多元表征理論指導下的數(shù)列概念教學

“多元表征理論”指導下的“數(shù)列概念”教學

表征（Representation）又稱心理表征或知識表征，是認知心理學的核心概念之一，指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式.表征是外部事物在心理活動中的內部再現(xiàn)，因此，它一方面反映客觀事物，代表客觀事物，另一方面又是心理活動進一步加工的對象.在數(shù)學概念教學中，概念的“心理表征”受到了高度關注，相對于“單一表征理論”，所謂“多元表征理論”即是更加強調數(shù)學概念心理表征的多元性，強調概念表征不同方面的相互滲透與必要互補.更為重要的是，“多元表征理論”突出強調了數(shù)學概念的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，這些成分對于概念的正確理解都具有重要的作用；另外，與片面強調其中的某一成分相對應，我們又應更加重視這些成分之間的聯(lián)結與相互轉換.根據(jù)“多元表征理論”，教師在教學中應十分重視如何使學生在這一過程中更好地發(fā)揮主體作用，因為，“一名學生處理或形成外部表示的方式也將顯示出他在頭腦中對于這一信息是如何表征的”.同時，也應十分重視認識活動的個體特殊性，關注每一名學生在學習過程中的真實思維活動.為此，要利用數(shù)學概念表現(xiàn)形式的多樣性，靈活地向學生提供圖、表、文字、符號等各種表示，創(chuàng)設出一種多樣變化的教學情境，引發(fā)學生的數(shù)學思考，給學生提供探索數(shù)學規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質的機會，使學生的自主探究式學習成為可能并得到落實，學生的數(shù)學學習興趣可以被更有效地激發(fā)，教學活動也能開展得更加生動活潑而富有成效.2011年10月，筆者為參加安徽省第十批特級教師評選，在六安市上了一節(jié)考評課，課題是“數(shù)列的概念與簡單表示法（第1課時）”.在進行教學設計時，筆者嘗試運用“多元表征理論”指導教學，獲得了較高評價（此課得到所有學科上課得分的最高分）.以下結合本節(jié)課的課堂教學主要環(huán)節(jié)談談筆者自己的認識與體會.一、辨析實例，形成概念請同學們觀察下面幾組數(shù)字：（1）古代有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，若將“一尺之棰”記為1份，則每日剩余部分依次是（2）古希臘數(shù)學家常用小石子擺成如圖1的形狀來表示數(shù)，稱為三角形數(shù)，它們依次是1，3，6，10，…（3）1984年至今，我國參加了7次奧運會，所獲金牌數(shù)依次是15，5，16，16，28，32，51.（4）確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值依次是1，1.4，1.41，1.414，…教師：觀察上面四組數(shù)字，它們有什么共同特征？學生1：每組數(shù)字都有規(guī)律.學生2：（情緒有點激動）不對，第（3）組數(shù)字就沒有“規(guī)律”.教師追問：學生1，你能具體解釋一下“有規(guī)律”的含義嗎？學生1：我覺得，“有規(guī)律”就是知道前面幾個數(shù)，可以找出規(guī)律，從而寫出隨后的數(shù)字.教師追問：學生2，你為什么說第（3）組數(shù)字沒有“規(guī)律”呢？學生2：如果有規(guī)律，那么你能確定2012年倫敦奧運會我國所獲金牌數(shù)嗎？顯然不可能.教師：不錯！看來，“有規(guī)律”并不是這四組數(shù)字的共同特征.繼續(xù)觀察，在每組數(shù)字中，能否將數(shù)字隨意調換？調換后還能表達同樣的意思嗎？由此說明了什么？學生3：不能隨意調換，調換后意思改變了，說明每一組數(shù)字都是有次序的.教師：很好！我們就把按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列.那么，數(shù)列定義中有哪些關鍵詞？學生4：關鍵詞有兩個：“一列數(shù)”“有順序”.教師：根據(jù)定義，1，3，5，7是數(shù)列嗎？1，5，3，7是數(shù)列嗎？它們是否為同一數(shù)列？學生5：它們都是數(shù)列，但不是同一數(shù)列，因為數(shù)字的排列順序不完全相同.教師：這說明，兩個數(shù)列，即使它們包括的數(shù)字完全相同，只要出現(xiàn)順序不同，就是不同的數(shù)列.那么（5）1，1，1，1，…是數(shù)列嗎？（6）-1，1，-1，1，…是數(shù)列嗎？為什么？學生6：它們都是數(shù)列，因為它們也是按順序排列的一列數(shù).教師：由此可見，數(shù)列中的數(shù)字是可以重復出現(xiàn)的，但代表的含義可能不同，如數(shù)列（3）中兩個16的含義就是不同的.教學思考：概念學習的本質是對概念屬性的辨認，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對概念的學習有著重要的輔助作用.由“多元表征理論”可知，教師提供具體例子時不能隨心所欲，一定要具有豐富性和典型性，要恰當使用正反例引導學生辨認概念的本質屬性與非本質屬性，通過變換概念的非本質屬性，幫助學生掌握概念.本節(jié)課，為歸納得出數(shù)列的概念，應先讓學生觀察若干組數(shù)字（一般具有實際背景），思考各組數(shù)字的共同特征.可很多教師選取的全是“有規(guī)律”的數(shù)字，甚至不惜花費大量時間強化學生對這種“規(guī)律”性的體驗，從而導致學生對數(shù)列概念的錯誤理解.因此，在選取數(shù)組時，應做到：有規(guī)律與無規(guī)律兼顧，有窮數(shù)列與無窮數(shù)列兼顧，增數(shù)列、減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列兼顧，只有這樣，才能讓學生充分經歷觀察、比較、分辨、概括的全過程，充分經歷矛盾的沖突與解決過程，形成對概念的正確認識.二、表示數(shù)列，深化概念教師：為了方便，我們將數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（首項），排在第二位的數(shù)稱為第2項，……，排在第n位的數(shù)稱為第n項.所以，數(shù)列的一般形式可以寫成，簡記為.教師：對于具體數(shù)列，僅用記號并不能反映該數(shù)列的實際內涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如數(shù)列2，4，6，8，….請同學們自己動手，嘗試用多種方法表示這個數(shù)列.（學生分組討論，動手實踐，教師巡視進展情況，適當參與學生的討論，然后利用實物投影儀展示典型做法）展示學生7的結果：教師：這是用列表的方法表示數(shù)列.這里，數(shù)列的項在變化，其實還有一個量在伴隨著它而變化，你能找出來嗎？學生7：項隨著序號的變化而變化.教師：你能改進上述表格，以便更清晰地刻畫兩個變量的對應關系嗎？學生7：可以，改為展示學生8的結果（圖2）：教師：（含而不露）這是用圖形的方法表示數(shù)列.用數(shù)軸表示數(shù)，很好的主意！請同學們按照此法，把數(shù)列8，6，4，2，…在數(shù)軸上表示出來.（學生動手后，馬上發(fā)現(xiàn)與數(shù)列2，4，6，8，…圖示的結果完全相同.學生8有些不好意思，教師及時予以肯定和鼓勵）教師：兩個不同的數(shù)列，表示結果完全一樣，顯然不行.問題出在哪里？請同學們先獨立思考，然后相互交流一下看法，并找出解決問題的辦法.（教師有意識地繼續(xù)請學生8發(fā)表意見）學生8：我明白了.用數(shù)軸表示數(shù)列，并不能反映出每一項所處的位置（對應的序號），因此，必須將項與它的序號“捆綁才行”.教師：“捆綁”，說得好！可是，如何在圖形上實現(xiàn)“捆綁”呢？動手試一試.學生8：在平面直角坐標系中，把序號作為橫坐標，對應的項作為縱坐標，描點，即可表示數(shù)列2，4，6，8，…，如圖3.教師：這充分體現(xiàn)了數(shù)列的“有序性”.這樣表示能將上述兩個數(shù)列區(qū)分開嗎？試一試.學生9：可以，如圖4.教師：還有沒有其他表示方法了？教師：很好.以上同學們分別利用表格、圖象、公式表示了同一數(shù)列.這三種表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它們之間有什么關系？學生12：三種表示方法都反映了項與序號的對應關系.教師：這種對應關系有什么特征？你以前見過類似的情況嗎？學生13：這種對應關系的特點是：每一個序號，都對應著唯一的項.以前學的函數(shù)也具有這樣的特點.教師：類比一下，數(shù)列中，什么相當于函數(shù)的自變量？什么相當于函數(shù)的因變量？什么相當于函數(shù)的對應法則？學生14：序號n相當于自變量，項相當于因變量，=f（n）相當于對應法則.教師：數(shù)列的“定義域”是什么？“解析式”是什么？學生15：數(shù)列的“定義域”是正整數(shù)集或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝.“解析式”就是數(shù)列的通項公式.教師：如何由函數(shù)y=f（x）得到相應的數(shù)列？學生16：只要x可以取從1開始的正整數(shù)，就可以得到數(shù)列f（1）f（2），…f（n），….教學思考：無論是從認識論的觀點，還是從認知心理學的觀點，概念的掌握都應該在概念體系中完成.布魯納說：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它連在一起，那是一種多半會被遺忘的知識，一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”因此，數(shù)列概念也應該納入概念體系中，揭示其函數(shù)本質，這樣才能形成良好的認知結構.數(shù)列與函數(shù)的關系是本節(jié)課的難點，經常是教師引導學生分析項與序號的對應特征，得出數(shù)列是特殊的函數(shù)（值）.這樣的教學，實質上仍然是“告訴教學”.章建躍博士說過，教學設計的關鍵之一是：設計自然的過程，這是一種數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的原過程（再創(chuàng)造過程）與學生數(shù)學認識過程的融合.據(jù)此，筆者認為，數(shù)列與函數(shù)關系的得出過程應該是自然的，水到渠成的.那么，如何才能做到自然、水到渠成呢？由“多元表征理論”可知，概念教學中可以通過符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等多種不同的表征形式，在教師必要的引導下，幫助學生在表征的不同成分之間建立充分的聯(lián)系，并能根據(jù)需要與情境做出靈活的轉換.具體到本節(jié)課，函數(shù)與數(shù)列都有表格、圖象、式子等不同的表示方法，這些共性可以將二者從外部形式上聯(lián)系起來，而自變量與因變量、序號與項對應關系中的存在唯一性（映射）特征才是問題的實質.因此，教師要讓學生感受數(shù)列的多元表征，引發(fā)聯(lián)想，找到函數(shù)這個“姻親”，進而揭示本質.為此，筆者在此不惜花費較多的時間，讓學生從用不同的方法表示具體數(shù)列入手，自主探究，在此過程中，學生出現(xiàn)了這樣那樣的錯誤或欠缺，教師并不是立即點評，而是及時變換素材，讓學生再次動手嘗試，主動發(fā)現(xiàn)問題所在，進而引導學生改進方法，解決問題，提升認識.最后讓學生歸納各種表示法的共同特征，建立數(shù)列與函數(shù)的“親密關系”，從而將數(shù)列概念成功納入到函數(shù)的概念體系中去，實現(xiàn)了認識的深化.三、嘗試應用，鞏固概念（Ⅰ）寫出該數(shù)列的首項，第4項；（Ⅱ）63是該數(shù)列第幾項？（Ⅲ）126是否為該數(shù)列的項？為什么？（Ⅳ）嘗試分析這個數(shù)列的性質.（學生自主解答，教師展示結果并分析點評，突出數(shù)列的函數(shù)背景的應用.此處略）教學思考：“多元表征理論”指出，“變化”是認識的一種手段，其根本目的在于通過“變化”與“對照”幫助學生更好地認識其中的不變因素，也即概念或問題的本質.同時應當注意培養(yǎng)學生思維的整合性和靈活性.據(jù)此，筆者在例題與練習這一環(huán)節(jié)，圍繞數(shù)列的概念、數(shù)列與函數(shù)的關系，精心設計問題，充分調動學生的思維，利用逆向性問題、探索性問題、開放性問題等培養(yǎng)學生思維的廣闊性、深刻性與靈活性.需要強調的是，運用“多元表征理論”進行概念教學時，仍然要以“理解數(shù)學，