大一下課件物理第八章靜電學(xué)

第八章

靜電學(xué)本章重點(diǎn)一.電場.電場強(qiáng)度二.高斯定理三.電場力做功電勢第一節(jié)電場電場強(qiáng)度8.1.1.庫倫定律實(shí)驗(yàn)表明：在真空中相對于觀察者靜止的兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小與它們所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩點(diǎn)電荷的連線，同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸。庫侖力的大小可表示為式中稱為真空電容率（介電常數(shù)）庫侖定律的適用條件1.真空中2.靜止的點(diǎn)電荷8.1.2.電場和電場強(qiáng)度1.電場(electricfield)

電場是存在于帶電體周圍空間的特殊物質(zhì)，任何電荷都會(huì)在周圍空間產(chǎn)生電場。

產(chǎn)生電場的電荷稱為場源電荷。

與觀察者相對靜止電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場。

處于電場中的任何電荷都會(huì)受到電場力的作用靜電場的重要特性：電荷電荷電場電荷之間的相互作用是通過電場實(shí)現(xiàn)的靜電場的性質(zhì)1.特殊性:不同于生活中常見的物質(zhì),看不見,摸不著,無法稱重,可以疊加。2.物質(zhì)性：是客觀存在的，具有物質(zhì)的基本屬性，動(dòng)量和能量。3.基本性：引入電場中的任何帶電體都將受到電場力的作用。當(dāng)帶電體在電場中移動(dòng)時(shí)，電場力將對帶電體作功，這表示電場具有能量。

2.電場強(qiáng)度(electricfieldintensity)

電場中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)所受的電場力。電場強(qiáng)度是個(gè)矢量，它的方向?yàn)檎姾稍谠擖c(diǎn)所受電場力的方向。試探電荷q0在電場中所受的力與q0的比：，與試探電荷無關(guān)，僅由電場本身的性質(zhì)決定。電場強(qiáng)度定義：單位：N/Cv/m

一般的，電場空間各點(diǎn)的大小和方向都不相同；若電場空間各點(diǎn)的大小和方向都相同，則電場稱為均勻電場或勻強(qiáng)電場。8.1.3.電場強(qiáng)度的計(jì)算

1.單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場Q

設(shè)真空中有一點(diǎn)電荷，電量為Q，求距離其為r處P點(diǎn)的場強(qiáng)。·Pr+Q-Q

，表示沿方向的單位矢量則點(diǎn)電荷場強(qiáng)的矢量表達(dá)式為點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式是基本公式。用表示P點(diǎn)的矢徑或位置矢量，的方向由Q指向P點(diǎn)

,引入單位矢量2.多個(gè)點(diǎn)電荷（點(diǎn)電荷組）產(chǎn)生的電場

—場強(qiáng)疊加原理

若空間有n個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、q3…qn組成的點(diǎn)電荷組，求該點(diǎn)電荷組電場中任意一點(diǎn)的場強(qiáng)。

在P點(diǎn)引入試探電荷q0，則q0所受電場力應(yīng)為各個(gè)點(diǎn)電荷分別作用于q0的電場力的矢量和：兩邊同時(shí)除以q0，則得P點(diǎn)的場強(qiáng)為

點(diǎn)電荷系電場中任一點(diǎn)的場強(qiáng)，等于組成該帶電體系所有點(diǎn)電荷在該點(diǎn)場強(qiáng)的矢量和，這就是場強(qiáng)的疊加原理。上式又可以寫成

式中是P點(diǎn)對第個(gè)點(diǎn)電荷位置矢量的單位矢量。3.任意帶電體產(chǎn)生的電場

求帶電量為Q的任意帶電體在空間某點(diǎn)的場強(qiáng).

任意帶電體的電荷是連續(xù)分布的，計(jì)算其場強(qiáng)的方法：Q

1）將帶電體分成無窮多個(gè)電荷元,任意電荷元的電量為dq，任意電荷元dq在P的場強(qiáng)為—

微分過程2）應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理積分求總場強(qiáng)—

積分過程

上式是矢量積分，要考慮方向。一般是將分解成分量：，然后分別求出則總場強(qiáng)為1.

體電荷密度

帶電體的電荷為體分布，單位體積中含有的電荷，稱為體電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個(gè)體元，任意元dv的電量為電荷元dq，則補(bǔ)充材料：電荷密度2.

面電荷密度

帶電體的電荷沿表面分布，單位面積上帶有的電荷，稱為面電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個(gè)面元，任意面元ds的電量為電荷元dq，則3.

線電荷密度

帶電體的電荷沿線度分布，單位長度上帶有的電荷稱為線電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個(gè)線元，任意線元dl的電量為電荷元dq，則

利用點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式及電場強(qiáng)度疊加原理求電場強(qiáng)度的步驟：（1）任選一電荷元dq;（2）確定電荷元dq在所求點(diǎn)的場強(qiáng)的方向;

（3）把矢量分解為分量，則矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分;（4）積分求出的大小和方向。電場強(qiáng)度的總結(jié)1.方向性.

正電荷受力的方向。2.唯一性.

某點(diǎn)的電場強(qiáng)度是唯一的，與檢驗(yàn)點(diǎn)荷無關(guān)。3.迭加性.在同一空間里，如果有幾個(gè)靜止電荷，在空間同時(shí)產(chǎn)生電場，那么空間某點(diǎn)的場強(qiáng)是各場源電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。

例1.

一半徑為a的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶電荷量為q。試計(jì)算在圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x0處P點(diǎn)的場強(qiáng)。xx0aOqrP?解：取軸線為x軸在環(huán)上取一線元dl，則線元dl所帶電荷的電量為xx0aOqrP?

將dE分解成沿軸線的x向分量dEx和垂直軸線的y向分量dEy，dEy互相抵消，因此dEy＝0。所以P點(diǎn)的場強(qiáng)應(yīng)為各電荷元x方向場強(qiáng)分量dEx的疊加dExdEy電荷元dq在P點(diǎn)的場強(qiáng)為dE，方向如圖式中xx0aOqrdEdExdEyP?

沿x軸正方向xx0aOqrdEdExdEyP?

例2(P192.8-13題).

一半徑為R的均勻帶電圓盤，面電荷密度為。試求圓盤軸線上距盤心為x處P點(diǎn)的場強(qiáng)。解：利用上題結(jié)果

將圓盤分成無窮多同心細(xì)圓環(huán)，任選一半徑為r、厚dr的細(xì)圓環(huán)，其電量為dq，則利用圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x處P點(diǎn)的場強(qiáng)結(jié)果：,則沿x軸正向

例題3.一長L、帶電量為q的均勻細(xì)直棒。棒外一點(diǎn)P到棒的距離為a，P點(diǎn)至棒兩端的連線與棒間的夾角分別為。求P點(diǎn)的場強(qiáng)。

解：取坐標(biāo)系如圖，P點(diǎn)到棒垂線的垂足為原點(diǎn)。

棒上電荷均勻分布，則線電荷密度為

將棒分成無窮多個(gè)線元，在棒上距o點(diǎn)為x處任選一線元dx，dx到P點(diǎn)的距離為l。線元dx所帶的電量為電荷元dq，即電荷元dq在P點(diǎn)場強(qiáng)的大小為:與x軸正向的夾角為。將分解為x向分量和y向分量，則得變量代換：將變量均用變量表示由圖可知對上式兩邊同時(shí)微分，得則有同理，可得所以，所求結(jié)果為[注：總場強(qiáng)為]若細(xì)棒為無限長，則，可得

即，場強(qiáng)的方向與棒身垂直，且與細(xì)棒等距的點(diǎn)場強(qiáng)的大小相等。解：建立坐標(biāo)系如圖

將板分成無窮多與x軸垂直的無限長均勻帶電的細(xì)長條。距o點(diǎn)為x處任選一寬度為dx的細(xì)長條，應(yīng)用無限長均勻帶電細(xì)直棒的場強(qiáng)結(jié)果：

例題4.一無限長的均勻帶電平面，寬度為a，面電荷密度為。求與板同一平面且距板一側(cè)為b處P點(diǎn)的場強(qiáng)?？傻么思?xì)長條在P點(diǎn)的場強(qiáng)為方向沿x軸正向。式中為此細(xì)長條的線電荷密度。因此

則與板同一平面距板一側(cè)為b處P點(diǎn)的場強(qiáng)為上式的積分，即方向沿x軸正向。

例題5.一半徑為R的無限長均勻帶電1/3圓柱面面電荷密度為求其軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。取截面并建立坐標(biāo)系:如圖

無限長均勻帶電1/3圓柱面可看作由無窮多平行的均勻帶電無限長細(xì)長條元組成。

在截面圖的弧上與x軸夾角為處任選一弧元dl，dl對圓心O張的角度為，則解：dl對應(yīng)寬度為dl的無限長細(xì)長條元利用無限長均勻帶電細(xì)直棒的場強(qiáng)結(jié)果：可得此細(xì)長條元在o點(diǎn)（即軸線上）的場強(qiáng)為，方向如圖

由于對稱性，場強(qiáng)dE的y分量抵消，只有x分量，即方向沿x軸正向.第二節(jié)高斯定理及其應(yīng)用8.2.1.電場線電通量1.電場線（electricfieldline)

為了形象的描述電場的分布，在電場中引入一系列曲線，這些曲線上每一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向一致，這樣的曲線稱為電場線。電場線可以描述場強(qiáng)的方向（1）起于正電荷（或來自無限遠(yuǎn)處）,止于負(fù)電荷（或伸向無限遠(yuǎn)處）；（2）不是閉合曲線，且不會(huì)在沒有電荷的地方中斷；（3）任何兩條電場線不會(huì)相交。電場線的性質(zhì)：

電場線不僅能表示電場強(qiáng)度的方向，而且根據(jù)電場線在空間的密度分布還能表示電場強(qiáng)度的大小。

2.電場線密度

定義：電場中任意一點(diǎn)場強(qiáng)的大小，在數(shù)值上等于穿過該點(diǎn)垂直于場強(qiáng)方向單位面積的電場線的條數(shù)。這個(gè)比值叫做該點(diǎn)的電場線密度

3.電通量（electricflux）

通過電場中某一給定面積S的電場線的數(shù)目稱為通過該面的電通量。用表示。(1)

平面與電場線垂直（勻強(qiáng)電場）S(2)

平面與電場線不垂直（勻強(qiáng)電場）

用表示S面的法線,與場強(qiáng)的夾角為。

顯然，通過S面的電場線的條數(shù)與通過S面在垂直場強(qiáng)方向的投影面S’的條數(shù)相等。qqSS’

或(3)

任意曲面和任意電場dsqES(4)

通過閉合曲面的電通量

對于閉合曲面規(guī)定：由閉合曲面內(nèi)指向曲面外的方向?yàn)槊娣e元的法線正方向。因此，電場線由閉合曲面穿出，電通量為正；電場線由曲面外穿入閉合曲面內(nèi)，則電通量為負(fù)。電通量是標(biāo)量,但可以取正值與負(fù)值，的正負(fù)，取決于曲面法線的選取，規(guī)定法線的正方向是垂直于曲面指向曲面的外側(cè)。

1.如果，電場線由里向外穿出電通量為正。2.如果，電場線由外向里穿過，電通量為負(fù)。8.2.2.高斯定理(Gausstheorem)

通過任意一個(gè)閉合曲面的電通量等于該閉合面內(nèi)包圍的所有電荷量的代數(shù)和除以真空電容率，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中表示閉合曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和;

閉合曲面S常稱為高斯面.

證明：（1）點(diǎn)電荷q被半徑為r的球面包圍，且q處于球心。E、nSq（2）任意閉合曲面包圍點(diǎn)電荷q即仍有上述形式，即

上面的結(jié)果表明，點(diǎn)電荷對包圍它的同心球面的電通量只與點(diǎn)電荷的電量有關(guān)，而與球面的半徑無關(guān)。點(diǎn)電荷發(fā)出電場線的總條數(shù)為，這些電場線會(huì)完全由任意半徑的同心球面穿出。SE、nq（3）任意閉合曲面包圍多個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2,…,qn

根據(jù)場強(qiáng)疊加原理：則通過S面的電通量為:

上式表示，通過閉合曲面S的電通量，等于各個(gè)點(diǎn)電荷對曲面S的電通量的代數(shù)和（電通量的疊加原理）。結(jié)果也有高斯定理的形式。（4）任意閉合曲面不包圍電荷，點(diǎn)電荷q在S面外.結(jié)果也有高斯定理的形式。q?即（5）多個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2,…,qn，其中k個(gè)在閉合曲面S內(nèi),n-k個(gè)在閉合曲面S外.

在閉合曲面S外的n-k個(gè)點(diǎn)電荷對曲面S的電通量無貢獻(xiàn)，通過閉合曲面S的電通量只決定于曲面S內(nèi)的k個(gè)點(diǎn)電荷，則有也有高斯定理的形式。（6）任意閉合曲面內(nèi)包圍一任意帶電體

將帶電體分成無窮多個(gè)體元，則任一體元所帶電量為

則由（3）可知（電通量的疊加原理），通過S面的電通量為

式中體積分是對高斯面所包圍的帶電體體積的積分；為帶電體的電量。上式也是高斯定理的形式。綜上所述，證明了高斯定理：注意：1）是包圍在高斯面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和;

應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)簡單且方便，應(yīng)用條件：帶電體系的電荷分布具有對稱性，或場強(qiáng)分布具有對稱性2）是空間的所有電荷（包括高斯面外）在高斯面上產(chǎn)生的合場強(qiáng)（矢量和）。即高斯面外的電荷只對高斯面上的場強(qiáng)有貢獻(xiàn)，對高斯面的電通量無貢獻(xiàn)。所以，若高斯面內(nèi)無電荷，高斯面上的場強(qiáng)不一定處處為零。8.2.3.高斯定理的應(yīng)用例2(P171).

求均勻帶電球面的場強(qiáng)分布。設(shè)帶電球面的半徑為R，帶電量為q。分析：從場源電荷的分布可知場強(qiáng)的分布呈球形對稱，場強(qiáng)方向沿徑向向外，且與球心等距的點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，可用高斯定理求解。解：設(shè)場點(diǎn)P到球心的距離為r1）場點(diǎn)在球面外（r>R）

以球心為圓心，r為半徑過場點(diǎn)作一球形高斯面Ss·P高斯定理左邊（通過高斯面S的電通量）：且球面上各點(diǎn)E相等高斯定理右邊:s·P左右兩邊相等，故有

均勻帶電球面外的場強(qiáng)與位于球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)形式相同?；蚍较蜓貜较蛳蛲狻·P高斯定理左邊2）場點(diǎn)在球面內(nèi)（r<R

）如圖，以球心為圓心，r為半徑過場點(diǎn)作一球形高斯面S高斯定理右邊·P則有E-r曲線:＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

例題.一半徑為R的均勻帶電球體，體電荷密度為，求空間各點(diǎn)的場強(qiáng)（場強(qiáng)分布）。解：

求空間各點(diǎn)的場強(qiáng)，即求帶電球體內(nèi)外任一點(diǎn)的場強(qiáng)。

1)球體外：設(shè)A為球體外任意一點(diǎn)，距球心o為r。以o為心，r為半徑過A點(diǎn)作一球形高斯面分析對稱性：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因此場強(qiáng)分布具有球?qū)ΨQ性，即與球心等距的點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，方向均沿徑向向外,可用高斯定理求解。根據(jù)高斯定理，有

式中，Q為高斯面包圍的電荷，即球體的電量，為

且在高斯面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，與積分無關(guān)，則得得若球體帶電量為Q，則有

顯然，球外各點(diǎn)的場強(qiáng)，與將所有電荷放在球心上的點(diǎn)電荷的結(jié)果相同.方向沿徑向向外。

2)球體內(nèi)：設(shè)B為球體內(nèi)任意一點(diǎn)，距球心o為r。以o為心，r為半徑過B點(diǎn)作一球形高斯面根據(jù)高斯定理，有式中，Q內(nèi)為高斯面包圍的電荷，為得方向沿徑向向外。若球體帶電量為Q，則則有

均勻帶電球體的場強(qiáng)與到球心距離的關(guān)系曲線

例題.一無限長均勻帶電細(xì)棒，線電荷密度為。求距棒為處的場強(qiáng)。

解：其場強(qiáng)分布具有對稱性，即各處場強(qiáng)均垂直細(xì)棒向外，且與棒等距的點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，因此可用高斯定理求場強(qiáng)。

以細(xì)棒為軸，作一長l，半徑為a的圓柱面，則側(cè)面各點(diǎn)距軸線為a,因此側(cè)面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，方向均沿徑向向外。則根據(jù)高斯定理，對此高斯面的電通量為l對兩底面：對側(cè)面：//，且E大小相等，與積分無關(guān)，則方向垂直細(xì)棒向外。

例3(P171).

求無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)。設(shè)帶電平面單位面積上所帶電荷量為。分析：由于電荷在無限大平面上均勻分布，則其兩側(cè)的電場對稱分布，即場強(qiáng)方向與帶電平面垂直、與帶電平面等距的點(diǎn)場強(qiáng)大小相等。nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋解：取高斯面如圖

做一底面積為S的圓柱形閉合曲面，使其側(cè)面與帶電平面垂直，兩底面在平面兩側(cè)與平面平行且等距。

高斯定理左邊（通過高斯面S的電通量）：nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

高斯定理右邊：左右兩邊相等，則

上式表明無限大均勻帶電平面周圍空間的電場是方向與該平面相垂直的勻強(qiáng)電場。nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋另：求兩個(gè)均勻帶等量異號(hào)電荷的無限大平行平面之間的電場解：利用場強(qiáng)疊加原理及上述結(jié)果便可得到帶電平面之間的場強(qiáng)為：

兩個(gè)平行帶電平面外部的場強(qiáng)為：＋＋＋－－－習(xí)題8-8.設(shè)正電荷均勻分布在一半徑為R的很長的圓柱體內(nèi)，體電荷密度為。1）試導(dǎo)出圓柱體內(nèi)離軸線為r（r<R）處的電場強(qiáng)度的表達(dá)式（用體電荷密度表示）；2）圓柱體外(r>R)一點(diǎn)電場強(qiáng)度的表達(dá)式（用單位長度的帶電量表示。3)r=R時(shí)比較1）和2）的結(jié)果。

解:圓柱體均勻帶電，因此電荷分布具有對稱性，其場強(qiáng)分布也具有對稱性，與軸等距的點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，而方向均垂直軸線沿徑向向外，所以可用高斯定理求解場強(qiáng)。高斯面應(yīng)取作與圓柱體同軸的圓柱面。設(shè)P為電場中任意一點(diǎn)，距軸線為r。1)圓柱體內(nèi)（r<R

）以r為半徑過P點(diǎn)做一個(gè)高h(yuǎn)，且與圓柱體同軸的圓柱面為高斯面。根據(jù)高斯定理，有

上底面和下底面的場強(qiáng)方向與外法線的方向垂直

，cos=0。則兩底面的電通量為零；側(cè)面的場強(qiáng)方向與外法線的方向均沿徑向，兩者方向相同；方向沿徑向向外2)

在圓柱體外

（r>R）

以r為半徑過P點(diǎn)做一個(gè)高h(yuǎn)，且與圓柱體同軸的圓柱面為高斯面。則得同理，有即方向沿徑向向外取長為L的一段帶電圓柱體，則有3）當(dāng)r=R時(shí)，1）與2）的結(jié)果相等，即圓柱體表面上的場強(qiáng)，為

習(xí)題8-22.一厚度為d的無限大均勻帶電平板，體電荷密度為，試求此帶電平板內(nèi)外的場強(qiáng)分布。解：坐標(biāo)系如圖1）場點(diǎn)在板外（︱x︱>d/2

）

作一柱形高斯面，其側(cè)面與板面垂直；兩底面s和板面平行,且到板中心平面的距離相等，用x表示。根據(jù)高斯定理，有

此柱形高斯面?zhèn)让娴碾娡繛榱?，底面處場?qiáng)大小相等，且與底面外法線方向一致，因此，兩底面的電通量相等。則有方向垂直板面向外，與距離無關(guān)。2）場點(diǎn)在板內(nèi)（︱x︱

<d/2）

同樣選一柱形高斯面，其側(cè)面與板面垂直；兩底面s和板面平行,且到板中心平面的距離相相等，用x表示。根據(jù)高斯定理，有

此柱形高斯面?zhèn)让娴碾娡繛榱?，底面處場?qiáng)大小相等，且與底面外法線方向一致，所以兩底面的電通量相等，。則有r方向垂直板面向外，與距離有關(guān)。r習(xí)題8-23.在一體電荷密度為的均勻帶電球體中，有一空心球腔，球體球心O與空腔球心O’的距離為a。試求空腔內(nèi)任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。

解：設(shè)P為空腔內(nèi)任意一點(diǎn)，則P點(diǎn)的場強(qiáng)為實(shí)心帶電大球體（）與實(shí)心帶電小球體（）在該點(diǎn)場強(qiáng)的矢量和。er

分析：空腔內(nèi)任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度可視為實(shí)心大球體（體電荷密度為）在該點(diǎn)的電場強(qiáng)度與填滿電荷（體電荷密度為-）的小球在該點(diǎn)的電場強(qiáng)度的矢量和。這種方法稱為補(bǔ)償法。erP點(diǎn)對O點(diǎn)的位置矢量為，對O’點(diǎn)的位置矢量為,則由高斯定理可知

實(shí)心帶電大球體在P點(diǎn)的場強(qiáng)為：寫成矢量式為

同理，實(shí)心帶電小球體在P點(diǎn)的場強(qiáng)為：則任意一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為er可以應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)的帶電體：無限大的帶電體：平面、平行平面；無限長的帶電體：細(xì)直棒、圓柱面、同軸圓柱面、圓柱體；球形帶電體：球面、同心球面。應(yīng)用條件：帶電體系的電荷分布具有對稱性，或場強(qiáng)分布具有對稱性。

場強(qiáng)反映的是靜電場的力的性質(zhì)；電勢反映的是靜電場的能量性質(zhì)；場強(qiáng)是矢量，電勢是標(biāo)量；兩者本質(zhì)不同，但又有著聯(lián)系。先討論電勢，然后再討論電勢與場強(qiáng)的關(guān)系。第三節(jié)電場力做功電勢一電場力作功1.勻強(qiáng)電場中電場力（恒力）作功Lθab

把一檢驗(yàn)電荷q0引入到點(diǎn)電荷q的電場中,在電場力作用下,將q0由a點(diǎn)沿任意路徑L移到b點(diǎn).求這一過程電場力所作的功。

設(shè)a、b兩點(diǎn)的位置矢量分別為

將路徑L分成無窮多個(gè)位移元，在任意點(diǎn)C取一位移元，設(shè)C點(diǎn)的位置矢量為，則C點(diǎn)的場強(qiáng)為2.點(diǎn)電荷的電場中移動(dòng)電荷時(shí)電場力所作的功+電場力將移動(dòng)dl時(shí)所作的元功為+則電場力所作的總功為

上式表明，在點(diǎn)電荷的電場中,電場力移動(dòng)試探電荷所作的功，與電荷運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān),只與電荷的始末的位置有關(guān)，即點(diǎn)電荷的電場是保守場。3.任意電場中移動(dòng)電荷時(shí)電場力所作的功

任何帶電體都可以看作由無窮多電荷元組成的，帶電體在空間的場強(qiáng)為各電荷元場強(qiáng)的矢量和：

則在帶電體電場中，將沿任意路徑由a點(diǎn)移到b點(diǎn)時(shí)，電場力所作的總功為可得結(jié)論：在任何靜電場中，移動(dòng)電荷時(shí)電場力所作的功只與其始末位置有關(guān)，而與電荷運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。

結(jié)論表明，靜電場是保守場，靜電力是保守力。

式中右面各項(xiàng)是個(gè)電荷元單獨(dú)存在時(shí)電場力所作的功，均與路徑無關(guān)。

在靜電場中，場強(qiáng)沿任一閉合路徑的積分為零，此式叫做靜電場的環(huán)路定理證明：靜電場的環(huán)路定理：二電勢能電勢

保守力場都可以引入相關(guān)的勢能，如重力場是保守力場，在重力場中有重力勢能。電荷在靜電場中也具有勢能，稱為電勢能，用Ｗ表示。保守力作功等于勢能的增量,因此電場力對電荷所作的功等于電勢能的增量.

電勢能的單位：J(焦耳)1.電勢能

通常規(guī)定無限遠(yuǎn)處的電勢能為零，即，試探電荷q0在電場a點(diǎn)的電勢能在數(shù)值上等于將q0

從a點(diǎn)移至無窮遠(yuǎn)處(沿任意路徑)時(shí)電場力所作的功。

電勢能Ｗa為正，表明電場力作正功,反之則作負(fù)功。電勢能是由q0、E共同決定的，顯然與q0有關(guān)。2.電勢

將比值Ｗa/q0定義為a點(diǎn)的電勢，用Ua表示：

此式表明：靜電場中某一點(diǎn)的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)的電勢能。

電勢是標(biāo)量，也是相對量。對于有限大小的帶電體，一般選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。

上式表示：電場中某點(diǎn)的電勢，等于將單位正電荷從該點(diǎn)沿任意路徑移到無窮遠(yuǎn)處時(shí)電場力所作的功，或等于單位正電荷在該點(diǎn)的電勢能。單位：V—電勢的定義式

電場中兩點(diǎn)間電勢之差稱為電勢差或電壓,即

上式表明a、b兩點(diǎn)間的電勢差在數(shù)值上等于將單位正電荷由a移到b時(shí)電場力所作的功。3.電勢的計(jì)算1）點(diǎn)電荷電場中任意一點(diǎn)的電勢qra任意一點(diǎn)a的電勢為

選擇點(diǎn)電荷q與a點(diǎn)的連線方向?yàn)榉e分路徑，則—

基本公式2)多個(gè)點(diǎn)電荷（點(diǎn)電荷組）電場中任意一點(diǎn)的電勢—電勢疊加原理

空間有n個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、q3…qn組成的點(diǎn)電荷組，求該點(diǎn)電荷組電場中任意一點(diǎn)a的電勢。

點(diǎn)電荷組電場中P點(diǎn)的場強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和,即則a點(diǎn)的電勢為

上式表明，點(diǎn)電荷組電場中某點(diǎn)的電勢，等于各個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)電勢的代數(shù)和。

—

電勢疊加原理上式又可以寫成3）帶電體電場中任意一點(diǎn)的電勢Q

帶電體的電荷是連續(xù)分布的，計(jì)算其電勢的方法：

（1）將帶電體分成無窮多個(gè)電荷元,任意電荷元的電量為dq，任意電荷元dq在a點(diǎn)的電勢為—

微分過程(2）應(yīng)用電勢疊加原理，積分求帶電體在a點(diǎn)的電勢—積分過程

同樣，根據(jù)帶電體電荷的分布，分別引入體電荷密度，面電荷度密，線電荷密度，則計(jì)算電勢的途徑：

1）電荷分布已知，場強(qiáng)分布未知，可用上式計(jì)算電勢，即

稱為場強(qiáng)積分法計(jì)算電勢。

2）場強(qiáng)分布已知，或電荷分布具有對稱性,因而場強(qiáng)用高斯定理易求，則可由電勢的定義求電勢，即稱為電勢疊加法計(jì)算電勢；

例題4（175頁）.

半徑為R的球面均勻帶電，帶電量為q，求電勢在空間的分布。

解：均勻帶電球面的場強(qiáng)分布具有對稱性，可用高斯定理求出出其場強(qiáng)分布為球面內(nèi)：球面外：1）球內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢（r<R）RE-r曲線2）球外任意一點(diǎn)的電勢（r>R）此例是用場強(qiáng)積分法計(jì)算電勢，即

V-r曲線

例題

5.

求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P的電勢。設(shè)圓環(huán)帶電量為q,半徑為R，P點(diǎn)至圓環(huán)中心O點(diǎn)的距離為x。解：電荷分布已知

在環(huán)上取一線元dl,則線元dl所帶的電量為dq,dq在P點(diǎn)的電勢為xxaOqrP?此例是用電勢疊加法計(jì)算電勢，即。

注：由于均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強(qiáng)分布已知，因此也可用場強(qiáng)積分法求軸線上任一點(diǎn)P的電勢：

解：將圓盤分成無限多個(gè)同心圓環(huán)元，任選一半徑為r、寬dr的圓環(huán)元，其帶電量為

由上題結(jié)果可知此圓環(huán)元在P點(diǎn)的電勢為

例題.一半徑為R的均勻帶電圓盤，面電荷密度為，求軸線上任一點(diǎn)P的電勢。設(shè)P點(diǎn)至圓環(huán)中心O點(diǎn)的距離為x。則圓盤軸線上任一點(diǎn)P的電勢為

例題.一半徑為R的無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為

，求電勢的分布。

解：用高斯定理已求出其場強(qiáng)分布為柱內(nèi)：柱外：

帶電體為無窮長，因此不能選無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)。勢能零點(diǎn)可選在軸線上。設(shè)場點(diǎn)到軸線的距離為r。1）柱內(nèi)（r<R）2）柱外（r>R）

例題.一半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，帶電量為q，求環(huán)心處的電勢。解：注：此題不能利用環(huán)心處的場強(qiáng)，通過場強(qiáng)積分法計(jì)算電勢。三等勢面電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系

靜電場中由電勢相等的點(diǎn)所連成的曲面稱為等勢面。

等勢面的特點(diǎn):1.等勢面1)在等勢面上移動(dòng)電荷，電場力不作功2）場強(qiáng)處處與等勢面垂直因此，場強(qiáng)處處與等勢面垂直2.

場強(qiáng)與電勢的關(guān)系

兩者本質(zhì)不同，但又有聯(lián)系。兩者的關(guān)系用電勢梯度給出。1)電勢梯度:

將檢驗(yàn)電荷q0由等勢面S1沿一微小路徑dl移到等勢面S2上。電勢沿法線方向的變化率為電勢沿dl方向的變化率為UU＋dUdlθS1S2q0（8-31）：稱為電勢梯度，表示電勢沿法線方向的變化率；：稱為電勢沿dl方向的變化率，即電勢梯度在dl方向的分量，或稱為dl方向的電勢梯度。2)電勢梯度與場強(qiáng)的關(guān)系

將檢驗(yàn)電荷q0由等勢面S1沿一微小路徑dl移到等勢面S2上，電場力作功為電場力移動(dòng)q0作功等于q0電勢能的減少，即因此

上式表明，場強(qiáng)在dl向的分量El,等于該方向上電勢梯度的負(fù)值。UU＋dUdlθS1S2q0由上式可得出場強(qiáng)與電勢的關(guān)系：

意義：電場中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢梯度的負(fù)值，負(fù)號(hào)表示電場強(qiáng)度的方向與電勢增加的方向相反。

上面的討論給出求解場強(qiáng)的又一途徑，即由已知的電勢分布求場強(qiáng)。（8-32）例3.

一均勻帶電圓盤，半徑為R，面電荷密度為＋σ，圓盤軸線上點(diǎn)P距盤中心O的距離為x，求P點(diǎn)的電勢和場強(qiáng)。xxPRor

σdr

解：如圖，選軸線為x軸，將圓盤分成無數(shù)個(gè)同心圓環(huán)，任選一半徑為r，寬為dr的帶電圓環(huán)元，其帶電量為

利用均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的電勢結(jié)果，則此圓環(huán)元在P點(diǎn)的電勢為

整個(gè)圓盤在P點(diǎn)的電勢為上式的積分：

因?yàn)镻點(diǎn)是軸線上的任意點(diǎn)，所以這一結(jié)果是沿軸線上的電勢分布，U是x的函數(shù)，可應(yīng)用電勢梯度求x向的場強(qiáng)

若R>>x，則，與無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)相同。第四節(jié)電偶極子電偶層心電一電偶極子兩個(gè)相距較近的等量異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的帶電系統(tǒng)叫做電偶極子。稱為電偶極子的電偶極矩-q+q+q-qθpr1rr2r2-r1oθ電偶極子電場的電勢分布

Up與p成正比，與r2成反比，還與方位角有關(guān)。+q-qθpr1rr2r2-r1oθ

除極過程時(shí)膜外一點(diǎn)P的電勢大于零。除極過程結(jié)束后，細(xì)胞膜完全反向帶電—達(dá)到反向極化，膜外一點(diǎn)P的電勢又變?yōu)榱?。P正在除極的心肌細(xì)胞心肌細(xì)胞的除極：

心肌細(xì)胞是可激細(xì)胞，其興奮時(shí)，細(xì)胞膜對各種離子的通透能力發(fā)生變化。結(jié)果在興奮處，細(xì)胞膜內(nèi)外兩側(cè)原有的正負(fù)電荷消失，發(fā)展成為反向帶電，這一過程稱為除極。二電偶層

分布于細(xì)胞膜兩側(cè)的正、負(fù)電荷所形成的電偶極子層，簡稱為跨膜電偶層。面元ds

在P點(diǎn)的電勢+σθr++++++++++++++++++-------------σdsP是面元ds對P點(diǎn)所張立體角dΩ

則面積為S的電偶層在P點(diǎn)的電勢為

在電偶層外任一點(diǎn)P處的電勢只決定于電偶層對該點(diǎn)所張的立體角，與電偶層的形狀無關(guān)。心肌細(xì)胞的除極與復(fù)極

心肌細(xì)胞在靜息狀態(tài)時(shí)—（又稱極化狀態(tài)），細(xì)胞膜內(nèi)帶負(fù)電荷，細(xì)胞膜外帶正電荷，形成閉合跨膜電偶層。心肌細(xì)胞在靜息狀態(tài)下，膜外任一點(diǎn)P的電勢為零。Ωb+++++++++++++++++++

如圖，電偶層和對P點(diǎn)的立體角相同，但兩電偶層的電偶極矩符號(hào)相反，由可知，P點(diǎn)的電勢為零。

心肌細(xì)胞經(jīng)過除極達(dá)到反向極化后，又開始復(fù)極過程,即細(xì)胞膜內(nèi)外由反向帶電狀態(tài)恢復(fù)到原來的帶電狀態(tài)。心肌細(xì)胞的復(fù)極：

復(fù)極過程中P點(diǎn)的電勢小于零。復(fù)極過程結(jié)束時(shí)，P點(diǎn)的電勢又變?yōu)榱?，心肌?xì)胞恢復(fù)到極化狀態(tài)。P正在復(fù)極的心肌細(xì)胞三心電向量和心電向量環(huán)－＋－＋－＋－＋－＋－＋M

瞬時(shí)綜合心電向量（所有瞬時(shí)心電向量的矢量和）

空間心電向量環(huán)

心房除極過程的空間向量環(huán)稱P環(huán)；心室除極過程的空間向量環(huán)稱QRS環(huán)；心室復(fù)極過程的空間向量環(huán)稱T環(huán)。

空間心電向量環(huán)在某一平面的投影稱為平面心電向量環(huán)。四體表心電的形成

測量與平面心電向量環(huán)同平面內(nèi)某探查點(diǎn)的心電波形，用環(huán)體投影分割法。O?L導(dǎo)聯(lián)軸O?N導(dǎo)聯(lián)軸第五節(jié)靜電場中的電介質(zhì)8.5.1:電介質(zhì)及其極化電介質(zhì)：是絕緣體，電介質(zhì)內(nèi)部沒有可以自由移動(dòng)的電荷。(氣體，油類，蠟紙，云母，橡膠等基本不導(dǎo)電的物質(zhì)稱電介質(zhì)）。

將有極分子或無極分子放到外電場中，在外電場作用下電介質(zhì)的表面出現(xiàn)束縛電荷。這種現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。1.電介質(zhì)的極化：電介質(zhì)分無極分子和有極分子。E0E01.

有極分子的取向極化

無外電場作用時(shí)，由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，每個(gè)分子電矩的取向是無序的，對外不顯電性。在外電場的作用下，有極分子受到電場力的力矩作用,分子電矩出現(xiàn)轉(zhuǎn)向,結(jié)果在垂直于外電場方向的介質(zhì)端面上出現(xiàn)束縛電荷,這種現(xiàn)象稱為有極分子的取向極化。E0FF2.

無極分子的位移極化

無外電場作用時(shí)，無極分子的分子電矩為零，對外不顯電性。在外電場的作用下，無極分子的兩個(gè)等效點(diǎn)電荷中心受到方向相反的電場力作用，正負(fù)電荷中心相互錯(cuò)開，分子電矩不再為零，結(jié)果在垂直于外電場方向的介質(zhì)端面上出現(xiàn)束縛電荷，這種極化稱為無極分子的位移極化。3.

電極化強(qiáng)度定義：物理意義:描述電介質(zhì)極化狀態(tài)的物理量。單位：C/m2

若被極化的電介質(zhì)內(nèi)各點(diǎn)的電極化強(qiáng)度的大小和方向都相同，則稱為均勻極化,否則稱為非均勻極化。只討論均勻極化的情況。

電極化強(qiáng)度矢量與束縛電荷面密度的關(guān)系：二電介質(zhì)中的場強(qiáng)在電介質(zhì)內(nèi)：附加場：任意點(diǎn)的場強(qiáng)：稱為電介質(zhì)的電極化率稱為相對電容率

實(shí)驗(yàn)證明：對于各向同性的均勻電介質(zhì)：

如，電量為q的點(diǎn)電荷，在相對電容率為的電介質(zhì)中的場強(qiáng)為稱為電容率

在任何靜電場中，在均勻電介質(zhì)充滿電場的情況下，電介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)的大小等于自由電荷產(chǎn)生（或真空中）場強(qiáng)的。兩均勻帶電平面間的場強(qiáng)為第六節(jié)電容電場的能量一電容1.孤立導(dǎo)體的電容定義：物理意義：表示使孤立導(dǎo)體升高單位電勢所需要的電荷量，反映了孤立導(dǎo)體存儲(chǔ)電荷的能力。單位：FuFpF1F=106uF=1012pF2.電容器的電容定義：物理意義：反映電容器存儲(chǔ)電荷的能力。1).球形電容器的電容：兩極板間的場強(qiáng)：兩極板間的電勢差：電容：2).同軸圓柱形電容器的電容兩柱面間的電場強(qiáng)度：兩柱面間的電勢差:電容器的電容3).平行板電容器的電容：＋－Sd12在兩極板間填充相對電容率為的電介質(zhì)后二帶電系統(tǒng)的能量

設(shè)某時(shí)刻帶電系統(tǒng)的電量為q,現(xiàn)將電荷元dq從無限遠(yuǎn)處移到該系統(tǒng)上,則外力反抗電場力所做的功應(yīng)等于其電勢能的增量,即

當(dāng)導(dǎo)體的帶電量由零增至Q時(shí)，具有的靜電能為三靜電場的能量

設(shè)平行板電容器兩極板間的電勢差為（U1-U2）,電荷量為Q，則具有的靜電能為W是靜電場的能量，因此有以平行板電容器為例討論靜電場的能量。在各向同性的均勻電介質(zhì)中：任一帶電系統(tǒng)的電場能：能量密度上面的結(jié)論適用于任何靜電場。例7.

設(shè)半徑為R=10cm的金屬球，帶電量為Q=1.0×10-5C，置于r=2的無限大均勻電介質(zhì)中，求此帶電金屬球電場的能量。drRroQ

解：由高斯定理可知，球外距球心為r處的場強(qiáng)為

電場的能量密度為

以O(shè)點(diǎn)為球心取半徑為r，厚度為dr的同心球殼，其體積為，則該球殼的電場能為帶電金屬球的電場能為第八章小結(jié)1.庫倫定律：適用于真空，靜止，和點(diǎn)電荷的條件。2.電場和電場強(qiáng)度：1）電場是庫倫力的傳遞者。2）電場強(qiáng)度它反映了電場的力的性質(zhì)。3）電場強(qiáng)度是描述電場狀況的最基本的物理量之一。3.電場強(qiáng)度的計(jì)算：1）點(diǎn)電荷的場強(qiáng)：2）點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的場強(qiáng)：3）帶電體產(chǎn)生的場強(qiáng)：4）具有一定對稱性的帶電體產(chǎn)生的場強(qiáng)：5）通過電勢與場強(qiáng)的關(guān)系求場強(qiáng)：4.電勢的計(jì)算：1）點(diǎn)電荷電場中的電勢：2)電勢疊加原理：

3）任一帶電體電場中的電勢：5.靜電場中的電介質(zhì)：1）電介質(zhì)的極化。2）電極化強(qiáng)度與束縛電荷的關(guān)系。3）電介質(zhì)中的場強(qiáng)。6.電容器電容的計(jì)算：1）球形電容器電容的計(jì)算。2）同軸圓柱形電容器電容的計(jì)算。3）平行板電容器電容的計(jì)算。結(jié)束謝謝第八章作業(yè)答案1．一無限長的均勻帶電細(xì)直棒，線電荷密度為λ，直棒外一點(diǎn)P到棒的距離為a,請用場強(qiáng)疊加原理求P點(diǎn)的場強(qiáng).

解：過P點(diǎn)作細(xì)棒的垂線PO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)系如圖。在棒上距O為ryaPox處任選一線元，則電荷元方向垂直直棒。2．用電場強(qiáng)度疊加原理求證：無限大均勻帶電平板外一點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為（提示：把無限大帶電平板分解成一個(gè)個(gè)圓環(huán)或一條條細(xì)長線，然后進(jìn)行積分疊加）xx