有限元分析與應(yīng)用第一章

有限元分析與應(yīng)用第一章第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六（1）工程問題（2）數(shù)值方法（3）有限元方法與ANSYS簡介（4）有限元方法的基本步驟（5）直接公式法（6）最小總勢能公式（7）加權(quán)余數(shù)法（8）結(jié)果的驗證（9）理解問題本章的內(nèi)容第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六

工程問題一般是物理問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是帶有邊界條件和初始問題的微分方程，微分方程是通過對系統(tǒng)應(yīng)用自然的基本定律和原理推導(dǎo)出來的，如波動方程等。這些微分方程代表了某種物理規(guī)律或平衡。（數(shù)理方程）在可能的情況下，由給定的條件求解微分方程可以得到系統(tǒng)的精確行為。在任何給定的工程問題中，存在兩種影響系統(tǒng)行為的參數(shù)。一種表示給定系統(tǒng)自然行為的參數(shù)，例如彈性模量、熱傳導(dǎo)因子和粘度等。另一種是系統(tǒng)存在產(chǎn)生擾動的參數(shù)，如外力、力矩、介質(zhì)的溫度差和流體的壓力差等。在有限元建模中，理解參數(shù)在剛度或傳導(dǎo)矩陣以及負(fù)荷矩陣中的作用是非常重要的。系統(tǒng)特性總是在剛度矩陣、傳導(dǎo)矩陣中得到體現(xiàn)，而擾動參數(shù)總是出現(xiàn)在負(fù)荷矩陣中。工程問題第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六在許多實際工程問題中，由于微分方程的復(fù)雜性或邊界條件和初始條件的難以確定性，得不到系統(tǒng)的精確解。為此我們借助數(shù)值方法來近似。解析解表明了系統(tǒng)在任何點(diǎn)上的精確行為，而數(shù)值解只在稱為節(jié)點(diǎn)的離散點(diǎn)上近似于解析解。數(shù)值法的第一步都是離散化。這一過程將系統(tǒng)分成一些單元和節(jié)點(diǎn)，然后對每一單元或節(jié)點(diǎn)建立代數(shù)方程組。這種方法假設(shè)代表每個單元的近似函數(shù)是連續(xù)的。假設(shè)單元間的邊界是連續(xù)的，通過組合各單元的解產(chǎn)生系統(tǒng)的完全解。數(shù)值方法第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六

有限元方法是用于求解工程中各類問題的數(shù)值方法，應(yīng)力分析中穩(wěn)態(tài)的、瞬態(tài)的、線性的或非線性的問題以及熱傳導(dǎo)、流體流動和電磁學(xué)中的問題都可以用有限元方法進(jìn)行分析解決?，F(xiàn)代有限元方法的20世紀(jì)早期開始，20世紀(jì)50年代，boeing公司采用三角元對機(jī)翼進(jìn)行建模，推動了有限元方法的應(yīng)用。到20世紀(jì)60年代，人們接受了“有限元”這個詞。ANSYS是一個通用的有限元計算機(jī)程序，其代碼長度超過10萬行。應(yīng)用ANSYS可以進(jìn)行靜態(tài)、動態(tài)、熱傳導(dǎo)、流體流動和電磁學(xué)等分析。在過去的20多年里，ANSYS是主要的有限元分析程序?，F(xiàn)在ANSYS被廣泛應(yīng)用在如航天、汽車、電子、核科學(xué)等領(lǐng)域。有限元方法與ANSYS簡介第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六有限元方法的基本步驟

預(yù)處理階段1建立求解域并將之離散化成有限元，即將問題分解成節(jié)點(diǎn)和單元。2假設(shè)代表單元物理行為的形函數(shù)，即假設(shè)代表單元解的近似連續(xù)函數(shù)。3對單元建立方程。4將單元組合成總體的問題，構(gòu)造總體剛度矩陣。5應(yīng)用邊界條件、初值條件和負(fù)荷。求解階段6求解線性或非線性的方程組，以得到節(jié)點(diǎn)的值，例如得到不同節(jié)點(diǎn)的位移量或熱傳遞問題中不同節(jié)點(diǎn)的溫度值。后處理階段7得到其他重要的信息。如主應(yīng)力、熱量值等。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六1.5直接公式法例1.1桿的一端固定，另一端承受負(fù)荷P，桿的厚度t，長度L。桿的彈性模量用E表示。假設(shè)應(yīng)用的負(fù)荷比桿的重量大的多。將問題域離散成有限的單元，首先將問題分解成節(jié)點(diǎn)和單元。我們用5節(jié)點(diǎn)4單元的模型代替桿，如圖所示，分的越細(xì)越精確。桿的模型中有四個獨(dú)立的分段，每個分段都有統(tǒng)一的橫截面積。預(yù)處理階段第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六假設(shè)近似單元行為的近似解考慮一個帶有統(tǒng)一橫截面A的實體的偏轉(zhuǎn)量，橫截面的長度為l，承受的外力為F，如圖所示。

實體的平均應(yīng)力為實體的平均應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系為這里E是彈性模量。第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六這樣有

令

，則

這相當(dāng)于彈簧。我們認(rèn)為桿由四個彈性系數(shù)不同的彈簧組成，對每個彈簧來說，

和分別是和處的節(jié)點(diǎn)的橫截面積，l是單元的長度。第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六靜力學(xué)要求每個節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力和為零，所以節(jié)點(diǎn)1：節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：節(jié)點(diǎn)5：第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六重組方程組，得到

第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六寫成矩陣的形式為=在負(fù)荷矩陣中，將反作用力和負(fù)荷區(qū)分開來是很重要的，于是=第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六上式表示成

上式中，R為反作用力，K為剛度矩陣，u為位移矩陣，F(xiàn)為負(fù)荷矩陣。由于桿的頂端是固定的，其位移為零，上面的方程簡化為求解上面的方程，得到節(jié)點(diǎn)的位移量。第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六3．對單元建立方程每個單元有兩個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)相應(yīng)一個位移量，因此我們需要對每個單元建立兩個方程，這些方程必須和節(jié)點(diǎn)的位移量和單元的剛度有關(guān)，考慮單元內(nèi)部傳遞的力的關(guān)系。第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六節(jié)點(diǎn)滿足的方程為寫成矩陣形式

第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六4.將單元組合起來表示整體問題單元1的剛度矩陣為它在總體剛度矩陣中的位置為類似的，對于單元2、3、4，我們有第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六總體剛度矩陣為利用單元建立方程和利用節(jié)點(diǎn)建立方程，得到的結(jié)果一樣。第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六5.應(yīng)用邊界條件和負(fù)荷桿的頂端是固定的，即有邊界條件。在節(jié)點(diǎn)5處加外力P，于是矩陣中的第一行必須包含一個1和四個0，以讀取給定的邊界條件在固體力學(xué)的問題中，有限元公式一般有如下的形式：

第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六6.求解階段我們以例題來說明它。假設(shè)鋁975845715585單元節(jié)點(diǎn)平均截面面積（in2）長度（in）彈性模量單元剛度系數(shù)1120.2343752.52230.2031252.53340.1718752.54450.1406252.5第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六桿的橫截面面積的變化可以由下式來表示這樣，每個橫截面上的面積為每個單元的對等剛度系數(shù)為：第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六單元矩陣為：第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六總體剛度矩陣為應(yīng)用邊界條件和負(fù)荷，得到第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六第二行中，系數(shù)－975乘以的結(jié)果為零，我們得到如下矩陣位移