期權定價原理及其應用概述

期權定價原理及其應用概述演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有80頁\編輯于星期六期權定價原理及其應用概述現(xiàn)在是2頁\一共有80頁\編輯于星期六5.1期權定價原理現(xiàn)在是3頁\一共有80頁\編輯于星期六期權期權賦予期權持有人在到期日、以執(zhí)行價格（從期權出售方）買入或賣出相關資產(chǎn)的權利（但不是義務）?，F(xiàn)在是4頁\一共有80頁\編輯于星期六看漲期權合約中指定：——相關資產(chǎn)、執(zhí)行價格(X)、到期日(T)●歐式看漲期權賦予期權持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（從看漲期權出售方）買入（“看漲”）相關資產(chǎn)的權利（但不是義務）?！衩朗娇礉q期權賦予期權持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（從看漲期權出售方）買入（“看漲”）相關資產(chǎn)的權利（但不是義務）?，F(xiàn)在是5頁\一共有80頁\編輯于星期六到期日看漲期權的價值ST

＝到期日T相關資產(chǎn)或股票的價值或價格。CT

＝在到期日執(zhí)行價格為X的看漲期權的價值是ST的函數(shù)如果ST>X，則成為“實值期權”。如果ST<X，則成為“虛值期權”。如果ST=X，則成為“兩平期權”?，F(xiàn)在是6頁\一共有80頁\編輯于星期六看跌期權指定：——相關資產(chǎn)——執(zhí)行價格(X)——到期日(T)歐式看跌期權賦予期權持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（向看跌期權出售方）賣出（“看跌”）相關資產(chǎn)的權利（但不是義務）。美式看跌期權賦予期權持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（向看跌期權出售方）賣出（“看跌”）相關資產(chǎn)的權利（但不是義務）?，F(xiàn)在是7頁\一共有80頁\編輯于星期六到期日看跌期權的價值ST＝到期日T時，相關資產(chǎn)或股票的價值或價格。PT＝在到期日、執(zhí)行價格為X的看跌期權的價值是ST的函數(shù)如果ST<X，則成為“實值期權”。如果ST>X，則成為“虛值期權”。如果ST=X，則成為“兩平期權”?，F(xiàn)在是8頁\一共有80頁\編輯于星期六Black-Scholes公式歐式看漲期權的公式計算是：這兒：S＝相關資產(chǎn)或股票的現(xiàn)價T-t＝剩余到期時間r＝連續(xù)無風險收益率e≈2.71828＝相關資產(chǎn)或股票連續(xù)復利報酬率的標準差（即波動）N(y)＝均值為0、方差為1的標準正態(tài)分布隨機變量小于y的概率現(xiàn)在是9頁\一共有80頁\編輯于星期六期權定價基本原理問題：一只股票目前價格100元，未來可能上漲到120元，也可能下跌至80元；如果現(xiàn)在你為了規(guī)避股票下跌的風險，買入一份看漲期權（執(zhí)行價格為110元）那么，你應該支付多少錢得到這份看漲期權（對方需要多少錢才會愿意承擔此風險）？現(xiàn)在是10頁\一共有80頁\編輯于星期六期權的支付現(xiàn)在是11頁\一共有80頁\編輯于星期六無套利原理如果不同的資產(chǎn)在未來帶來相同的現(xiàn)金流，那么資產(chǎn)（當前）的價格應該相等，否則就會存在套利的機會；橫向套利：不同市場縱向套利：不同期限現(xiàn)在是12頁\一共有80頁\編輯于星期六二叉樹期權定價二叉樹期權定價（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出為期權定價模型為B-S模型提供一種比較簡單和直觀的方法13現(xiàn)在是13頁\一共有80頁\編輯于星期六例：遠期匯率與即期匯率拋補利率平價現(xiàn)在是14頁\一共有80頁\編輯于星期六拋補利率平價公式(1+美元利率)=(1+英鎊利率)x(美元/英鎊遠期匯率)/(美元/英鎊即期匯率)所以存在平價關系：即期匯率=遠期匯率x(1+外幣利率)/(1+本幣利率)現(xiàn)在是15頁\一共有80頁\編輯于星期六例：人民幣拋補利率平價例：2010年4月利率:中國是2.25%美國：最高1.5%匯率即期匯率是6.823遠期匯率是6.647現(xiàn)在是16頁\一共有80頁\編輯于星期六投資策略：ⅰ在紐約的銀行存1美元，一年以后得到1.015美元ⅱ將1美元換成RMB6.823,存入中國的銀行可以獲得:6.823x1.0225=RMB6.9765

用遠期匯率換成美元，可獲得：6.9765/6.647=$1.0495策略ⅱ可獲得有無風險的利潤現(xiàn)在是17頁\一共有80頁\編輯于星期六期權定價的基礎就是無套利原理構建一種資產(chǎn)組合，其未來的現(xiàn)金流支付等于期權的支付，那么期權的價格就應該等于該資產(chǎn)組合的價格現(xiàn)在是18頁\一共有80頁\編輯于星期六二叉樹定價模型：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1819StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20現(xiàn)在是19頁\一共有80頁\編輯于星期六

A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.20StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?現(xiàn)在是20頁\一共有80頁\編輯于星期六構建無風險組合ConsiderthePortfolio: longDshares short1calloption Portfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252122D–118D股股票－1份期權=無風險證券→1份期權=D股股票-無風險證券現(xiàn)在是21頁\一共有80頁\編輯于星期六單期二叉樹期權定價模型考慮一個買權在當前時刻t，下期t=T到期，中間只有1期，τ=T-t假設該買權的標的股票是1個服從二項分布的隨機變量。當前股票價格為st=S是已知的，到期股票價格為sT，且滿足22其中，u為上漲因子，d為下跌因子現(xiàn)在是22頁\一共有80頁\編輯于星期六23sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q問題：如何確定該期權在當前時刻t的價值ct？設想：構造如下投資組合，以無風險利率r借入資金B(yǎng)（相當于無風險債券空頭），并且在股票市場上購入N股股票（股票多頭）。目的：在買權到期日，上述投資組合的價值特征與買權完全相同。現(xiàn)在是23頁\一共有80頁\編輯于星期六在當前時刻t，已知股票的價格為s，構造上述組合的成本為24在到期時刻T，若希望該組合的價值v與買權的價值完全相同則必須滿足由上兩式得到現(xiàn)在是24頁\一共有80頁\編輯于星期六由此得到的組合稱為合成期權（syntheticoption），由無套利定價原則，在當前時刻t買權的價值為現(xiàn)在是25頁\一共有80頁\編輯于星期六例子假設有1個股票買權合約，到期日為1年，執(zhí)行價格為112美元，股票當前的價格為100美元，無風險利率為8％（連續(xù)復利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種可能：180美元或者60美元，求期權的價值？26sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=0現(xiàn)在是26頁\一共有80頁\編輯于星期六27現(xiàn)在是27頁\一共有80頁\編輯于星期六Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnis28Option’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.現(xiàn)在是28頁\一共有80頁\編輯于星期六Dicussion:Risk-neutralprobability在風險中性世界中，主觀概率q沒有出現(xiàn)。雖然個人對q的信念是不同的，但是在期權的定價過程中并沒有涉及到q，也就是人們對q認識的分歧并不影響對期權的定價結果。投資者最終都一致風險中性概率p，它只取決于r，u，d這三個客觀因子。29現(xiàn)在是29頁\一共有80頁\編輯于星期六Dicussion:Risk-neutralprobability風險中性世界，不必考慮風險，這等價于假設投資者是風險中性的。若在期初構造如下組合：以S的價格買入N股股票，同時以c的價格賣出1個期權，則該組合的投資成本為NS－c必然等于B。若sT＝su30若sT＝Sd現(xiàn)在是30頁\一共有80頁\編輯于星期六投資者雖然投資于有風險的股票和期權，但是由二者構成的組合NS－c，即相當于投資1個無風險的證券。組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無風險利率由于是無風險證券，對于理性投資者，不論其偏好如何，其風險態(tài)度對于這樣的組合是無關緊要。只要考慮收益的大小即可，由此大大簡化資產(chǎn)的定價?；谏鲜龅睦碛?，只要以上述方式構建投資組合來對期權定價，就等價于假設投資者是風險中性的，既然是風險中性的，則對這樣的組合定價就不必考慮風險問題。31現(xiàn)在是31頁\一共有80頁\編輯于星期六

兩階段二叉樹定價模型由于標的資產(chǎn)市場價格是1個連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機變量，不可能只有2種情形，因此可以考慮將時間T-t分為多段處理，首先介紹兩階段模型。32兩階段模型（Two-stepbinomialtree)若把從定價日t至到期日T的時間區(qū)間T-t，劃分為2個階段，在每1個階段，仍然假設標的資產(chǎn)價格只可能取2種狀態(tài)，上漲和下跌，且上漲和下跌的幅度相等，則第2階段結束時候（t=T），標的資產(chǎn)價格的取值為3個，并且令h為每個階段的時間長度現(xiàn)在是32頁\一共有80頁\編輯于星期六兩階段模型示意圖33stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d現(xiàn)在是33頁\一共有80頁\編輯于星期六兩階段模型第2期本來有4種狀態(tài)，為簡化分析，不妨規(guī)定u=1/d，則第2、3兩種狀態(tài)為同一結果，故將其合并。期權到期日價值的所有可能值為34現(xiàn)在是34頁\一共有80頁\編輯于星期六由1階段模型可知，在風險中性條件下35注意：風險中性概率p只與r，h，u，d有關，當上述值確定下來后，兩個階段的p就完全相同，這也正是階段平分的優(yōu)點?，F(xiàn)在是35頁\一共有80頁\編輯于星期六36當前時刻t，期權的價值為現(xiàn)在是36頁\一共有80頁\編輯于星期六定價思路：倒推定價法首先得到2期節(jié)點的股票價格，從而得到該期的期權價格。采用風險中性定價，通過貼現(xiàn)得到1期節(jié)點的股票價格和期權價格。由1期的股票價格得到期權價格，得到當前期權的價格。風險中性定價下，每一期的風險中性概率都是相同的。37現(xiàn)在是37頁\一共有80頁\編輯于星期六5.4n階段二叉樹定價模型將定價日t到到期日T的時間進一步等分為n個階段，每個階段的長度為h38標的資產(chǎn)在到期日的狀態(tài)可能取值為n＋1個.若n→∞，即每個階段所對應的長度無窮小，則完全有理由用二叉樹來近似表示標的資產(chǎn)價格的連續(xù)變化過程。數(shù)學意義：根據(jù)中心極限定理，若n充分大，則二項分布收斂于正態(tài)分布思路：推導出n期的二項式模型，然后令n趨于無窮?，F(xiàn)在是38頁\一共有80頁\編輯于星期六標的股票當前價格為St=S，而在以后任意一期，股價的變化有上升和下降兩個可能。這樣經(jīng)過n期后（到期日T），若該股票上漲j次，下跌n-j次，到期日T股價ST為39由概率論可知，sT服從二項分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上漲，n-j次下降的股票價格sT的概率為現(xiàn)在是39頁\一共有80頁\編輯于星期六recall：binomialdistribution假設在一個不透明的袋子中有N個球，其中M個是白色的，其余N-M個球是黑色的，則每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，稱之為n重貝努里試驗。在貝努里試驗中剛好取到j次白球的概率記為b(j;n,p)40現(xiàn)在是40頁\一共有80頁\編輯于星期六recall：binomialdistribution由于b(j;n,p)剛好是二項式41例如第j項就是故上述分布又稱為二項式分布，并且成立現(xiàn)在是41頁\一共有80頁\編輯于星期六recall：binomialdistribution由于二項式分布計算復雜，為簡化計算。當n→∞，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨立同分布下的中心極限定理）。設隨機變量Yn~b(j;n,p)，則隨機變量42現(xiàn)在是42頁\一共有80頁\編輯于星期六43參照2階段模型的思路，從最后的n期（T時刻）開始逐期向前推導，則期權在當前時刻t的價格為公式意義：在風險中性世界里，將期權到期時所有的可能值對當前時刻貼現(xiàn)，并以風險中性概率加權，得到的是期權現(xiàn)值的期望值。此期望值是期權的真實值嗎？現(xiàn)在是43頁\一共有80頁\編輯于星期六Forexample:two-stepbinomialtrees44現(xiàn)在是44頁\一共有80頁\編輯于星期六CRRmodel:n-stepbinomialtrees45現(xiàn)在是45頁\一共有80頁\編輯于星期六46現(xiàn)在是46頁\一共有80頁\編輯于星期六47現(xiàn)在是47頁\一共有80頁\編輯于星期六Howtocomputeuord?現(xiàn)在是48頁\一共有80頁\編輯于星期六ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistoset49wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityis現(xiàn)在是49頁\一共有80頁\編輯于星期六Simplifyfirstterm50=1現(xiàn)在是50頁\一共有80頁\編輯于星期六51Binomialequation現(xiàn)在是51頁\一共有80頁\編輯于星期六52現(xiàn)在是52頁\一共有80頁\編輯于星期六Simplifysecondterm53現(xiàn)在是53頁\一共有80頁\編輯于星期六Simplifyallterms54Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞現(xiàn)在是54頁\一共有80頁\編輯于星期六deducingd1andd2(form)55現(xiàn)在是55頁\一共有80頁\編輯于星期六deducingd1andd2(forp)56現(xiàn)在是56頁\一共有80頁\編輯于星期六57現(xiàn)在是57頁\一共有80頁\編輯于星期六58現(xiàn)在是58頁\一共有80頁\編輯于星期六deducingd259現(xiàn)在是59頁\一共有80頁\編輯于星期六Result:Black-Scholesformula60現(xiàn)在是60頁\一共有80頁\編輯于星期六HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution61現(xiàn)在是61頁\一共有80頁\編輯于星期六Howtochooseuandd62Inbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.現(xiàn)在是62頁\一共有80頁\編輯于星期六Howtochooseuandd63現(xiàn)在是63頁\一共有80頁\編輯于星期六64現(xiàn)在是64頁\一共有80頁\編輯于星期六65So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeans現(xiàn)在是65頁\一共有80頁\編輯于星期六Disscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystep66ud1p1-p現(xiàn)在是66頁\一共有80頁\編輯于星期六Wecanget67Prove:inrisk-neutralworldVarianofastock’sreturnin

AccordingtoGeometryBrownmotion現(xiàn)在是67頁\一共有80頁\編輯于星期六68ud1p1-p現(xiàn)在是68頁\一共有80頁\編輯于星期六69Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)現(xiàn)在是69頁\一共有80頁\編輯于星期六美式期權可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個非常微小的變化，但是歐式期權與美式期權（尤其是看跌期權）價值有很大的不同。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期權沒有解析解，故采用二叉樹方法來逼近。705.7Application:Americanoptionpricing現(xiàn)在是70頁\一共有80頁\編輯于星期六Americanoptionpricing71現(xiàn)在是71頁\一共有80頁\編輯于星期六以無收益證券的美式看跌期權為例。把該期權有效期劃分成N個長度為h的小區(qū)間，令表示在時間時第j個結點處的美式看跌期權的價值，同時用表示結點處的證券價格，可得：后，假定期權不被提前執(zhí)行，則在風險中性條件下：

72現(xiàn)在是72頁\一共有80頁\編輯于星期六Example:AmericanPutOption

(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%; T=5months=0.4167(year);

h=1month=0.0833(year);Theparametersimply u=1.1224;d=0.8909;

=1.0084;p=0.507673現(xiàn)在是73頁\一共有80頁\編輯于星期六為了構造二叉樹，我們把期權有效期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）?？梢运愠觯?4現(xiàn)在是74頁\一共有80頁\編輯于星期六Example75X＝50現(xiàn)在是75頁\一共有80頁\編輯于星期六二叉樹模型的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction76現(xiàn)在是76頁\一共有80頁\編輯于星期六MATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);77現(xiàn)在是77頁\一共有80頁\編輯于星期六StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.873213