最優(yōu)化基本運算

最優(yōu)化基本運算第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

投資問題。

某公司有一批資金用于4個工程項目的投資，其投資各項目時所得的凈收益（投入資金的百分比）如下表所示。由于某種原因，決定用于項目A的投資不大于其他各項投資之和，而用于項目B和C的投資要大于項目D的投資。試確定該公司收益最大的投資分配方案。

、問題第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六工程項目收益表

工程項目ABCD

收益（%）1510812該投資問題的數(shù)學模型為：設x1、x2、x3、x4分別代表用于項目A、B、C、D的投資百分數(shù)第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

了解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃的數(shù)學模型，標準形式。在用Matlab軟件求解最優(yōu)化問題時，要將maxf的問題化為求min(-f)；約束條件gi≥0,化為-gi≤0來做。如:二、實驗目的學會用Matlab軟件，來解決線性規(guī)劃問題、非線性規(guī)劃等問題。三、預備知識第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

其中：X為n維未知向量，ft=[C1,C2,…,Cn]為目標函數(shù)系數(shù)向量，A為小于等于約束系數(shù)矩陣，b為右端m維列向量，Aeq為等式約束系數(shù)矩陣，beq為等式約束右端常數(shù)列向量,lb,ub為自變量取上界與下界約束的n維常數(shù)向量。2、本實驗中所用Matlab命令提示：線性規(guī)劃問題求最優(yōu)解函數(shù)調(diào)用格式：x=linprog(f,A,b)%返回值x為最優(yōu)解的向量x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)%用于有等式約束的問題x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%lb,ub為變量x的下界和上界第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%x0為初值點x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0，options)%options為最小化參數(shù)[x,fval]=linprog(…)%左端fval返回解x處目標函數(shù)值[x,fval,exitflag]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)其中：exitflag描述函數(shù)計算的輸出條件；output返回優(yōu)化信息；lambda返回x處的拉格朗日乘子。第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六★無約束非線性規(guī)劃問題fminunc函數(shù)調(diào)用格式：x=fminunc(fun,x0)%fun為需最小化的函數(shù)x=fminunc(fun,x0,options)%x0為搜索的初始點x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)%options指定優(yōu)化參數(shù)[x,fval]=fminunc(…)[x,fval,exitflag]=fminunc(…)[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…)[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…)%返回目標函數(shù)在x處梯度[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)%返回hessian矩陣第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

★有約束非線性規(guī)劃問題調(diào)用格式：x=fmincon(f,x0,A,b)%返回值x為最優(yōu)解向量x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq)%A,b為系數(shù)矩陣和右端列向量x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%用于有等式約束的問題x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)%lb,ub為變量x下界和上界x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fmincon(…)[x,fval,exitf1ag]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)[x,fval,cxitflag,output,lambda]=fmincon(…)第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

★二次規(guī)劃問題quadprog()函數(shù)的調(diào)用格式：X=quadprog(H,f,A,b)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=quadprog(…)[x,fval,exitflag]=quadprog(…)%描述搜索是否收斂[x,fval,exitflag,output]=quadprog(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(…)%拉格朗日乘子參數(shù)第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六1、求解投資問題的數(shù)學模型的解：其中x1

、x2

、x3

、x4

分別代表某公司用于項目A、B、C、D的投資百分數(shù)四、實驗內(nèi)容與要求第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六2、生產(chǎn)計劃問題。某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，現(xiàn)庫存主要材料有A類3600kg，B類2000kg，C類3000kg,每件甲產(chǎn)品需要材料A類9kg，B類4kg，C類3kg。每件乙產(chǎn)品，需要材料A類4kg，B類5kg，C類10kg。甲單位產(chǎn)品的利潤70元，乙單位產(chǎn)品的利潤120元。問如何安排生產(chǎn)，所獲利潤最大。3、求無約束非線性規(guī)劃問題第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六4、投資決策問題。某投資公司準備用5000萬元用于A、B兩個項目的投資,設x1

、x2分別表示配給項目A、B的投資。預計項目A、B的年收益分別為20%和16%。同時，投資后總的風險損失將隨著總投資和單位投資的增加而增加，已知總的風險損失為，問應如何分配資金，才能使期望的收益最大，同時使風險損失為最小。第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六程序如下：f=[-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];A=[1-1-1-1;0-1-11];Aeq=[1111];b=[0;0];beq=[1];lb=zeros(4,1);%zeros表示零矩陣（1）計算過程：將目標函數(shù)化為最小值問題：五、操作提示第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)f=-fval（1）計算結果:x=0.50000.25000.00000.2500fval=-0.1300exitflag=1f=0.1300表示4個項目的投資百分數(shù)分別為50%、25%、0、25%時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可達到13%，過程正常收斂。第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六（2）計算過程:設x1

、x2分別為生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù)，f為所獲總利潤轉(zhuǎn)換為程序如下：f=[-70;-120];A=[94;45;310];b=[3600;2000;3000];lb=[00];第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六ub=[];%上界沒有，下界為0[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)maxf=-fval(2)計算結果:x=200.0000240.0000(2)計算結果:fval=-4.2800e+004exitflag=1maxf=4.2800e+004表示甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品240件，總利潤42800元。第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六（3）計算過程:編輯ff3.m文件functionf=ff3(x)f=8*x(1)-4*x(2)+x(1)^2+3*x(2)^2;通過繪圖確定一個初始點[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);z=8*x-4*y+x.^2+3*y.^2;surf(x,y,z)選初始點：x0=(0,0)x0=[0,0];[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff3,x0)(3)計算結果:x=

-4.00000.6667fval=-17.3333exitflag=1第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六（4）計算過程:

建立數(shù)學模型：

是權重系數(shù)，取時：首先建立ff1.m文件functionf=ff1(x)f=2*x(1)^2+x(2)^2+(x(1)+x(2))^2-20*x(1)-16*x(2);然后在工作空間鍵入程序第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

x0=[0.1,0.1];A=[11];b=[5000];lb=[00];ub=[];%上界沒有，下界為0[x,fval]=fmincon(@ff1,x0,A,b,[],[],lb,ub)f=-fval（4）計算結果:x=2.40002.8000fval=-46.4000f=46.4000第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

六、上機練習1.運輸問題有A、B、C3個食品加工廠，負責供給甲、乙、丙、丁4個市場。3個廠每天生產(chǎn)食品箱數(shù)上限如表一所示；四個市場每天的需求量如表二所示；從各廠運到各市場的運費（元/每箱）如表三所示。求在基本滿足供需平衡的約束條件下使總運費最小。表一

工廠ABC

生產(chǎn)數(shù)604050第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

市場甲乙丙丁

需求量20353334

表三

收點市場

發(fā)點甲乙丙丁

A2132B1321C34112、求解二次規(guī)劃問題表二第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

3、某公司準備用5000萬用于A、B兩個項目的技術改造投資。設、分別表示分配給項目A、B的投資。據(jù)專家估計，投資項目A、B的年收益分別為70%和66%，同時，投資后總的風險損失將隨著總投資和單項投資的增加而增加。已知總的風險損失為，問應如何分配資金才能使期望的收益最大，同時使風險損失為最?。?、求解有約束條件的非線性規(guī)劃問題第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六（1）

設aij為由工廠i運到市場j的費用，xij是由工廠i運到市場j的箱數(shù)，bi為工廠i的的產(chǎn)量，dj為是市場j的需求量。

b=(604050)Td=(20353334)T上機練習參考答案第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

程序如下：f=[213213213411];A=[111100000000;000011110000;000000001111];b=[60;40;50];Aeq=[100010001000;010001000100;001000100010;000100010001];beq=[20;35;33;34];lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag]=linprog(f,B,b,Aeq,beq,lb)第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六(1)x=0.000035.00000.00000.000020.00000.00000.000018.46820.00000.000033.000015.5318fval=122.0000exitflag=1第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六即運輸方案為：甲市場的貨由B廠送20箱；乙市場的貨由A廠送35箱；丙市場的貨由C廠送33箱；丁市場的貨由B廠送18箱；再由C廠送16箱。最低總運費為：122（元）（2）二次規(guī)劃問題：第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

程序如下：

f=[1;-3]H=[6–2;-28]%H為二次型矩陣

A=[21;-14]b=[23][X,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b)（2）二次規(guī)劃的解：f=1-3第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六H=6-2-28A=21-14b=23X=-0.04550.3636fval=-0.5682exitflag=1第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六(3)建立數(shù)學模型：線性加權構造目標函數(shù)化為最小值問題第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六首先編輯目標函數(shù)M文件f11.mfunctionf=f11(x)f=-0.5*(70*x(1)+66*x(2))+0.5*(0.02*x(1)^2+0.01*x(2)^2+0.04*(x(1)+x(2))^2);

調(diào)用單目標規(guī)劃求最小值的函數(shù)

x0=[1000,1000];A=[11];b=5000;lb=zeros(2,1);%zeros表示零矩陣

[x,fval,exitflag]=fmincon(@f11,x0,A,b,[],[],lb,[])第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期六

f1=70*x(1)+66*x(2)f2=0.02*x(1)^2+0.01*x(2)^2+0.04*(x(1)+x(2))^2（3）x=307.1426414.2862fval=-1.2211e+004exitflag=1f1=4.8843e+004f2=2.4421e+004第32頁，共35頁，2023年，2月2