚至不惜失去性命。無限風(fēng)光，唯有觸天者才領(lǐng)略得到吧！一位朋友成功地登上了海拔6400米的一座山峰，我問他，那種高處不勝寒的峰巔之感一定驚魂動魄吧？沒有一絲塵埃的繁星，廣袤深邃如寶石樣的天宇，還有潔白無暇的冰雪，一定讓人的肺腑都透明了！朋友卻一本正經(jīng)地?fù)u頭道：“完全不是這樣的，冰天雪地的山頭上能有什么吸引力？天幕、繁星、晶瑩的冰雪，那是使人塑造的仙境。當(dāng)時(shí)的情形根本不浪漫，巨大的風(fēng)裹著徹骨風(fēng)寒，滿眼白茫茫的，就這些?！闭婢瓦@些，這么令人失望嗎？答案如此肯定。那么，為什么要登山呢？不要命地登那么高的山，想證明什么？英雄氣概？挑戰(zhàn)極限的能力？我費(fèi)解而又焦急地望著朋友。朋友悠悠地說：“那一刻，我只覺得一顆心從喉嚨里咯噔一下子回到胸膛里去了，就像做了個(gè)痛苦而又漫長的夢，我終于可以釋懷了。”那是夢結(jié)束的地方，高聳入云。這夢扯著生命的腳步，一路跋涉，萬水千山，赴湯蹈火。（）那座山叫什么名字，在地殼上，在實(shí)驗(yàn)室中，（）在書本里，（）充滿了誘惑。明白了嗎？生命原來是夢想的一架梯子，可以一直延伸到夢想成真的那一刻，只要你永不放棄。1.“夢結(jié)束的地方”指的是什么？用自己的話簡要回答。________________________________________________________________________________________________________________2.給第五自然段括號處選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)詞，正確的一項(xiàng)是（）A.因?yàn)檫€是那B.即使只要就、C.如果那么就D.無論還是都3.第三自然段，朋友說“當(dāng)時(shí)的情形根本就不浪漫”。這里的“浪漫”指（用原文里的話來回答）____________________________________________________________________。他說“不浪漫”的原因是（用原文句子來回答）______________________________________。4.第4自然段中，朋友說：“我終于可以釋懷了?！边@里的“釋懷”的意思是_________________________________________________________________________________________________。他“終于可以釋懷的原因是_______________________________________________________。5.短文第6自然段與文題“夢結(jié)束的地方“是_____________________關(guān)系，在文中起的作用是___________________________________。你對這段文字的理解是____________________。6.你的理想是什么？你怎么實(shí)現(xiàn)它？（3分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________穿透靈魂的微笑非洲的一座火山爆發(fā)了，隨之而來的泥石流狂瀉而下，迅速撲向座落在山腳下不遠(yuǎn)處的一個(gè)小山莊。農(nóng)舍、良田、樹木，一切的一切都沒有躲過被沖毀的（劫難困難）。

滾滾而來的泥石流驚醒了睡夢中的一個(gè)十四歲的小女孩。流進(jìn)屋內(nèi)的泥石流已上升到她的頸部。小女孩只露出雙臂、頸和頭部。及時(shí)趕來的營救人員圍著她一籌莫展。因?yàn)閷Ρ轶w鱗傷的她來講，每一次拉扯無疑是一種更大的（傷害危害）。此刻房屋早已倒塌，她的雙親也被泥石流奪去生命，她是村里為數(shù)不多的幸存者之一。

當(dāng)記者把攝像機(jī)對準(zhǔn)她時(shí)，她始終沒有叫一個(gè)“疼”字，而是咬著牙微笑著，不停地向營救人員揮手致謝，兩臂做出表示勝利的“V”字形。她（堅(jiān)信相信）政府派來的營救人員一定能夠救她。可是，營救人員傾盡全力也沒能從固若金湯的泥石流中救出她。小女孩始終微笑著揮著手一點(diǎn)一點(diǎn)地被泥石流（淹沒掩蓋）。

在生命的最后一刻，她臉上流露著微笑，手臂一直保持著“V”字形。那一刻仿佛漫長如一個(gè)世紀(jì)，在場的人含淚目睹了這莊嚴(yán)而又悲慘的一幕。世界靜極，只見靈魂獨(dú)舞。

死神（

）可以奪去人的生命，（

）永遠(yuǎn)奪不去生死關(guān)頭那“V”字所蘊(yùn)含的信念和精神！常常在生命邊緣蘊(yùn)含著震撼世界的力量，讓人生所有的苦難如輕煙般飄散。

世界上最堅(jiān)硬不屈的就是那在苦難中的微笑著、痛苦著、高揚(yáng)信念旗幟的靈魂。

1、在括號內(nèi)選擇合適的詞。2、在“（

）”處填上合適的關(guān)聯(lián)詞。

3、寫近義詞：蘊(yùn)含（

）震撼（

）一籌莫展（

）遍體鱗傷（

）

4、“V”字形代表

_____________________________________________，“莊嚴(yán)而又悲慘的一幕”是指

________________________