求極限的方法與技巧

求極限的方法與技巧求極限是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，涉及到數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法，也是物理、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域中的重要工具。求極限的方法與技巧有以下幾點：一、代數(shù)方法1.基本代數(shù)運算根據(jù)基本代數(shù)運算性質(zhì)，將極限化為四則運算、乘方、開方等簡單操作，如：$$\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{x^2-1}{x-1}}=\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}}=\\lim_{x\\rightarrow1}{(x+1)}=2$$2.分子有理化將分式的分子和分母做有理化處理。$$\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}}=\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{(\\sqrt{1+x}-1)(\\sqrt{1+x}+1)}{x(\\sqrt{1+x}+1)}}=\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{x}{x(\\sqrt{1+x}+1)}=\\frac{1}{2}$$3.公共因式提取公共因式，把復(fù)雜表達式化為簡單形式。$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan(2x)\\sin(3x)}{x^2}=\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{(2x)(\\sin(3x))}{x^2\\cos(2x)}}\\cdot\\frac{\\cos(2x)}{2}=3$$二、函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用1.函數(shù)連續(xù)性如果函數(shù)在一個點連續(xù)，那么這個點可以直接代入函數(shù)中計算極限。$$\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{x^2-1}{x-1}}=2$$2.中值定理如果函數(shù)在$[a,b]$上連續(xù)，那么根據(jù)中值定理可以導(dǎo)出一個與求解極限有關(guān)的不等式。$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x}=1$$3.夾逼定理夾逼定理可以用來求解復(fù)雜函數(shù)的極限。夾逼定理指出，如果$f(x)\\leqg(x)\\leqh(x)$，并且$\\lim_{x\\rightarrowc}f(x)=\\lim_{x\\rightarrowc}h(x)=L$，那么$\\lim_{x\\rightarrowc}g(x)=L$。$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x}=1\\rightarrow\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2\\sinx}{x}\\leqslant\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x}\\leqslant\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x/2}\\rightarrow1\\leqslant\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x}\\leqslant2$$三、極限存在的條件1.左右極限相等如果極限存在，那么左右極限必須相等。$$\\lim_{x\\rightarrow1^-}\\frac{x^2-1}{x-1}=\\lim_{x\\rightarrow1^+}\\frac{x^2-1}{x-1}=\\lim_{x\\rightarrow1}\\frac{x^2-1}{x-1}=2$$2.有界性如果函數(shù)趨于某一極限時保持有界性，那么極限也一定存在，或者可以利用夾逼定理得到。$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sinx}{x}=1$$3.單調(diào)性如果函數(shù)在一定范圍內(nèi)保持單調(diào)性，那么極限一定存在。$$\\lim_{x\\rightarrow\\infty}\\frac{1}{x^p}=0(0<p<1)$$四、極限的運算法則1.有限和有限差兩個存在有限極限的函數(shù)的和（差）的極限等于它們分別的極限之和（差）。$$\\lim_{x\\rightarrow0}(3x-2+2\\sinx)=\\lim_{x\\rightarrow0}3x-\\lim_{x\\rightarrow0}2+\\lim_{x\\rightarrow0}2\\sinx=-2$$2.有限積兩個存在有限極限的函數(shù)的積的極限等于它們分別的極限之積。$$\\lim_{x\\rightarrow0}(2x+1)\\sin(\\frac{1}{x})=0$$3.商的極限兩個存在有限極限的函數(shù)的商的極限等于它們分別的極限之商（被除數(shù)的極限存在且不等于0）。$$\\lim_{x\\rightarrow1}\\frac{