實(shí)施局部探究提升復(fù)習(xí)課的有效性

實(shí)施局部探究，提升復(fù)習(xí)課的有效性

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，如何把“探究”元素融入有效性教學(xué)中，我們課題組作了一些有益的嘗試：在有意義接受式學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行局部探究，即根據(jù)教材的特點(diǎn)，選擇若干個(gè)局部探究的“點(diǎn)”，一堂課安排5～20分鐘，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷自我探究與合作交流的過(guò)程，在知識(shí)、能力和發(fā)展三維目標(biāo)中找到最佳結(jié)合點(diǎn)。下面以江蘇省太湖高中何英老師執(zhí)教的高三“一輪”復(fù)習(xí)課《拋物線》為載體，談?wù)劯呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中實(shí)施局部探究的做法，供大家參考。一、片段摘錄【片段1】（基礎(chǔ)訓(xùn)練題1、2）師：請(qǐng)看學(xué)案第1、2題，怎么解？結(jié)果是什么？題1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為＿＿，準(zhǔn)線方程為＿＿。題2若直線y=k(x-1)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，則拋物線方程為＿＿。學(xué)生回答后師生共同歸納出：(1)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)一個(gè)定量條件即可確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！酒?】（基礎(chǔ)訓(xùn)練題3及變式）題3拋物線上的點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則A到y(tǒng)軸的距離為＿＿；A到x軸的距離為＿＿。先讓學(xué)生畫圖、思考，再請(qǐng)學(xué)生回答。教師作適當(dāng)提示并板書：重視拋物線定義的運(yùn)用。變式已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P(4,-1)，在拋物線上找一點(diǎn)M使PM+MF最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為＿＿，最小距離為＿＿。探究1對(duì)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、M的位置實(shí)施局部探究教師先請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考，有困難可與同桌合作探究，2分鐘后交流。生D：先作圖?？膳袛喑鳇c(diǎn)P在拋物線內(nèi)部。師：理由是什么？生D：將x=4代入拋物線方程，得y=±2，即(4,±2)在拋物線上，因此點(diǎn)P(4,-1)在拋物線內(nèi)。生E：準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，PC與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M。求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1)，最小距離為。師：為什么(1,-1)就是要找的點(diǎn)M呢？生E：若在拋物線上任取一點(diǎn)M'不同于點(diǎn)M，過(guò)M'作準(zhǔn)線的垂線M'C'，垂足為C'，由M'F=M'C'得，PM'+m'F=PM'+M'C'，由圖易知，PM'+m'F=PM'+M'C'＞PM+MC=PC。即當(dāng)P、M、C三點(diǎn)共線時(shí)所求的距離最小。師：很好！還是利用定義，并結(jié)合平面幾何的知識(shí)求解。從這里我們能夠體會(huì)到：定義在解決問(wèn)題中可以發(fā)揮出十分重要的作用，今后解題時(shí)一定要注意聯(lián)想定義，學(xué)會(huì)運(yùn)用定義?！酒?】（典例分析的例1和3個(gè)變式）例1一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求這個(gè)三角形的面積。讓學(xué)生思考、嘗試，教師巡視，過(guò)2分鐘后請(qǐng)學(xué)生回答，學(xué)生I上黑板畫圖。探究2對(duì)“對(duì)稱性”實(shí)施局部探究第一步，提出問(wèn)題師：你畫出這張圖的依據(jù)是什么？生I：感覺應(yīng)該是對(duì)稱的，因?yàn)閽佄锞€和正三角形都具有對(duì)稱性。師：很好！這樣對(duì)稱放置的正三角形必滿足題意，那么拋物線中是否存在不關(guān)于y軸對(duì)稱的內(nèi)接正三角形呢？第二步，實(shí)施轉(zhuǎn)化將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易操作的問(wèn)題。要證內(nèi)接正三角形△OPQ關(guān)于y軸對(duì)稱，只要證P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可。第三步，展示過(guò)程學(xué)生探索2分鐘后，展示其探究成果（由OP=OQ及，可得了）。第四步，結(jié)論引申師：這個(gè)結(jié)論能推廣嗎？生（齊答）：能！拋物線的內(nèi)接正三角形必關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。師：請(qǐng)繼續(xù)解答例1。生I：由正三角形及對(duì)稱性，可設(shè)，代入拋物線方程得，所以。師：還有其他方法嗎？生J：可以把頂點(diǎn)看做是直線與拋物線的交點(diǎn)，由對(duì)稱性及正三角形的特點(diǎn)，知，所以，聯(lián)立拋物線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)（下略）。師：由上面的研究，你對(duì)拋物線的內(nèi)接特殊圖形還能聯(lián)想到哪些問(wèn)題，可得哪些結(jié)論？學(xué)生很快提出以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1拋物線的內(nèi)接等腰三角形是否一定關(guān)于y軸對(duì)稱？問(wèn)題2拋物線的內(nèi)接直角三角形，已知一邊邊長(zhǎng)，能否求其面積？問(wèn)題3拋物線(p＞0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊所在的直線方程，求拋物線方程。教師對(duì)學(xué)生的探究精神表示了高度的肯定和贊賞，并對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題稍作整理，得到以下三個(gè)變式：變式1拋物線的內(nèi)接等腰三角形如何放置？如拋物線的一個(gè)內(nèi)接等腰△OPQ面積為12，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這樣的三角形有幾個(gè)？變式2已知拋物線有一個(gè)內(nèi)接Rt△OAB，直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線方程是，求△OAB的面積。變式3已知拋物線(p＞0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，斜邊長(zhǎng)是，一條直角邊所在的直線方程是y=2x，求拋物線方程。探究3對(duì)變式1中拋物線內(nèi)接等腰三角形的個(gè)數(shù)實(shí)施局部探究。具體操作：第一步，讓學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘。第二步，小組合作，根據(jù)需要進(jìn)行分組。第三步，學(xué)生交流與展示。師：請(qǐng)各組派代表談?wù)勀銈兊慕忸}思路。小組A：分成兩類，(1)若P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為例1的問(wèn)題；(2)若P、Q不關(guān)于y軸對(duì)稱，感覺到有對(duì)稱的兩個(gè)，如何求解，還沒有想好。小組B：對(duì)于(2)，如圖，若兩點(diǎn)P′、Q′不關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q′(x′,y′)，則OQ′方程、OQ′的中點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以表示出來(lái)，OQ′的垂直平分線l與拋物線交于點(diǎn)P′，則△OP′Q′為等腰三角形，其面積可用x′、y′表示，因x′、y′滿足，試了一下，運(yùn)算很繁。由于對(duì)稱性，要么有兩組解，要么無(wú)解。因此，結(jié)論可能是三組解，也可能是一組解。小組C：我們的結(jié)論與B組一樣，但解決的思路有所不同。如圖，以點(diǎn)P″為圓心，OP″為半徑畫弧交拋物線于點(diǎn)Q″，則△OP″Q″為等腰三角形，根據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)有三組解。第四步，教師用《幾何畫板》演示，顯示果然有三組解。變式2、3請(qǐng)兩位學(xué)生說(shuō)說(shuō)思路，具體解答留作課后作業(yè)。第五步，師生小結(jié)。解決拋物線的內(nèi)接幾何圖形相關(guān)問(wèn)題：(1)充分利用圖形的幾何性質(zhì)；(2)借助圖形的直觀性和坐標(biāo)思想解決?！酒?】（典例分析的例2）例2上有兩點(diǎn)A、B在x軸上下兩側(cè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，F(xiàn)A=2，F(xiàn)B=5，在AOB這段曲線上求一點(diǎn)P使△APB面積最大，求這個(gè)最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)。師：這是拋物線內(nèi)的一個(gè)斜三角形問(wèn)題，想一想，如何解決呢？教師巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能由基礎(chǔ)題3的定義法很快得出A、B。學(xué)生回答后，教師追問(wèn)：原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么具體問(wèn)題？生H：在AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB的距離最大。師：這個(gè)距離如何求呢？探究4對(duì)難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)實(shí)施局部探究（思路1）代數(shù)角度生L：y=-1能取到嗎？生M：能取到，但應(yīng)先求范圍。師：生L的質(zhì)疑意識(shí)很好，生M范圍先行，確保了運(yùn)算的正確，都值得大家學(xué)習(xí)。（思路2）幾何角度第一步，猜想，驗(yàn)證生N：作AB的垂直平分線，與拋物線的交點(diǎn)Q到直線AB的距離最大。教師用《幾何畫板》作圖發(fā)現(xiàn)，不是點(diǎn)Q。指出猜想不一定成立。第二步，觀察，議論不少同學(xué)在繼續(xù)思考，部分同學(xué)從演示中感覺到Q旁邊的點(diǎn)到直線AB的距離最大。師：你的根據(jù)是什么？生O：作AB的平行線與拋物線相切，切點(diǎn)就是要找的點(diǎn)。同學(xué)們?cè)邳c(diǎn)頭肯定，教師用《幾何畫板》演示、印證。第三步，解答，對(duì)比師：想想，如何求這個(gè)切點(diǎn)呢？一般地，直線與曲線相切是如何處理的？師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比兩種思路，本題的處理策略，運(yùn)用的思想方法，都值得我們好好品味！【片段5】（小結(jié)與作業(yè)）師：本課重點(diǎn)是運(yùn)用定義法和聯(lián)立方程組解決相關(guān)問(wèn)題，實(shí)施了一些局部探究，彰顯了大家的智慧。二、教學(xué)感悟從上面的教學(xué)片段中，筆者感受到：實(shí)施局部探究，是提升復(fù)習(xí)課有效性的一個(gè)重要的途徑。那么，在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，怎樣實(shí)施局部探究呢？1.精心選取局部探究“點(diǎn)”運(yùn)用局部探究的方法實(shí)施復(fù)習(xí)課的教學(xué)，選準(zhǔn)局部探究的“點(diǎn)”非常重要。為提高課堂探究的有效性，需要關(guān)注以下兩個(gè)要素：(1)學(xué)生實(shí)際。教師對(duì)于所教班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)的水平、潛能、興趣等要深入了解，做到心中有數(shù)，因?yàn)閷?shí)施教學(xué)有了針對(duì)性才能實(shí)現(xiàn)有效性。(2)教材特點(diǎn)。要求教師對(duì)所教內(nèi)容、課型以及重、難點(diǎn)等作深入鉆研，因?yàn)樗翘嵘n堂教學(xué)有效性的基礎(chǔ)。在綜合分析的基礎(chǔ)上，精心預(yù)設(shè)局部探究的“點(diǎn)”。就本節(jié)課而言，教學(xué)對(duì)象是江蘇省四星級(jí)重點(diǎn)中學(xué)的文科班學(xué)生，基礎(chǔ)較好，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性高。作為高三數(shù)學(xué)的“一輪”復(fù)習(xí)，《拋物線》這一內(nèi)容的考綱要求是：了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn)是：拋物線的定義及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)是：靈活運(yùn)用拋物線的定義及性質(zhì)解決問(wèn)題。因基礎(chǔ)題1、2是對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等的復(fù)習(xí)，屬于知識(shí)回顧；基礎(chǔ)題3是運(yùn)用拋物線定義的常見問(wèn)題；例1的變式2、3是聯(lián)立方程組的常規(guī)問(wèn)題，難度較低，只作為學(xué)生的鞏固練習(xí)；例2前半部分得到定點(diǎn)A、B，AB的長(zhǎng)度和AB的方程，前面已有鋪墊，這些內(nèi)容不用探究，只要學(xué)生練一練、老師講一講即可。本課主要針對(duì)下列四個(gè)“點(diǎn)”實(shí)施了局部探究：(1)關(guān)于拋物線定義及其運(yùn)用。因回歸定義能體現(xiàn)基礎(chǔ)性，用定義處理問(wèn)題能簡(jiǎn)化運(yùn)算，兩者兼具即構(gòu)成重要的考點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)有必要強(qiáng)化。(2)對(duì)于例1中拋物線的內(nèi)接正三角形為什么呈對(duì)稱狀？大部分學(xué)生不很清楚，為了今后能有效遷移，有必要設(shè)為小專題實(shí)施局部探究。(3)例1的變式1“拋物線內(nèi)接等腰三角形的個(gè)數(shù)”本身就是一個(gè)不確定性的探究型問(wèn)題，具有一定的開放性，組織好探究才能取得較好的效果。(4)例2是如何確定給定曲線上一點(diǎn)P到定直線AB的距離最大，可以從數(shù)、形兩個(gè)角度進(jìn)行，因角度不同，解答的難易程度也不同，需對(duì)比；二次函數(shù)絕對(duì)值的最值問(wèn)題是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，有必要讓學(xué)生試誤、辨析。2.選用合理的探究形式根據(jù)以上探究的“點(diǎn)”，考慮采用何種形式，預(yù)留多長(zhǎng)時(shí)間。有的知識(shí)點(diǎn)或方法只要教師做點(diǎn)提醒，學(xué)生略作思考、動(dòng)手畫草圖或代入數(shù)據(jù)檢驗(yàn)即可（如點(diǎn)P的位置）；有的問(wèn)題因個(gè)人的局限性，需要同伴的討論、合作交流才能完成（如探究3）；有的問(wèn)題涉及面廣或?yàn)閷W(xué)生的疑難，需要教師的必要提示，再通過(guò)師生或生生之間對(duì)話，互相啟發(fā)、互為補(bǔ)充（如探究4）；有的問(wèn)題因具體解答的數(shù)據(jù)很繁瑣，若定量研究，則耗時(shí)太多，因此改為定性探究，并輔助于《幾何畫板》的驗(yàn)證（如探究3）。有的問(wèn)題需要經(jīng)歷“提出問(wèn)題→猜想、驗(yàn)證→議論、解決→對(duì)比反思”的完整探究鏈。有的局部探究由課內(nèi)延伸到課外（如探究3）。有的探究性材料不僅僅由教師提供，也可讓學(xué)生根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題聯(lián)想、提出新問(wèn)題，體現(xiàn)了學(xué)生是探究性學(xué)習(xí)的主人（如探究2中得出的幾個(gè)問(wèn)題）。當(dāng)然教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思考、調(diào)查、查閱資料等方式概括出問(wèn)題，或通過(guò)日常生活情景提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提煉成探究性學(xué)習(xí)的材料。3.有效整合局部探究與有意義接受式學(xué)習(xí)有意義接受式學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是以教師講題、學(xué)生練題為中心，側(cè)重接受、聯(lián)系、記憶，“雙基”訓(xùn)練扎實(shí)，課堂容量大，時(shí)間可控，但對(duì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程揭示得少，缺乏發(fā)現(xiàn)式教學(xué)的探究、合作，不利于學(xué)生能力的培養(yǎng)和發(fā)展。為了追求復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，需要處理好局部探究與接受式教學(xué)的關(guān)系，做好整合。(1)吸取復(fù)習(xí)課的成功經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于高三“一輪”復(fù)習(xí)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，如本課拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等，運(yùn)用“掃雷式”復(fù)習(xí)，以體現(xiàn)基礎(chǔ)性；注意與其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)——函數(shù)最值、三角、幾何等的結(jié)合，以體現(xiàn)聯(lián)系性和綜合性；對(duì)知識(shí)要點(diǎn)、思想方法和解題策略適時(shí)進(jìn)行歸納和延拓，以體現(xiàn)系統(tǒng)性；讓新穎與熟悉結(jié)合（如內(nèi)接等腰三角形和直角三角形），交替呈現(xiàn)，以減少?gòu)?fù)習(xí)的疲憊感等。以上這些，都是復(fù)習(xí)課有效性的具體體現(xiàn)。(2)精選教學(xué)內(nèi)容，控制探究時(shí)間。由于探究式學(xué)習(xí)要比接受式學(xué)習(xí)多費(fèi)時(shí)間，而時(shí)間是有效性的重要元素。因此，一方面例題、練習(xí)要精選，難度不宜過(guò)大，否則，預(yù)留探究的空間就小了，氣氛也