離散性隨機(jī)變量及其分布

離散性隨機(jī)變量及其分布演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有30頁\編輯于星期日（優(yōu)選）第二節(jié)離散性隨機(jī)變量及其分布現(xiàn)在是2頁\一共有30頁\編輯于星期日

1、定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為xk（k=1,2,…），稱X取各個(gè)可能值的概率，即事件｛X=xk｝的概率，

P｛X=xk｝=pk,（k=1,2,…）

為X的分布律或概率分布（Probabilitydistribution）。也可以表示為X

x1 x2 …

xk

… pk

p1 p2 … pk

…一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義現(xiàn)在是3頁\一共有30頁\編輯于星期日用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率分布（1）

pk

0,k＝1,2,…;（2）

2.分布律的性質(zhì)例2.2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a

?，F(xiàn)在是4頁\一共有30頁\編輯于星期日解:

依據(jù)概率分布的性質(zhì):P{X=k}≥0,

a≥0從中解得。欲使上述函數(shù)為概率分布這里用到了冪級(jí)數(shù)展開式k=0,1,2,…,現(xiàn)在是5頁\一共有30頁\編輯于星期日3.利用分布律求事件概率離散型隨機(jī)變量的分布律不僅給出了{(lán)X=xk

}的概率，而且通過它可以求事件發(fā)生的概率。

由概率的有限可加性有現(xiàn)在是6頁\一共有30頁\編輯于星期日例2.3設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只紅?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解：k可取值0，1，2，求抽得白球數(shù)至少為１的概率。?現(xiàn)在是7頁\一共有30頁\編輯于星期日例2.4

某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的分布律。解：X可取0、1、2為值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且

P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1現(xiàn)在是8頁\一共有30頁\編輯于星期日1.（0-1）分布若隨機(jī)變量X只取0和1，其分布律為P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,k＝0,1(0<p<1)則稱X服從參數(shù)為p的（0-1）分布(貝努利分布或兩點(diǎn)分布)

（Two-pointdistribution）。二、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布其分布律也可以寫成現(xiàn)在是9頁\一共有30頁\編輯于星期日

凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，常用0-1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等。應(yīng)用場合

200件產(chǎn)品中，有196件是正品，4件是次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定例2.5X=1,取到合格品0,取到不合格品則P{X=1}=196/200=0.98，P{X=0}=4/200=0.02，

故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布?，F(xiàn)在是10頁\一共有30頁\編輯于星期日若以X表示n重伯努利試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布（binomialdistribution）。記作X?b（n,p),

其分布律為：2.伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)都只有兩種可能的結(jié)果A和，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。現(xiàn)在是11頁\一共有30頁\編輯于星期日

例2.6

從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立，并且遇到紅燈的概率都是1/3。（1）設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù)，求X的分布律。（2）求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解:（1）由題意，X～

b(6,1/3),于是X的分布律為:現(xiàn)在是12頁\一共有30頁\編輯于星期日例2.7

某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解：設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～b(400,0.02)，故,P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例2.8，見P35例2?，F(xiàn)在是13頁\一共有30頁\編輯于星期日注:伯努利概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或A，

且P(A)=p，P(A)=1-p；

現(xiàn)在是14頁\一共有30頁\編輯于星期日二項(xiàng)分布b(n,p)和0-1分布之間的關(guān)系1.若X服從0-1分布，則X～

b(1,p)；2.把試驗(yàn)E在相同條件下，相互獨(dú)立地進(jìn)行n次，記X為n次獨(dú)立試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，Xi為第i次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，則Xi

～

b(1,p)，且X=X1+X2++Xn~b(n,p)。

設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：A和A。記p=P(A),0<p<1現(xiàn)在是15頁\一共有30頁\編輯于星期日3.

泊松(Poisson)分布定義

若離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X＝k}＝

,k＝0,1,2,…(0),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ)。易見現(xiàn)在是16頁\一共有30頁\編輯于星期日例2.9

某一無線尋呼臺(tái)，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布。求：（1）一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率。

（2）一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。解：因?yàn)閄~π(3)，所以X的分布律為

P{X=k}=(3k/k!)e-3,

k＝0,1,2,….則，（1）

P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240

（2）

P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169現(xiàn)在是17頁\一共有30頁\編輯于星期日解:例2.10

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率。

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474現(xiàn)在是18頁\一共有30頁\編輯于星期日泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~p(l)現(xiàn)在是19頁\一共有30頁\編輯于星期日歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。泊松定理：對(duì)于二項(xiàng)分布b(n,p)，當(dāng)n充分大，p又很小時(shí)，則對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)k，有近似公式

P{X=k}=pk(1-p)n-k

≈

其中?，F(xiàn)在是20頁\一共有30頁\編輯于星期日對(duì)例2.７用泊松定理，取

=np＝(400)(0.02)＝8，故近似地有P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}≈1－(1＋8)e－8＝0.996981。現(xiàn)在是21頁\一共有30頁\編輯于星期日由泊松定理，n重伯努利試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件，如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等?，F(xiàn)在是22頁\一共有30頁\編輯于星期日對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率分布,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律。在這個(gè)意義上，我們說離散型隨機(jī)變量由它的概率分布唯一確定。

兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布現(xiàn)在是23頁\一共有30頁\編輯于星期日對(duì)非離散型隨機(jī)變量，其取值不是離散的，有時(shí)可以充滿整個(gè)區(qū)間，對(duì)于這種更一般的隨機(jī)變量，

我們感興趣的就不是它取到某個(gè)具體的數(shù)的概率，而是它的取值落在某一個(gè)區(qū)間上的概率，比如：P{x1<X

x2},P{X>a}。P{x1<X

x2}=P{X

x2}-P{X

x1},P{X>a}=1-P{X

a｝。為此我們引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念。三隨機(jī)變量的分布函數(shù)現(xiàn)在是24頁\一共有30頁\編輯于星期日設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)（Distributionfunction），記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}。易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b)，

P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a)。一、分布函數(shù)的概念現(xiàn)在是25頁\一共有30頁\編輯于星期日1.這里分布函數(shù)的定義對(duì)任何隨機(jī)變量都適用。2.分布函數(shù)F(x)＝P{Xx}是一個(gè)普通的函數(shù)，它的自變量是全體實(shí)數(shù)。掌握了X的分布函數(shù)就掌握了X在(－∞,+∞)上的概率分布情況。

注:

現(xiàn)在是26頁\一共有30頁\編輯于星期日1、單調(diào)不減性：

若x1<x2，則F(x1)F(x2);3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，二、分布函數(shù)的性質(zhì)2、歸一性：

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且這三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)現(xiàn)在是27頁\一共有30頁\編輯于星期日例2.11設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表，試求出X的分布函數(shù)及P{X≤1},P{0.5<X≤1.5},P{1≤X≤2}。解：

X012Pk0.10.60.3現(xiàn)在是28頁\一共有30頁\