中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講專(zhuān)題20 三角形存在性問(wèn)題（教師版）

專(zhuān)題20三角形存在性問(wèn)題專(zhuān)題20三角形存在性問(wèn)題知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航方法技巧方法技巧1．判定△ABD的形狀，并說(shuō)明理由。運(yùn)用勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式，求出該三角形各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀。2．在對(duì)稱(chēng)軸x=1上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,t)后，分三種情況，若P為頂點(diǎn)，則PB=PC；若B為頂點(diǎn)，則BP=BC；若C為頂點(diǎn)，則CP=CB。分別用兩點(diǎn)間的距離公式求出或表示各線段的長(zhǎng)度，列方程求解即可。3．若平行于x軸的動(dòng)直線l與直線BD交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)P,若△ODF為等腰三角形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).用勾股定理求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離，再分類(lèi)討論等腰三角形各邊的情況，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。4．△ABD與△BOD是否相似？說(shuō)明理由.用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示兩個(gè)三角形的各邊之長(zhǎng)，再用相似的判定方法，注意相似中沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)邊，所以要分類(lèi)討論。題型精講題型精講題型一：等腰三角形存在性問(wèn)題【例1】（2021·四川南充市）如圖，已知拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且SKIPIF1<0．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得SKIPIF1<0為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見(jiàn)詳解；（3）（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）設(shè)拋物線SKIPIF1<0，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），得到PQ=SKIPIF1<0，從而求出線段PQ長(zhǎng)度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，推出SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0，∴B（4，0），C（0，4），設(shè)拋物線SKIPIF1<0，把C（0，4）代入得：SKIPIF1<0，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：SKIPIF1<0；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度最大=4，∴此時(shí)，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中點(diǎn)，∴D（0，2），∵QN∥y軸，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，設(shè)E（x，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴E（5，4），設(shè)F（0，y），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)BF=EF時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②當(dāng)BF=BE時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，③當(dāng)EF=BE時(shí)，SKIPIF1<0，無(wú)解，綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）．．題型二：直角三角形存在性問(wèn)題【例2】（2021·四川廣安市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0的圖象與坐標(biāo)軸相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)，其中SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，在線段SKIPIF1<0上以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)SKIPIF1<0做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，在線段SKIPIF1<0上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)SKIPIF1<0做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接SKIPIF1<0，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒．（1）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，四邊形SKIPIF1<0的面積最小，最小值為多少？（3）在線段SKIPIF1<0上方的拋物線上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以點(diǎn)SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知：AP=SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE=SKIPIF1<0=t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，AC=SKIPIF1<0，AB=4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t=SKIPIF1<0=2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為SKIPIF1<0=4；（3）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，SKIPIF1<0，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．題型三：等邊三角形存在性問(wèn)題【例3】（2020?遵義）如圖，拋物線y＝ax2+94x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．【分析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a與（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，假設(shè)△QCO為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC于H，OC＝3，則OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（332，32），把x=332代入②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左邊時(shí)，假設(shè)△QCO為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QT⊥OC于T，OC＝3，則OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（?332，32），把x=?332（3）求出B（4，0），待定系數(shù)法得出BC直線的解析式y(tǒng)=?34x+3，當(dāng)M在線段BC上，⊙M與x軸相切時(shí)，延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為⊙M與x軸的切點(diǎn)，即PM＝MD，設(shè)P（x，?34x2+94x+3），M（x，?34x+3），則PD=?34x2+94x+3，MD=?34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出結(jié)果；當(dāng)M在線段BC上，⊙M與y軸相切時(shí)，延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（x，?34x2+94x+3），M（x，?34x+3），則PD=?34x2+94x+3，MD=?34x+3，代入即可得出結(jié)果；當(dāng)M在BC延長(zhǎng)線，⊙M與x軸相切時(shí)，點(diǎn)P與A重合，M的縱坐標(biāo)的值即為所求；當(dāng)M在CB延長(zhǎng)線，⊙M與y軸相切時(shí)，延長(zhǎng)PD交x軸于D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（【解析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：解得：a=?3∴拋物線的解析式為：y=?34x2+（2）不存在，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，如圖1所示：假設(shè)△QCO為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC于H，∵點(diǎn)C（0，3），∴OC＝3，則OH=12OC=3∴QH＝OH?tan60°=3∴Q（332，把x=332代入y=?34得：y=27∴假設(shè)不成立，∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左邊時(shí)，如圖2所示：假設(shè)△QCO為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QT⊥OC于T，∵點(diǎn)C（0，3），∴OC＝3，則OT=12OC=3∴QT＝OT?tan60°=3∴Q（?332把x=?332代入y=?34得：y=?27∴假設(shè)不成立，∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左邊時(shí)，不存在△QCO為等邊三角形；綜上所述，在拋物線上不存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形；（3）令?34x2+解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入則0=4k+b3=b解得：k=?3∴BC直線的解析式為：y=?34當(dāng)M在線段BC上，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖3所示：延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為⊙M與x軸的切點(diǎn)，即PM＝MD，設(shè)P（x，?34x2+94x+3），M（x則PD=?34x2+94x+3，∴（?34x2+94x+3）﹣（?3解得：x1＝1，x2＝4（不合題意舍去），∴⊙M的半徑為：MD=?34+當(dāng)M在線段BC上，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖4所示：延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（x，?34x2+94x+3），M（x則PD=?34x2+94x+3，∴（?34x2+94x+3）﹣（?解得：x1=83，x∴⊙M的半徑為：EM=8當(dāng)M在BC延長(zhǎng)線，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖5所示：點(diǎn)P與A重合，∴M的橫坐標(biāo)為﹣1，∴⊙M的半徑為：M的縱坐標(biāo)的值，即：?34×當(dāng)M在CB延長(zhǎng)線，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖6所示：延長(zhǎng)PD交x軸于D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，設(shè)P（x，?34x2+94x+3），M（x則PD=34x2?94x﹣3，∴（34x2?94x﹣3）﹣（34解得：x1=163，x∴⊙M的半徑為：EM=16綜上所述，⊙M的半徑為94或83或154題型四：三角形相似存在性問(wèn)題【例4】（2021·陜西）已知拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)A、B（其中A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】(1)令y=0,求SKIPIF1<0的根即可；令x=0,求得y值即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,確定SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（2，8），計(jì)算SKIPIF1<0C=2，利用直角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分類(lèi)求解即可.【詳解】解：（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）存在．由已知得，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線SKIPIF1<0．∵點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵點(diǎn)P在y軸上，∴SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．iii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾．∴點(diǎn)P不存在∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．提分訓(xùn)練提分訓(xùn)練1．（2020?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．且直線y＝x﹣6過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△MDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）由一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，再由對(duì)稱(chēng)求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面積公式求得△MDB的面積關(guān)于m的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最大值的求法，求得m的值，進(jìn)而得P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分三種情況：M為直角頂點(diǎn)；N為直角頂點(diǎn)；Q為直角頂點(diǎn)．分別得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴C（0，6），把B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c中，得?36+6b+c=0c=6解得，b=5c=6∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5x+6；（2）設(shè)P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），則MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面積=12MN?OB=?3m2+12m+36═﹣3（m∴當(dāng)m＝2時(shí)，△MDB的面積最大，此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），當(dāng)∠QMN＝90°時(shí)，QM∥x軸，則Q（0，12）；當(dāng)∠MNQ＝90°時(shí)，NQ∥x軸，則Q（0，﹣4）；當(dāng)∠MQN＝90°時(shí)，設(shè)Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±55∴Q（0，4+55）或（0，4?綜上，存在以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．其Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4?2．（2021·四川瀘州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)（1）求證：∠ACB=90°（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+BF的最大值；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①9；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）分別計(jì)算A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長(zhǎng)，最后利用勾股定理逆定理解題；（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)SKIPIF1<0，接著解出SKIPIF1<0，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長(zhǎng)，再證明SKIPIF1<0，再分兩種情況討論以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0AOG相似，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）令x=0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得設(shè)即DE+BF的最大值為9；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，在中，即為等腰三角形，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，則①又，或經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合題意，舍去，綜上所述，或．3．（2020?銅仁市）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；（3）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），進(jìn)而可得出PF的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；（3）分兩種不同情況，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方或下方時(shí)，畫(huà)出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：a?b+6=09a+3b+6=0，解得：a=?2∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，如圖1所示．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：3k+c=0c=6，解得：k=?2∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S△PBC=12PF?OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m?32∴當(dāng)m=32時(shí)，△PBC面積取最大值，最大值為∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴0＜m＜3．（3）存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．如圖2，∠CMN＝90°，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△OBC相似，設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，當(dāng)DMCD=OBOC=36∴a?2解得，a＝1，∴M（1，8），此時(shí)ND=12DM∴N（0，172當(dāng)CDDM=OBOC=12∴?2a解得a=7∴M（74，55此時(shí)N（0，838如圖3，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C的下方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：2a2?4aa=12解得a=94或∴M（94，398）或此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，38）或（0，?綜合以上得，M（1，8），N（0，172）或M（74，558），N（0，838）或M（94，398），N（0，38）或M（3，0），N（0，?4．（2021·黑龍江中考真題）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），即可得到關(guān)于a、b的方程，從而可以求得a、b的值，然后即可寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再根據(jù)是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分類(lèi)討論，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），∴解得∴此拋物線的解析式為：（2）當(dāng)時(shí)，，所以，OB=OC=3，∴是等腰直角三角形，以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，設(shè)BC的解析式為，將B（﹣3，0），C（0，3）代入得，，解得，，故BC的解析式為，把代入得，，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，，解得，，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），則P點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．5．（2021·湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)在拋物線上且滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，；，；，．【分析】（1）由和，且D為頂點(diǎn)列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分兩種情況討論：①過(guò)點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，②在下方作交于點(diǎn)，交拋物線于；（3）為等腰直角三角形，分三種情況討論：當(dāng)；②當(dāng)；③當(dāng)．【詳解】解：（1）將和代入得又∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得∴拋物線的解析式為：．（2）∵和∴直線的解析式為：∵拋物線的解析式為：，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為．①過(guò)點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，則直線的解析式為，結(jié)合拋物線可知，解得：（舍），，故．②過(guò)點(diǎn)作軸平行線，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，由可知四邊形為正方形，∵直線的解析式為∴與軸交于點(diǎn)，在下方作交于點(diǎn)，交拋物線于∴又∵OC=CG，∴≌，∴，，又由可得直線的解析式為，結(jié)合拋物線可知，解得（舍），，故．綜上所述，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：，．（3）∵，∴直線的解析式為設(shè)M的坐標(biāo)為，則N的坐標(biāo)為∴∵，∴直線的解析式為∵為等腰直角三角形∴①當(dāng)時(shí)，如下圖所示則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得：（舍去），，∴此時(shí)，；，；②當(dāng)時(shí)，如下圖所示則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得：（舍去），，∴此時(shí)，；，；③當(dāng)時(shí)，如圖所示則Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴Q點(diǎn)到MN的距離=∴（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）解得：（舍去），，∴此時(shí)，；，．綜上所述，點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；，；