數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀及實(shí)踐：以“折線統(tǒng)計(jì)圖”為例談模型思想教學(xué)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀及實(shí)踐：以“折線統(tǒng)計(jì)圖”為例談模型思想教學(xué)【摘

要】模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的上位表達(dá)是:“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。模型思想的感悟是個“綜合”過程，本文結(jié)合課例教學(xué)，提出要通透地講好數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的“故事”，需做好三方面工作，即觀其形：調(diào)好“音準(zhǔn)”，發(fā)展模型意識；品其質(zhì)：彈好“旋律”，發(fā)展數(shù)據(jù)意識；悟其神：響好“回聲”，發(fā)展應(yīng)用意識。以全程的眼光、全局的視野，在講好“故事”的同時，同頻同步同向地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】模型思想；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)策略模型思想是基本數(shù)學(xué)思想之一。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，模型思想的上位表達(dá)是“數(shù)學(xué)語言”，即“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。模型思想教學(xué)是一個“綜合”的感悟過程，并不僅僅體現(xiàn)于“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”數(shù)學(xué)活動過程，而應(yīng)考慮到核心素養(yǎng)的整體性、一致性。在小學(xué)階段，與模型思想對應(yīng)的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)有模型意識、數(shù)據(jù)意識和應(yīng)用意識。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)全程、全局地給予關(guān)注與把握。史寧中教授提出“模型思想就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事”。因此要把模型思想真正地落實(shí)，需要從數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界兩個角度入手講好“故事”。如果把模型思想教學(xué)比作一首交響樂曲的演奏，就需充分考量音準(zhǔn)、旋律、回聲。下面，筆者結(jié)合2021年執(zhí)教的“折線統(tǒng)計(jì)圖”內(nèi)容為例，從折線統(tǒng)計(jì)圖的形、質(zhì)、神三個視角闡述模型思想教學(xué)。一、觀其形：調(diào)好“故事”的音準(zhǔn)，發(fā)展模型意識數(shù)學(xué)內(nèi)容中有著大量的數(shù)學(xué)模型，包括各種用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式，以及各種圖表、圖形等?！皢栴}情境－建立模型－求解驗(yàn)證”是數(shù)學(xué)建模的主要過程，其中建構(gòu)模型是“核心”。而建構(gòu)模型的過程中，需要關(guān)注原型的擷取與改造，以原型的特殊感受模型的一般，以原型的直觀來把握模型的抽象，從而達(dá)成“對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”。以折線統(tǒng)計(jì)圖為例，學(xué)生從電視、手機(jī)、報(bào)刊、家長理財(cái)投資等信息中，已經(jīng)獲取了一定的“前經(jīng)驗(yàn)”，這是我們教學(xué)素材的資源庫，可從中擷取適切的原型，為模型意識的感悟定好基調(diào)。在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，筆者以運(yùn)動腕表“一周的步數(shù)情況”導(dǎo)入（簡化版的折線統(tǒng)計(jì)圖，如圖1）。先讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、分析、交流，教師提問：“這副圖告訴你怎樣的‘故事’”。讓學(xué)生從整體上感知折線統(tǒng)計(jì)圖中變化趨勢的3個特征“升、平、降”，并能直觀地判斷出哪天最多、哪天最少。教師追問：“課件中沒有聲音，是誰告訴你這個‘故事’的？”透過生活原型的直觀表象讓學(xué)感悟到折線統(tǒng)計(jì)圖的兩個核心要素：點(diǎn)和線，由此感受到數(shù)學(xué)語言簡潔美的力量，為折線統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)學(xué)模型調(diào)好音準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上，以現(xiàn)代科技產(chǎn)品為主線，串聯(lián)起心率腕表中簡化版心電圖像、智能音箱2015－2020年的銷售情況等，使折線統(tǒng)計(jì)圖的特征、數(shù)學(xué)語言表達(dá)的特點(diǎn)、要素等在同一主題的變化情境中得以聯(lián)系、深化。這個過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)兩個層次的“故事”講述。第一層次，用一個“點(diǎn)”講故事。如2017年銷售800臺，點(diǎn)在那里？以“陌生情境”促使學(xué)生聯(lián)系原有知識經(jīng)驗(yàn)中的“數(shù)對”與“條形統(tǒng)計(jì)圖”，關(guān)注折線統(tǒng)計(jì)圖中的橫軸與豎軸兩個維度，找到橫軸“年份上的2017”與豎軸“數(shù)量上800”的交點(diǎn)，從而完成第一次用“點(diǎn)”的數(shù)學(xué)表達(dá)。再舉一反三，如2015年銷售300臺，體會“點(diǎn)”的價(jià)值，即表達(dá)數(shù)量的多少。第二層次，用一條“線”講故事。以3條上升趨勢不同、長短不同的線段，讓學(xué)生在表達(dá)“2016年比2015年有一定的提高”中具體選擇，感受同一種線段包含著豐富的數(shù)學(xué)語言內(nèi)涵（銷量只上升了一點(diǎn)點(diǎn)、銷量有一定的上升、銷量大大的上升），在遷移到其他年份銷售量的表達(dá)中，感悟到不同年份間線段越長、坡度越大則表示變化趨勢越明顯，體會“線”的價(jià)值，即表達(dá)變化的趨勢。最后，在與統(tǒng)計(jì)表的對比與轉(zhuǎn)化中，完成折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制，并梳理出繪制要點(diǎn)：描點(diǎn)、標(biāo)數(shù)、連線，從而實(shí)現(xiàn)折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)學(xué)模型的整體建構(gòu)。模型意識的感悟常有兩種不同的路徑，一是從現(xiàn)實(shí)問題或生活原型入手，二是從原有知識遷移入手，教學(xué)中可以依據(jù)教學(xué)目標(biāo)靈活選擇。同時，要把握好它與抽象、推理的關(guān)系，要認(rèn)識到感悟過程中的“思想基礎(chǔ)是抽象與推理”，在建構(gòu)模型的經(jīng)歷中“有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋”，獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)上的理解。二、品其質(zhì)：彈好“故事”的旋律，發(fā)展數(shù)據(jù)意識在“描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式”中，數(shù)據(jù)占有重要的地位。通過教學(xué)，要使學(xué)生“能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，會用數(shù)學(xué)的分析結(jié)果解釋和預(yù)測不確定現(xiàn)象，形成合理的判斷或決策”。因此在模型思想的教學(xué)中，要始終關(guān)注數(shù)據(jù)意識的感悟，使學(xué)生對于數(shù)據(jù)有更為理性的態(tài)度，能夠理解確定數(shù)據(jù)背景下隨機(jī)結(jié)果的合理性與或然性。以折線統(tǒng)計(jì)圖為例，在收集、整理、分析數(shù)據(jù)后，要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢作為判斷與預(yù)測的主旋律，從而做出合理的決策。在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，筆者以“投資人”的角色扮演方式，以“投不投”為核心問題，引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)智能音箱專賣店2015－2018年的銷售情況進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析并做出自己的判斷，使學(xué)生作為主角“投資人”參與“故事”中，進(jìn)一步豐富對數(shù)據(jù)的感悟（如圖2）。投資故事1：2019年投不投？多數(shù)學(xué)生受到2015－2018年都是呈上升趨勢的影響，選擇“投”，體現(xiàn)了對變化趨勢整體性的心理認(rèn)知趨同。也有部分學(xué)生由數(shù)據(jù)變化中2017－2018年銷量大幅度上升產(chǎn)生顧慮“上升太快，還會再上升嗎？”，采取謹(jǐn)慎的態(tài)度“不投”。此時，學(xué)生所作出的判斷多是憑借生活經(jīng)驗(yàn)，更像是一種對數(shù)據(jù)的直覺。接著課件出現(xiàn)2019年實(shí)際銷售量為1800臺，由實(shí)際銷量對學(xué)生作出的數(shù)據(jù)判斷進(jìn)行回應(yīng)，以此強(qiáng)化對數(shù)據(jù)變化的感悟，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，做“有眼光的投資人”。投資故事2：2020年投不投？這時，有了“投資故事1”的經(jīng)歷，更多學(xué)生從“數(shù)據(jù)的直覺”轉(zhuǎn)向“數(shù)據(jù)的分析”，投資判斷傾向于“用數(shù)據(jù)說話”。如2018－2019年只增長200臺，比2017－2018年增長的800臺少太多了，不投；增長的速度變慢，有可能市場快要飽合了，不投。在課件出示2020年實(shí)際銷售量只有1300臺時，讓學(xué)生思考：“銷量大幅度下降的原因”“2020年有什么故事？”喚醒因2020年疫情對智能音箱專賣店銷量的影響，從“數(shù)據(jù)的具體數(shù)值”走向“數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)背景”思考，感悟生活事件中蘊(yùn)含的隨機(jī)性，增強(qiáng)數(shù)據(jù)判斷的理性因子。面對2019年的“升”和2020年的“降”，那么“2021年投不投”，從“今生”展望“未來”，讓學(xué)生再次獨(dú)立思考、交流表達(dá)，使判斷與決策更有數(shù)學(xué)味。對于數(shù)據(jù)的判斷與決策，我們應(yīng)堅(jiān)持“合理”的原則，即不要強(qiáng)求答案的統(tǒng)一或唯一，而要關(guān)注學(xué)生作出判斷與決策時理由的合理性，言之有理、言之有據(jù)都是可以的。正如陳希孺教授所強(qiáng)調(diào)的：“統(tǒng)計(jì)沒有對錯之分，只有好壞之分?！眻?jiān)持“合理”的原則，彈好數(shù)據(jù)意識感悟的主旋律，才能褒有學(xué)生對數(shù)據(jù)分析與判斷的敏感性。教學(xué)中，有意識地把統(tǒng)計(jì)思想與隨機(jī)思想的感悟融合進(jìn)來，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)決策力和自信心，可以為感悟模型思想積累數(shù)據(jù)把握的活動經(jīng)驗(yàn)。三、悟其神：響好“故事”的回聲，發(fā)展應(yīng)用意識史寧中教授指出，“模型思想的本質(zhì)是站在現(xiàn)實(shí)的立場上”，要“用現(xiàn)實(shí)的效果評價(jià)模型的功效”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。因此，要讓學(xué)生體會模型思想的價(jià)值，應(yīng)始終關(guān)注應(yīng)用意識的感悟與發(fā)展，讓“數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界”，從一種情境到一類情境，從一個問題到一類問題，使模型思想不僅浸潤于課堂學(xué)習(xí)，更“回聲”于遷移應(yīng)用及未來的學(xué)習(xí)。以折線統(tǒng)計(jì)圖為例，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力、判斷與決策能力，還要培養(yǎng)自覺運(yùn)用折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行交流與表達(dá)的意識和能力，從而把數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活融合起來建立“共鳴場”，實(shí)現(xiàn)“有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。”在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，筆者在學(xué)生建立折線統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)學(xué)模型后，組織兩次“故事”的應(yīng)用交流，使外化于形的折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)一步內(nèi)化于心。應(yīng)用故事1：判斷，能否用折線統(tǒng)計(jì)圖講下面各“故事”。這其中包括兩種不同的現(xiàn)實(shí)生活，一是小東一學(xué)期單元小測情況，二是“五一節(jié)”景區(qū)游客人數(shù)情況。為更深入地感悟折線統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)學(xué)語言特征（升、平、降），講述第一個故事時采用“變式”要求，即要求學(xué)生不畫圖、不說話，在規(guī)避常規(guī)折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)學(xué)語言表達(dá)的同時，促使學(xué)生用“具有升、平、降的肢體動作語言”來表達(dá)數(shù)據(jù)信息，更直觀形象地“畫”出小東單元小測的變化情況，使學(xué)生在靈活表達(dá)中達(dá)成對折線統(tǒng)計(jì)圖模型的深刻理解。講述第二個故事時，則直接給出兩位學(xué)生關(guān)于2021年“五一節(jié)”清源山景區(qū)每日游客人數(shù)預(yù)測折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖3），哪一幅圖所講的“故事”更合理？在不同意見的表達(dá)中，觸發(fā)學(xué)生的用數(shù)學(xué)眼光“理論聯(lián)系實(shí)際”，懂得聯(lián)系生活現(xiàn)實(shí)作為判斷依據(jù)。如5月6日不屬于放假時間，家長要上班、學(xué)生要上課，游客人數(shù)應(yīng)該變少，所以小明的預(yù)測更合理。通過兩個不同情境類型的的故事交流，讓學(xué)生感受折線統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)用的廣泛性。應(yīng)用故事2：表達(dá)，如果這是有關(guān)你或家人的折線統(tǒng)計(jì)圖，你希望它是一個怎樣的“故事”（如圖4）。讓學(xué)生從之前猜測他人的生活現(xiàn)實(shí)到關(guān)注自身的生活現(xiàn)實(shí)或生活期待，如希望父母工資收入越來越多、自己高興的事越來越多或家里的水電費(fèi)越來越少、每天的作業(yè)越來越少等。感受同一幅折線統(tǒng)計(jì)圖雖然表達(dá)內(nèi)容并不相同，但可以表達(dá)一類同樣趨勢的事件，并在“哪一幅圖更好”的追問中，感悟“都好，要看具體情況”，發(fā)展學(xué)生分