文檔：空間向量在解題中的應(yīng)用

空間向量在解題中的應(yīng)用空間向量作為解決空間幾何問題的重要工具，以其獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運(yùn)算，使之得到廣泛的應(yīng)用。以向量的代數(shù)運(yùn)算去解決立幾中的許多問題，是傳統(tǒng)方法無(wú)以比擬的，它避開了抽象的空間想象能力和作輔助線的困難。下面分類探討如何利用空間向量法解立體幾何問題。一、利用向量證明點(diǎn)共線或點(diǎn)共面問題立體幾何中的點(diǎn)共線或點(diǎn)共面問題，可用幾何的方法證明，也可用向量的方法證明。用向量的方法證明時(shí)不需要考慮添加輔助線的問題，僅用向量的代數(shù)運(yùn)算即可得出結(jié)論。要證明點(diǎn)P與點(diǎn)A、B共線，只需證明，或證明對(duì)空間任一定點(diǎn)O，有即可。要證明點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C共面，只需證明，或證明對(duì)空間任一定點(diǎn)O，有即可。例1如圖，已知平行六面體，E、F、G、H分別是棱、、、的中點(diǎn)。求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面。分析：為了證明方便可選擇一組基向量，不妨取，，，求向量，或，或能用向量線性表示即可。證明：取，，，則所以與向量共面。即E、F、G、H四點(diǎn)共面。評(píng)注：利用向量證明三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面等問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x取基向量，另外在向量運(yùn)算過程中一定要細(xì)心，否則容易出錯(cuò)。二、利用向量解決平行與垂直關(guān)系問題平行與垂直關(guān)系是立體幾何中兩種重要的位置關(guān)系。它們都可以用向量的方法解決。以下用表示平面的法向量。1、直線與平面平行與垂直的判定(1)，(2).2、平面與平面平行與垂直（1）（2）例2如圖，已知正三棱柱，是的中點(diǎn)，求證：平面．分析：要證明立體幾何中的線與面平行只需通過證明線與平面內(nèi)某條線平行即可?；蜃C明線與平面的發(fā)向量垂直。證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則所以不妨令，則．由于，得．又平面，平面．評(píng)注：通過證明直線與平面的法向量垂直來(lái)證明直線與平面平行是常用的方法，當(dāng)直線與平面內(nèi)的某條直線平行不好找，且平面的法向量又容易求出時(shí)常常用這種方法。三、利用向量解決空間角問題空間角主要是直線和直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角。這些角用幾何的方法大部分都需要添加輔助線，比較難于解決。用向量則不需要添加輔助線，直接通過向量的代數(shù)運(yùn)算即可得出結(jié)論。1、求異面直線的夾角設(shè)兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，注意到異面直線所成角的范圍是，則有．特殊情形：,即異面直線a垂直于b。例3如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，求異面直線AC與BC1分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，直接代入上面的公式即可求出結(jié)論。解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)則，即AC與BC1的夾角為。評(píng)注：在本題中，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)及線段向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。例4已知正方形和矩形所在平面互相垂直，．試在線段上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是．分析：本題是一個(gè)開放性問題，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)滿足的條件求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，得．又和所成的角是，．解得或（舍去），即點(diǎn)是的中點(diǎn)．評(píng)注：采用傳統(tǒng)的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理．這里運(yùn)用向量法，沒有了這些手續(xù)，顯得便當(dāng)快捷．2、求直線與平面所成的角直線與平面所成的角即直線和它在平面內(nèi)的射影所成的角。直線a與平面所成的角為，為直線a的一個(gè)方向向量，是平面的法向量（如圖），易知：，特殊情形：當(dāng)，則直線a與平面垂直。例5如圖，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB=AC=1，PA=2，求直線PA與平面DEF所成角的大小.分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算及公式可求直線和平面所成的角。解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），，，設(shè)是平面DEF的一個(gè)法向量，則即，取x=1,則，設(shè)PA與平面DEF所成的角為，則評(píng)注：求線面角關(guān)鍵在于：找到平面的一個(gè)法向量，法向量與直線所在的向量夾角的互余的角，即為所求的角。3、求二面角的大小二面角是立體幾何中的重點(diǎn)，年年都考查。在求二面角時(shí)，若能作出二面角的平面角最好，若不好作出二面角的平面角，用純幾何的方法就不好解決，最好選用向量的方法來(lái)解決。如圖，設(shè)是兩相交平面α、β所成的平面角，是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，易知。特殊情形：當(dāng)時(shí)，平面垂直平面β。例6如圖，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分別是棱BC、的中點(diǎn)，求二面角的大小。分析：求二面角的大小，可通過求兩個(gè)平面的法向量的夾角得出結(jié)論。解：以A為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，易知各點(diǎn)坐標(biāo)A(0,0,0),B(,1,0)，B1(,1,0),E(0,2,1),則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令則，，設(shè)是平面一個(gè)法向量，則，令則設(shè)二面角為，則評(píng)注：求二面角的關(guān)鍵在于找到兩個(gè)平面各自的一個(gè)法向量，這兩個(gè)法向量所夾的角的互補(bǔ)角即為所求的角。四、利用空間向量求距離空間中的距離主要有兩點(diǎn)間的距離，異面直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離，兩平行平面的距離等。其中兩點(diǎn)間的距離直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解，異面直線的距離難度降低了，主要是求點(diǎn)到平面的距離。這些距離都可轉(zhuǎn)化為向量解決。1、異面直線間的距離如圖，d是異面直線a與b的距離，是直線a與b的一個(gè)法向量A、B分別是直線a,b上的點(diǎn)，顯然，又。例7如圖，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線和之間的距離.ABCDABCDOS解：如圖，以正方形ABCD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A，B，C，D，S。，。令向量，且，則，，，，。異面直線和之間的距離為：。評(píng)注：求異面直線的距離，關(guān)鍵在于求出異面直線的一個(gè)公共法向量和與兩異面直線相交的線段的向量。2、求點(diǎn)到平面的距離如圖，我們易知：點(diǎn)A到平面的距離而，（其中是平面的一個(gè)法向量）。例8在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，，分別為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的斜線段向量在平面法向量上射影的絕對(duì)值得到。解：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，且．平面平面，平面平面，平面，．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則不妨令，則，．點(diǎn)到平面的距離為．評(píng)注：求點(diǎn)到平面的距離，關(guān)鍵是找到平面的一個(gè)法向量及這點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量。我們利用這公式，不僅可解決點(diǎn)到平面的距離，還可推廣到直線與平面的距離，平行平面間的距離問題：（1）若平面（其中是直線a的方向向量，是平面的法向量）；（2）平面平面(其中、分別為平面的法向量)。ACACBPEF例9如圖，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過且與平行。求與平面間的距離。分析：關(guān)鍵是求平面的法向量，在平面的法向量上射影的模即為所求，可應(yīng)用向量法或向量的坐標(biāo)運(yùn)算。解：設(shè)、、的單位向量分別為、、，選取{，，}作為空間向量的一組基底。易知，===，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，即，直線與平面間的距離為=評(píng)注：當(dāng)直線與平面相交時(shí)，直線到平面的距離為0；當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任一點(diǎn)到到平面的距離都相等，都是直線到平面的距離。因此，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)解決。AAAA1DCBB1C1D1例10如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中。求平面與平面間的距離。分析：求兩平行平面的法向量，然后求在法向量上射影的模即可。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，，平面與平面間的距離。評(píng)注：兩平行平面的距離等于其中一平面上任一點(diǎn)到另一平面的距離，所以兩平行平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)解決。五、綜合問題例11在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，平面平面，為的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離。分析：通過分析知，是，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)論。解：（Ⅰ）易知是，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，（Ⅱ）是平面的一個(gè)法向量，，則，即，取可得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量