課件高數(shù)同濟(jì)完美版

第一單重積分的概念和性一、本單元的內(nèi)容要二、本單元的教學(xué)要 重積分的在《微積分》上冊中，我們知道：區(qū)間[ab]上函數(shù)f(x,y)的定積分為：b b f(x)dxlimf()x 0yyyy=fDoabxbS fb引例 曲頂柱體的體 為D，頂面方程為z=f(x,y)分割用曲線網(wǎng)將D分割成若干o…,nx

z=f(x,y取點在區(qū)域Di(ii)，當(dāng)Di很小時，vif(i,i vvif(i,i

z=f(x, 取極限記yoy xmax{dDi}nvlimf(i,i)in0引例 平面薄片的質(zhì)分割用曲線網(wǎng)將D分割成若干小區(qū)域Di為i；i=1,2,…,n取點在區(qū)域Di(ii)y

(i,iMi(i,i)i MMi(i,i)i i i取極限

Mj,MknMlim(i,i)in0nlimf(i,i)in0f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域任意劃分成n個小 ,Dn并用i表示小區(qū)域Di的面積。任取(i,i)∈Di，作nnn0函數(shù)f(x,y)在區(qū)域Df(x,y)dnDn

f(x,y)d

lim

f(i,i)i i其中f(x,y)f(x,y)d稱為被積表達(dá)式，d稱為面積元素。 Vf(x,y)dD (x,y)dD注 當(dāng)以直線方式對區(qū)域進(jìn)行分割時，得△=dxdy,f(x,y)dxdyD定義設(shè)f(x,y,z)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。將閉區(qū)1,2 n∈i，作nf(i,i,imax{di

nlimn

f(i,i,

i)Vi i存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,yz)在閉區(qū)域上的三重積f(x,y,z)dV即nf(x,y,z)dVlimf(i,i)in 0注 若f(x,y,z)是有界閉區(qū)域上的密度函數(shù)，則其質(zhì)Mf(x,y,z)dV重積分的 數(shù)，，函數(shù)f(x,y)+g(x,y)可積，且[f(x,y)g(x,y)]dxdyf(x,y)dxdyg(x, 若函數(shù)f(x,y)在D上可積，用曲線將D分割成個小區(qū)域D1，D2f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x, 若函數(shù)f(x,y)在D上可積，且在D上有f(x,y)則f(x,y)dxdy0D 若函數(shù)f(x,y)在D上可積，則函數(shù)|f(x,y)|在D上f(x,y)dxdyD

D

f(x,y

dxdy 若函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則在D上至少存在一點(,)，使得f(x,y)dxdyfD其中(D)表示區(qū)域D的面例試比較下面兩個積分的大小

x2其中D是以(0,0)(1,-1),(1,1)為頂點的三角形閉區(qū)D0x2y2x2y2

x2x2x2 DF(x,y)x2y2x22y124 F(x,y)2x2xxF(x,y)2y2y1,x2

y122

2

25555 5555 m522,M522D

x2y2d45 設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，按定義證明：f(x,y)df(x, D(3)若區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,f(x,y)df 從而，若f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)，則f(xy)d0D證由于區(qū)域關(guān)于y軸對稱，故分割時用x=0作為其中的nn 0n f(x,y)d 0

i i i i i i i i i i i i則 f(,則0 0 f(x,y)df(x, 設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，區(qū)域D關(guān)于y函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量xf(xyf(xy)，f(x,y)