結(jié)構(gòu)位移的資料

結(jié)構(gòu)位移的資料第1頁/共102頁主要內(nèi)容§6-4力的虛設(shè)方法

§6-2虛功原理§6-1概述§6-9制造誤差產(chǎn)生的位移計算

§6-7圖乘法

§6-6荷載作用下的位移計算

§6-10線性變形體系的互等定理§6-3結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§6-5變形體的虛功原理§6-6溫度作用時的位移計算.第2頁/共102頁

第6章結(jié)構(gòu)的位移計算與虛功本章主要討論兩個問題：1.靜定結(jié)構(gòu)在荷載和溫度、支座位移等因素作用下的位移計算問題。2.介紹變形體虛功原理、虛功互等定理及應(yīng)用。本章處在靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的交界處，起著承上啟下的作用。首先根據(jù)虛功原理推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，然后據(jù)此討論靜定結(jié)構(gòu)在荷載和溫度等因素作用下的位移計算。最后介紹彈性體系的幾個互等定理?！?-1概述第3頁/共102頁一、結(jié)構(gòu)的位移１、變形：結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，因而將發(fā)生尺寸和形狀的改變，這種改變稱為變形。２、位移：由于變形，結(jié)構(gòu)上各點截面的幾何位置發(fā)生變化，稱為結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)上某點位置移動的距離為該點的線位移。而稱結(jié)構(gòu)某點所在的截面的法線轉(zhuǎn)動的角度為該截面的角位移。FPKK'qABCD第4頁/共102頁二、計算位移的目的１、校核結(jié)構(gòu)的剛度，以保證結(jié)構(gòu)在正常使用過程中不發(fā)生不能容許的過大位移。２、為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算打下基礎(chǔ)。動力計算也需要。３、在結(jié)構(gòu)的制作，施工，架設(shè)，養(yǎng)護(hù)等過程中，也需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形以后的位置，以便作一定的施工措施。第5頁/共102頁如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。建筑起拱返回第6頁/共102頁2.推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移計算一般公式的基本思路第二步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形而引起的位移計算。

第一步：應(yīng)用虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移。第三步：由局部變形的位移計算公式和疊加原理導(dǎo)出整體變形時結(jié)構(gòu)位移計算一般公式。第7頁/共102頁如圖6-1，給定CA；求△C和?AC桿的角位移：C點的線位移：桿CD的角位移：實質(zhì)上是一個幾何問題?！?-2虛功原理1、問題的提出第8頁/共102頁圖6-2曲率：根據(jù)曲率與撓度之間的幾何關(guān)系,可由曲率求出撓度w,實質(zhì)上也是一個幾何問題。然而，結(jié)構(gòu)位移計算的最好方法不是幾何法而是虛功法。第9頁/共102頁2、實功與虛功如圖6-3所示簡支梁，先在C點加荷載FP1得撓曲線①，此時FP1作的功為①②ABCDFP1FP2Δ11Δ12Δ21Δ22圖6-3再在D點加荷載FP2，得撓曲線②，此時FP2作的功為

與此同時，F(xiàn)P1在FP2引起的位移Δ12上要作功，因為是常力的功，所以第10頁/共102頁可見，力在自身引起的位移上作功稱為實功，如：W11、W22。而力在與自身無關(guān)的其它因素引起的位移上作功，稱為虛功，如：W12.

剛體虛功原理：所有外力所做的虛功等于零，即：

變形體虛功原理：所有外力做的虛功=所有內(nèi)力做的虛功，即：

虛功原理

虛力原理

虛位移原理

第11頁/共102頁虛力原理——位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的辦法來求真實的位移。

虛位移原理——力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位移的辦法來求真實的力。

很顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理。在固體力學(xué)中，彈性體應(yīng)滿足平衡方程、幾何方程、物理方程、應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。虛位移原理只是解除了平衡方程（應(yīng)力邊界條件自然導(dǎo)出），所以是約束變分原理，其約束條件（幾何方程、物理方程和位移邊界條件）必須事先滿足。第12頁/共102頁

作出機(jī)構(gòu)可能發(fā)生的剛體虛位移圖；

應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的某一約束力X的步驟：1）撤除與X相應(yīng)的約束，使靜定結(jié)構(gòu)變成具有一個自由度的機(jī)構(gòu)，

使原來的約束力X變成主動力。2）沿X方向虛設(shè)單位虛位移。利用幾何關(guān)系求出其它主動力對應(yīng)的虛位移。3）建立虛功方程，求未知力。3、虛位移原理第13頁/共102頁a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBAδX=11.50.75YCq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa20.75/a+qa×0.75－qa2×0.75/a－q×1.5×3a/2＝0YC=2.25qa虛功方程為:

YC×1第14頁/共102頁a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2QCQC

10.50.250.25/a+qa×0.25－qa2×0.25/a－q×(1×2a/2+0.5×a/2)＝0QC=1.25qa

虛功方程為:QC×1第15頁/共102頁例6-1：求多跨靜定梁C點的支座反力解：由虛功方程：設(shè):第16頁/共102頁例6-2：求簡支梁截面C的彎矩MC解：由虛功方程：即：第17頁/共102頁例6-3：求簡支梁截面C的剪力QC1.主動力作虛功：微段dx上的力qdx作虛功：則：2.虛功方程：第18頁/共102頁例6-4求圖示桁架FG桿的軸力

1.解除約束FG,作虛位移圖。兩剛片AFC、CEG作定軸轉(zhuǎn)動.2.則B、C、D的豎向位移：F點的總位移：F點的水平位移分量：第19頁/共102頁同理：3.由虛功方程：求得：

說明：虛位移原理也為求解復(fù)雜桁架的內(nèi)力提供了有效途徑。第20頁/共102頁顯然支座移動產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)該用剛體的虛力原理計算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形體的虛力原理計算。

支座移動產(chǎn)生的位移——剛體位移制造誤差產(chǎn)生的位移——剛體位移荷載作用產(chǎn)生的位移——變形體位移溫度改變產(chǎn)生的位移——變形體位移1）靜定結(jié)構(gòu)位移的類型4.虛力原理

即虛設(shè)的平衡力系在給定的位移過程做虛功第21頁/共102頁4、應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移

b

acΔP=1建立虛功方程：PΔ+RAc=0（↑）1）由虛力原理建立的虛功方程，實質(zhì)上是幾何方程。2）虛荷載與實際位移是彼此獨立無關(guān)的，為了方便，可以隨意虛設(shè)，如設(shè)P=1。故稱單位荷載法。3）虛功法求位移的特點是采用平衡的方法求解幾何問題。第22頁/共102頁例1：圖示簡支梁B支座往下位移了

，求由此產(chǎn)生的A點轉(zhuǎn)角。

運(yùn)用剛體的虛功原理，虛設(shè)的力狀態(tài)上的所有外力在真實的位移狀態(tài)上所做的虛功應(yīng)該等于零，有：

得：真實的位移狀態(tài)

虛設(shè)的力狀態(tài)LM=1ΔAB第23頁/共102頁例2：圖示三鉸剛架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C點的豎向位移,和C點的相對轉(zhuǎn)角

。

（1）求C點的豎向位移

真實的位移狀態(tài)

abL/2L/2LABC虛設(shè)的力狀態(tài)Fp=1ABC第24頁/共102頁

在C點作用一個豎向單位力，求出和。

（2）求C點的相對轉(zhuǎn)角

在C點作用一對力矩，求出和

。

第25頁/共102頁虛設(shè)的力狀態(tài)真實的位移狀態(tài)

ABCLaL/2L/2bABC§6-2支座移動產(chǎn)生的位移計算M=1第26頁/共102頁

歸納起來，靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移CK引起的位移計算的步驟：3.解擬求位移：就是靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移CK引起的位移計算公式。1.在所求位移方向虛設(shè)單位荷載，并求2.應(yīng)用虛功方程：第27頁/共102頁§6-3結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式

結(jié)構(gòu)位移計算的問題屬于變形體體系的位移計算問題，計算方法有兩種：(1).由剛體體系的虛功原理導(dǎo)出局部變形時的位移計算公式，然后應(yīng)用疊加原理導(dǎo)出整體變形時的位移公式。(2).由變形體體系的虛功原理直接導(dǎo)出結(jié)構(gòu)位移的一般公式。1.局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例第28頁/共102頁例1:懸臂梁在截面B有相對轉(zhuǎn)角θ，求A點豎向位移Δ。1.首先把B較化，把實際的位移狀態(tài)明確表示為剛體體系的位移狀態(tài)。說明：比例系數(shù)正好是虛設(shè)單位力在該截面引起的彎矩。

2.虛設(shè)單位力，且鉸B處必須設(shè)一力偶M=1與之平衡。由虛功原理：第29頁/共102頁例2截面B有相對剪切位移η，求A點斜向位移Δ1.把B切開成定向支座，B處的位移明確表示為剛體體系的位移狀態(tài)。2.虛設(shè)單位力，且虛設(shè)FQ=sinα與之平衡。3.由虛功原理：第30頁/共102頁同理：截面B有相對軸向位移λ，求A點斜向位移Δ1.把B切開成定向支座，B處的位移明確表示為剛體體系的位移狀態(tài)。2.虛設(shè)單位力，且虛設(shè)FN=cosα與之平衡。3.由虛功原理:

C

B

A

C

B

A

B1第31頁/共102頁2.局部變形時的位移計算公式基本思路：把局部變形時的位移計算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移計算問題。第32頁/共102頁(1).求出微段兩段截面的三種相對位移：

軸向位移：dλ=εds;

剪切位移；dη=γods

相對轉(zhuǎn)角：dθ=ds/R=kds(2).當(dāng)ds→0時，整個結(jié)構(gòu)除了截面B發(fā)生集中變形(dλ,dη,dθ)外，其他部分都是剛體，因而問題就轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移問題。(3).應(yīng)用剛體體系的虛功原理和疊加原理：A點的位移：第33頁/共102頁3.結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式根據(jù)疊加原理，整體變形時結(jié)構(gòu)上某一點的位移可由微段變形引起的微小位移疊加得出：如果支座位移有給定位移CK,

疊加上得：若結(jié)構(gòu)由若干桿件所組成第34頁/共102頁結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。1.式(6-10)實質(zhì)是一個幾何關(guān)系，適用于小變形。2.普遍性：既包括了彎曲、剪切和拉伸變形，由包括了荷載、溫度、支座位移引起的位移。同時適用于梁、剛架、桁架、珙等各類結(jié)構(gòu)。上式既適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)。3.(6-10)式也是變形體虛功原理的一種形式。（6-10）第35頁/共102頁或?qū)懗桑海?-15）(6-16)4.結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟：(1).在擬求位移方向加上單位荷載；(2).求出FPK=1相應(yīng)的(3).由公式(6-10)求位移ΔK。它是從功能的角度表示物體的平衡，它等價于平衡方程、變形協(xié)調(diào)條件和外力邊界條件。第36頁/共102頁5.廣義位移的計算

擬求位移Δk可以是線位移或角位移；也可以是相對線位移或相對角位移。即Δk理解為廣義位移。如圖所示：現(xiàn)求廣義位移Δ，圖.b在圖.a所示位移上作虛功為在形式上與（6-15）式第一項一致。第37頁/共102頁Fp=1求C點豎向位移求B點水平位移Fp=1求C點轉(zhuǎn)角位移M=1Fp=1求A、B兩點相對豎向位移Fp=1Fp=1Fp=1§6-4力的虛設(shè)方法

CBCAB求A、B兩點相對水平位移AB第38頁/共102頁M=1求C點相對轉(zhuǎn)角位移求CD桿相對轉(zhuǎn)角位移Fp=1/LFp=1/L§6-4力的虛設(shè)方法

C

C

D第39頁/共102頁§6-5變形體的虛功原理剛體體系的虛功原理中只有外力做功，內(nèi)力作功為零，而變形體體系的虛功方程中，除考慮外力作功，還要考慮相應(yīng)的應(yīng)力在變形上所做的內(nèi)虛功。變形體的虛功原理可表述如下：

設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，則外力在約束所允許的虛位移上所作虛功W恒等于各個微段的應(yīng)力合力在相應(yīng)變形上的內(nèi)虛功Wi.即，第40頁/共102頁1.變形體虛功方程的應(yīng)用條件力系的平衡條件第41頁/共102頁變形協(xié)調(diào)條件說明：φ-桿軸線處的角位移；dθ:兩截面間的相對轉(zhuǎn)角-曲率。此外，在桿端應(yīng)滿足靜力平衡或幾何邊界條件。第42頁/共102頁2.變形體的虛功原理外力虛功：內(nèi)力虛功：第43頁/共102頁(3).由變形體的虛功方程：W=Wi3.變形體虛功方程的證明

根據(jù)平衡微分方程，可知下面等式成立：(a)第44頁/共102頁

由于：故式(a)又寫為(b)又由應(yīng)變位移關(guān)系：代入式(b)得：(c)證畢。第45頁/共102頁推廣：計入集中荷載的虛功，并推廣到整個結(jié)構(gòu)。(d)解釋(d)式左端第一項，它包含：第一類：內(nèi)部結(jié)點桿端力(A1、A2、A3)組成一平衡.第二類：支座反力和邊界荷載(B、C、D)的虛功：第46頁/共102頁進(jìn)一步還可以寫成：(6-36)(6-37)

即變形體的虛功方程。虛功方程是平衡方程和協(xié)調(diào)方程的綜合。即，(1).變形體虛力方程：

通常，可將邊界荷載所作虛功與各桿集中荷載的虛功統(tǒng)一表示為ΣFPΔ。于是桿系結(jié)構(gòu)虛功方程的一般形式：第47頁/共102頁實際上為一幾何方程。單位荷載法求位移。(2).變形體的虛位移方程實際上為一平衡方程。單位支座位移法求反力。第48頁/共102頁(3).將上式代入（6-10）式，得到荷載作用下位移計算的一般公式。稱為單位荷載法。1.計算步驟：(1).求結(jié)構(gòu)在荷載作用下各截面的§6-6荷載作用下的位移計算

(2).根據(jù)材力公式：第49頁/共102頁各種靜定結(jié)構(gòu)位移的計算公式如下:

（1）梁、剛架——只考慮彎曲變形

（2）桁架——只有軸向變形

（3）組合結(jié)構(gòu)——受彎構(gòu)件只考慮彎曲變形

§6-6荷載作用下的位移計算

第50頁/共102頁（4）三鉸拱—曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形,

拉桿只有軸向變形。曲桿的積分計算可用數(shù)值計算代替:

、其中:都取段上中點的值。

§6-6荷載作用下的位移計算

第51頁/共102頁1.整個微段上的剪切變形的內(nèi)虛功(a)(b)2.微小單元的剪應(yīng)力在剪應(yīng)變上的虛功和系數(shù)k3.截面平均剪應(yīng)變第52頁/共102頁然后，對整個截面積分，則得：(c)將(a)式與(c)式加以比較，得：(d)3.系數(shù)k的求法。代入式(d)得：因為：第53頁/共102頁得：(e)令：故：截面形狀修正系數(shù)

引入平均剪應(yīng)變γ0的計算公式，使dWiQ計算簡化為(a)式，在形式上與另兩類變形公式統(tǒng)一。注：考慮在計算平均剪應(yīng)變γ0時，由于剪應(yīng)力在截面上分布不均勻而加的系數(shù)。第54頁/共102頁§6-4荷載作用下的位移計算1.梁的位移計算例.1求圖示伸臂梁C點的豎向位移?CV.EI為常數(shù)P=20KNq=10KN/mRA=50KNRB=130KN6m6mABCABPK=1x21x第55頁/共102頁BAC2.桁架的位移計算.

例2：求桁架結(jié)點C的位移第56頁/共102頁例3.求圖示桁架BC桿的轉(zhuǎn)角。ABCABC第57頁/共102頁3.拱(曲梁)的位移計算例4.求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點的豎向位移?BV.1.在荷載作用下：ABCo(a)oBC(b)oBC(c)第58頁/共102頁2.在單位荷載作用下：第59頁/共102頁則有：

由于h比R小得多，可見剪力和軸力對變形影響很小。但對于拱當(dāng)壓力線與拱軸線接近時，應(yīng)計入軸力的影響。3.討論：截面為矩形b×h，則k=1.2，且G=0.4E第60頁/共102頁§6-5圖乘法計算彎曲變形的位移時，需計算以下積分。因此：第61頁/共102頁

故：(6-27)圖乘法計算位移的公式1.應(yīng)用條件，桿件是等截面桿，標(biāo)距yc取自直線圖形。2.符號規(guī)定：ω與yc同側(cè)相乘為正，異側(cè)為負(fù)。3.應(yīng)用圖乘法是應(yīng)注意的幾個問題：第62頁/共102頁幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點第63頁/共102頁1.如果兩個圖形都是直線，則yc可取自任意圖形。2.當(dāng)Mi圖由幾段直線組成時，應(yīng)分段圖乘。3.兩個梯形圖形相乘時，可以將MP圖分解成兩個三角形后在應(yīng)用圖乘法，因此，第64頁/共102頁其中：4.分解法：將復(fù)雜的圖形分解成幾個面積和形心位置都已知的圖形，然后再圖乘。第65頁/共102頁例1.求簡支梁ΔCV和θB。1.求ΔCV。ABC.C1第66頁/共102頁2.求θB例2.求懸臂梁中點的撓度ΔCV解1:解2：AAABBBCCC第67頁/共102頁例3、求，第68頁/共102頁解：1、設(shè)單位力構(gòu)成虛狀態(tài)

2、繪、圖第69頁/共102頁

3、

第70頁/共102頁例4、求第71頁/共102頁解：1、設(shè)單位力構(gòu)成虛狀態(tài)2、繪、圖第72頁/共102頁第73頁/共102頁３、

第74頁/共102頁例5：求φKADKCB4II4IqDKACB1DKACB1第75頁/共102頁例6：求ΔCDABACD第76頁/共102頁ACDB第77頁/共102頁

例7：求鉸B兩側(cè)相對轉(zhuǎn)角ABCDqLLL11111第78頁/共102頁例8、求，鉸Ｃ處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角

已知：第79頁/共102頁解：1、設(shè)單位力構(gòu)成虛狀態(tài)第80頁/共102頁2、繪、圖第81頁/共102頁

３、

第82頁/共102頁第83頁/共102頁第84頁/共102頁例8:求ΔAV,已知：E=2.1×102KN/cm2,A=12cm2,I=3600cm4.解:1.求支反力即DC桿的內(nèi)力2.作出Mp、MK圖60KN60KNq=20KN/m3m3m4I4IB120KNAEDC4m2m第85頁/共102頁18040NCD=1502040MPPK=123MK第86頁/共102頁補(bǔ)充題求第87頁/共102頁§6-8溫度作用時的位移計算

若溫度沿截面高度均勻改變，則桿件只產(chǎn)生軸向變形；若溫度沿截面高度非均勻改變，則桿件不僅要產(chǎn)生軸向變形，且要產(chǎn)生彎曲變形。第88頁/共102頁若溫度沿截面高度非均勻改變，則桿件不僅要產(chǎn)生軸向變形，且要產(chǎn)生彎曲變形。第89頁/共102頁第90頁/共102頁

溫度變化引起的位移公式。

注意：符號的取法，荷載引起的彎曲變形與溫度引起的彎曲變形一致時取正；反之為負(fù)。軸力:拉為正，壓為負(fù)。第91頁/共102頁例1：求ΔBH.ADCB第92頁/共102頁ADCB(+)(-)11111ADCB11166第93頁/共102頁例2：梁CD下面加熱t(yī)0C,截面為矩形，高為h，線漲系數(shù)為α。求ΔAB.ABCD第94頁/共102頁ABCD-1-1-1-1(-)11DCAB-1-1-111-1解：第95頁/共102頁靜定結(jié)構(gòu)同時受荷載、溫度變化和支座移動的作用

第96頁/共102頁應(yīng)用條件:1)σ<σP;2)小變形。即:線性變