中考數(shù)學中考最后壓軸題訓練-折疊旋轉問題

中考數(shù)學中考最后壓軸題訓練---折疊旋轉問題一．折疊類1.（13江蘇徐州卷）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD中，邊，邊，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合．將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設點是點A落在邊DC上的對應點．（圖1）（1）當矩形ABCD沿直線折疊時（如圖1），（圖1）求點的坐標和b的值；（2）當矩形ABCD沿直線折疊時，①求點的坐標（用k表示）；求出k和b之間的關系式；②如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖2、3、4所示的三種情形，請你分別寫出每種情形時k的取值范圍．（將答案直接填在每種情形下的橫線上）（——當如圖1、2折疊時，求D的取值范圍？）所以，即，所以．所以點的坐標為（，1）．連結，在Rt△中，，，．因為，所以．所以．在圖答6和圖答7中求解參照給分．（3）圖13﹣2中：；圖13﹣3中：≤≤；圖13﹣4中：（圖答5）（圖答7）（圖答6）（圖答5）（圖答7）（圖答6）[點評]這是一道有關折疊的問題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結合的思想，請注意體會。2.（13廣西欽州卷）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點為原點，為上一點，把沿折疊，使點恰好落在邊上的點處，點的坐標分別為和．（1）求點的坐標；（2）求所在直線的解析式；5DＯEAxyCMB（3）設過點的拋物線與直線的另一個交點為，問在該拋物線上是否存在點，使得5DＯEAxyCMB[解]（1）根據(jù)題意，得，，．點的坐標是；（2），設，則，，在中，．．5DHＯ5DHＯGEAxyCFMB即點的坐標是．設所在直線的解析式為，解之，得所在直線的解析式為；（3）點在拋物線上，．即拋物線為．假設在拋物線上存在點，使得為等邊三角形，根據(jù)拋物線的對稱性及等邊三角形的性質，得點一定在該拋物線的頂點上．設點的坐標為，，，即點的坐標為．設對稱軸與直線交于點，與軸交于點．則點的坐標為．，點在軸的右側，，．，在中，，．解之，得．，．點的坐標為．在拋物線上存在點，使得為等邊三角形．[點評]這是一道以折疊為背景的綜合型壓軸題，綜合性較強，這類試題在各地中考題中出現(xiàn)的頻率不小，本題中第1、2小題只需根據(jù)折疊的基本性質結合函數(shù)知識即可得解，第3小題是探究型問題，是一道檢測學生能力的好題。3（13湖北咸寧卷）如圖，是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，為原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，．（1）在邊上取一點，將紙片沿翻折，使點落在邊上的點處，求點，的坐標；（2）若過點的拋物線與軸相交于點，求拋物線的解析式和對稱軸方程；（3）若（2）中的拋物線與軸交于點，在拋物線上是否存在點，使的內(nèi)心在坐標軸上？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．（4）35若（2）中的拋物線與軸相交于點，點在線段上移動，作直線，當點移動到什么位置時，兩點到直線的距離之和最大？請直接寫出此時點的坐標及直線的解析式．354..(14臺州市)Oxy（第24題）CBED24．如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊折疊，使點落在邊的點處．已知折疊，且．Oxy（第24題）CBED（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線與軸交點的坐標；（3）是否存在過點的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．解：（1）與相似．理由如下：由折疊知，，（第24題圖2）Oxy（第24題圖2）OxyCBEDPMGlNAF又，．（2），設，則．由勾股定理得．．由（1），得，，．在中，，，解得．，點的坐標為，點的坐標為，設直線的解析式為，解得，則點的坐標為．（3）滿足條件的直線有2條：，．如圖2：準確畫出兩條直線．5.(14寧德市)26.已知：矩形紙片中，厘米，厘米，點在上，且厘米，點是邊上一動點．按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點與點重合，展開紙片得折痕（如圖1所示）；步驟二，過點作，交所在的直線于點，連接（如圖2所示）（1）無論點在邊上任何位置，都有（填“”、“”、“”號）；（2）如圖3所示，將紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：①當點在點時，與交于點點的坐標是（，）；②當厘米時，與交于點點的坐標是（，）；③當厘米時，在圖3中畫出（不要求寫畫法），并求出與的交點的坐標；（3）點在運動過程，與形成一系列的交點觀察、猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式．AAPBCMD(P)EBC圖10(A)BCDE6121824xy61218圖3ANPBCMDEQT圖2解:（1）．（2）①；②．③畫圖，如圖所示．解：方法一：設與交于點．0(A)BCD0(A)BCDE6121824xy61218FMGP．，，．又，．．．．方法二：過點作，垂足為，則四邊形是矩形．，．設，則．在中，．．．．．（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．函數(shù)關系式：．6.(14日照市)24.如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F（E，F(xiàn)不與頂點重合），設AB=a,AD=b,BE=x．(Ⅰ)求證：AF=EC；(Ⅱ)用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C.（1）求出直線EE′分別經(jīng)過原矩形的頂點A和頂點D時，所對應的x︰b的值；（2）在直線EE′經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當a與b滿足什么關系時，它們垂直？解:(Ⅰ)證明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE．∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，∴2AF=EC+(b-x)．又∵EC＝b-x，∴2AF=2EC，即AF=EC；(Ⅱ)（1）當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點D時，如圖（一），∵EC∥E′B′，∴=.由EC＝b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x︰b=；當直線E′E經(jīng)過原矩形的頂點A時，如圖（二），在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′,點C是DB′的中點，∴CE=(AD+E′B′)，即b-x＝（b＋x），∴x︰b=．(2)如圖（一），當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點D時，BE′∥EF．證明：連接BF．∵FD∥BE,FD=BE，∴四邊形FBED是平行四邊形，∴FB∥DE，F(xiàn)B=DE,又∵EC∥E′B′，點C是DB′的中點，∴DE=EE′，∴FB∥EE′,FB=EE′，∴四邊形BE′EF是平行四邊形∴BE′∥EF．如圖（二），當直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點A時，顯然BE′與EF不平行，設直線EF與BE′交于點G.過點E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a.．∵x︰b=，∴EM=BC=b．若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E.在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==．在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，∴＝．又∵a＞0，b＞0，，∴當時，BE′與EF垂直.7.(14荊門市)28.如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設P(x，0)，E(0，y)，求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值；(2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．圖1圖1圖2解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且當x=2時，y有最大值．(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．設過此三點的拋物線為y=ax2＋bx＋c，則∴y=．(3)由(2)知∠EPB=90°，即點Q與點B重合時滿足條件．直線PB為y=x－1，與y軸交于點(0，－1)．將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，∴該直線為y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件．8.(14湖北省孝感市)25.在我們學習過的數(shù)學教科書中，有一個數(shù)學活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）.（圖1）（圖2）請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？（3）設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系.設直線為，當=60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？（圖3）解：（1）△BMP是等邊三角形.證明：連結AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折疊知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP為等邊三角形.（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.∴當a≤b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.（3）∵∠M′BC=60°∴∠ABM′=90°－60°=30°在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=∴tan30°=∴AM′=∴M′(，2).代入y=kx中，得k==設△ABM′沿BM′折疊后，點A落在矩形ABCD內(nèi)的點為過作HBC交BC于H.∵△BM′≌△ABM′∴==30°,B=AB=2∴－=30°.在Rt△BH中，H=B=1，BH=∴∴落在EF上.(圖2)(圖3)9.(14廣東省茂名市)25.如圖，已知平面直角坐標系中，有一矩形紙片OABC，O為坐標原點，軸，B（3，），現(xiàn)將紙片按如圖折疊，AD，DE為折痕，．折疊后，點O落在點，點C落在點，并且與在同一直線上．（1）求折痕AD所在直線的解析式；(第25題圖)CDOABEO1(第25題圖)CDOABEO1C1xy（3）若⊙的半徑為，圓心在（2）的拋物線上運動，⊙與兩坐標軸都相切時，求⊙半徑的值．解：(第25題圖(第25題圖)CDOABEO1C1xyF．∴，∴．設直線AD的解析式為．把A，D坐標代入上式得：，解得：，折痕AD所在的直線的解析式是．（2）過作于點F，由已知得，∴．又DC＝3－1＝2，∴．∴在中，．，∴，而已知．法一：設經(jīng)過三點O，C1，C的拋物線的解析式是點在拋物線上，∴，∴∴為所求法二：設經(jīng)過三點O，C1，C的拋物線的解析式是．把O，C1，C的坐標代入上式得:，解得，∴為所求．（3）設圓心，則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有．由，得，解得（舍去），．由，得解得（舍去），．∴所求⊙P的半徑或．10.(14重慶市)28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O為坐標原點，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處。（1）求點C的坐標；（2）若拋物線（≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M。問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由。注：拋物線（≠0）的頂點坐標為，對稱軸公式為解:（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2∴OB＝4，OA＝由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3∴C點坐標為（，3）（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點∴解得：∴此拋物線的解析式為：（3）存在。因為的頂點坐標為（，3）即為點CMP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以ON＝∴P（，）作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E把代入得：∴M（，），E（，）同理：Q（，），D（，1）要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD即，解得：，（舍）∴P點坐標為（，）∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）11.（15山東青島）24．（本小題滿分12分）已知：如圖①，在中，，，，點由出發(fā)沿方向向點勻速運動，速度為1cm/s；點由出發(fā)沿方向向點勻速運動，速度為2cm/s；連接．若設運動的時間為（），解答下列問題：（1）當為何值時，？（2）設的面積為（），求與之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻，使線段恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②12.（15浙江湖州）24．（本小題12分）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．（1）求證：與的面積相等；（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（15浙江湖州24題解析）24．（本小題12分）（1）證明：設，，與的面積分別為，，由題意得，．，．，即與的面積相等．（2）由題意知：兩點坐標分別為，，，．當時，有最大值．．（3）解：設存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．由題意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合條件的點，它的坐標為．13（15浙江衢州）24、(本題14分)已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A′)，折痕經(jīng)過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當點A′在線段AB上時，S關于t的函數(shù)關系式；(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。yyBBCCyTACBOxyTACBOxOOTAxTAx（15浙江衢州24題解析）24、(本題14分)解：(1)∵A，B兩點的坐標分別是A(10，0)和B(8，)，∴，∴當點A′在線段AB上時，∵，TA=TA′，∴△A′TA是等邊三角形，且，∴，，A′yE∴，A′yExOCTPBA當A′與B重合時，AT=AB=，xOCTPBA所以此時。(2)當點A′在線段AB的延長線，且點P在線段AB(不與B重合)上時，紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1)，其中E是TA′與CB的交點)，A′yx當點P與B重合時，AT=2AB=8，點T的坐標是(2，0)A′yx又由(1)中求得當A′與B重合時，T的坐標是(6，0)PBE所以當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，。PBEFC(3)S存在最大值FCATOeq\o\ac(○,1)當時，，ATO在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，∴當t=6時，S的值最大是。eq\o\ac(○,2)當時，由圖eq\o\ac(○,1)，重疊部分的面積∵△A′EB的高是，∴當t=2時，S的值最大是；eq\o\ac(○,3)當，即當點A′和點P都在線段AB的延長線是(如圖eq\o\ac(○,2)，其中E是TA′與CB的交點，F(xiàn)是TP與CB的交點)，∵，四邊形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴綜上所述，S的最大值是，此時t的值是。1415浙江紹興）24．將一矩形紙片放在平面直角坐標系中，，，．動點從點出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿向終點運動，運動秒時，動點從點出發(fā)以相等的速度沿向終點運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設點的運動時間為（秒）．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當時，如圖1，將沿翻折，點恰好落在邊上的點處，求點的坐標；（3）連結，將沿翻折，得到，如圖2．問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應的值；若不能，說明理由．圖1圖1OPAxBDCQy（第24題圖）圖2OPAxBCQyE（15浙江紹興24題解析）24．（本題滿分14分）解：（1），．圖1圖1OPAxBDCQy圖2OPAxBCQy圖3OFAxBCyEQP（2）當時，過點作，交于，如圖1，則，，，．（3）①能與平行．若，如圖2，則，即，，而，．②不能與垂直．若，延長交于，如圖3，則．．．又，，，，而，不存在．15.（15浙江宿遷24題解析）24．如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點（點不與點，點重合），過點作直線，交邊于點，再把沿著動直線對折，點的對應點是點，設的長度為，與矩形重疊部分的面積為．（1）求的度數(shù)；（2）當取何值時，點落在矩形的邊上？（3）①求與之間的函數(shù)關系式；②當取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的？DDQCBPRA（第24題）BADC（備用圖1）BADC（備用圖2）二．旋轉類1.（15湖南常德26題）如圖9，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列問題：（1）旋轉：將△ABC繞點C順時針方向旋轉900，請你在圖中作出旋轉后的對應圖形△A1B1C，并求出AB1的長度；（2）翻折：將△A1B1C沿過點B1且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對應圖形△A2B1C1，試判定四邊形A2B1DE的形狀？并說明理由；（3）平移：將△A2B1C1沿直線向右平移至△A3B2C2，若設平移的距離為ｘ，△A3B2C2與直角梯形重疊部分的面積為ｙ，當ｙ等于△ABC面積的一半時,ｘ的值是多少？AABCDEFG圖9 （15湖南常德26題解析）解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，∴AB1=AC+CB1=AC+CB=.……2分(2)四邊形A2B1DE為平行四邊形.理由如下：∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故結論成立.………………4分（3）由題意可知：S△ABC=，當或時，ｙ＝0此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半……………5分②當時，直角邊B2C2與等腰梯形的下底邊DG重疊的長度為DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，則ｙ＝,當ｙ=S△ABC=時，即，解得（舍）或.∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.③當時，△A3B2C2完全與等腰梯形重疊，即……………7分④當時,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-則ｙ＝,當ｙ=S△ABC=時，即，解得,或(舍去).∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………9分由以上討論知,當或時,重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………10分2.（廣西玉林卷）在矩形中，，，以為坐標原點，所在的直線為軸，建立直角坐標系．然后將矩形繞點逆時針旋轉，使點落在軸的點上，則和點依次落在第二象限的點上和軸的點上（如圖）．（1）求經(jīng)過三點的二次函數(shù)解析式；（2）設直線與（1）的二次函數(shù)圖象相交于另一點，試求四邊形的周長．（3）設為（1）的二次函數(shù)圖象上的一點，，求點的坐標．ＣＢＤＥＦＧＣＢＤＥＦＧＡ，，．設經(jīng)過三點的二次函數(shù)解析式是．把代入之，求得．3分所求的二次函數(shù)解析式是：．（2）解：由題意可知，四邊形為矩形．，且．直線與二次函數(shù)圖象的交點的坐標為，．與與關于拋物線的對稱軸對稱，．四邊形的周長．ＣＢＤＥＦＧＡＭＣＢＤＥＦＧＡＭＨ，，即．，于是．設直線的解析式為．把，代入之，得解得．聯(lián)合一次，二次函數(shù)解析式組成方程組解得或（此組數(shù)為點坐標）所求的點坐標為．解法2：過作軸于．由，得．設所求點的橫坐標為，則縱坐標為．，，．，，．解之，得或．經(jīng)檢驗可知，是原方程的根；是原方程的增根，故應舍去．當時，．所求的點坐標為．[點評]此題的綜合性較強，考查的知識點較多，但是解法較多，使試題的切入點也較多，很容易入題。3.(14南京市)27．在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為，并且原多邊形上的任一點，它的對應點在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度，這種經(jīng)過和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為，其中點叫做旋轉相似中心，叫做相似比，叫做旋轉角．（1）填空： ①如圖1，將以點為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉，得到，這個旋轉相似變換記為（ ， ）；②如圖2，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉相似變換，得到，則線段的長為 ；ＣＡBDE圖1ＡBＣDE圖2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ圖3（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，，為邊向外作正方形，，，點，，分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用與ＣＡBDE圖1ＡBＣDE圖2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ圖3解：（1）①，；②；（2）經(jīng)過旋轉相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段；經(jīng)過旋轉相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段．，，，．4.（15湖北恩施）六、(本大題滿分12分)24.如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動，?AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設BE=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.（2）求m與n的函數(shù)關系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD＋CE=DE.Gyx圖12OFEDCBAGGyx圖12OFEDCBAG圖11FEDCBA（15湖北恩施24題解析）六、(本大題滿分12分)24.解:(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA1分∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴?ABE∽?DCA3分(2)∵?ABE∽?DCA∴由依題意可知CA=BA=∴∴m=5分自變量n的取值范圍為1<n<2.6分(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=－1∴D(1－,0)7分∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8∴BD＋CE=DE8分(4)成立9分證明:如圖,將?ACE繞點A順時針旋轉90°至?ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,FDHAGECB∠ABHFDHAGECB連接HD,在?EAD和?HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴?EAD≌?HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE12分5.（15湖北武漢）（本題答案暫缺）25.（本題12分）如圖1，拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A（-1,0），C（3,2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B.（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；（3）如圖2，過點E（1，-1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內(nèi)某點旋轉180°后得△MNQ（點M，N，Q分別與點A，E，F(xiàn)對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標.（15湖北武漢25題解析）25.⑴；⑵；⑶M（3，2），N（1，3）6.（15江蘇淮安）（本題答案暫缺）28．(本小題14分)如圖所示，在平面直角坐標系中．二次函數(shù)y=a(x-2)2-1圖象的頂點為P，與x軸交點為A、B，與y軸交點為C．連結BP并延長交y軸于點D.(1)寫出點P的坐標；(2)連結AP，如果△APB為等腰直角三角形，求a的值及點C、D的坐標；(3)在(2)的條件下，連結BC、AC、AD，點E(0，b)在線段CD(端點C、D除外)上,將△BCD繞點E逆時針方向旋轉90°，得到一個新三角形．設該三角形與△ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S．選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結果；判斷當b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值．7.（15江蘇徐州）（本題答案暫缺）28.如圖1，一副直角三角板滿足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q【探究一】在旋轉過程中，如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并給出證明.如圖3，當時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？，并說明理由.根據(jù)你對（1）、（2）的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為_________,其中的取值范圍是_______(直接寫出結論，不必證明)【探究二】若，AC＝30cm，連續(xù)PQ，設△EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉過程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由.隨著S取不同的值，對應△EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應S值的取值范圍.（15山東青島24題解析）24．（本小題滿分12分）圖=1\*GB3①B圖=1\*GB3①BAQPCH由題意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，∴，∴，∴． 3′（2）過點P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴，∴，∴，∴． 6′（