專題05正余弦定理的應(yīng)用(原卷版)

專題05正余弦定理的應(yīng)用1、【1、【2019年高考全國(guó)H卷文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,匚已知bsinA+acosB=0,2、/2、/BDC=45。，則BD=,cosZABD=【2019年高考浙江卷】在^ABC中，ZABC=90。，AB=4,BC=3，點(diǎn)D在線段AC上，若3、【2019年高考江蘇卷】在4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,3、2 2（1）若a=3c，b=22，cosB=3，求c的值；⑵若-sinA⑵若-sinAcosB2b兀、，求sin（B+-）的值.乙4、【2019年高考江蘇卷】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓。的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均不小于圓。的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD．．．．（C、D為垂足），測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12（單位：百米）.（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

A+C...5、【2019年高考全國(guó)m卷文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知〃sin=bsinA.⑴求B；(2)若^ABC為銳角三角形，且^，求^ABC面積的取值范圍.1【2019年高考北京卷文數(shù)】在4ABC中，a=3,b-c=2,cosB=--.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.【2019年高考天津卷文數(shù)】在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,5已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;.(in、(2)求sin2B+-的值.I6)難點(diǎn)突破、正弦、余弦定理、在△中，若角，，所對(duì)的邊分別是a,,為^ 外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容 = = ==+- s=+- s=+一TOC\o"1-5"\h\z變形 ：：二: : ^ =?? ? ? ；= A = B +—△ABC2 2 2 4R3、正余弦定理的作用：（1．）正弦定理的作用：邊角互化問(wèn)題，方法有：①利用=A=B= 將邊化為角;b2＋c2—a2②利用 =———等將余弦化為邊；③ + =等化角為邊.2求邊長(zhǎng)問(wèn)題，方法有：①利用正弦定理求邊；②利用余弦定理求邊.二、在△ 中，已知、和時(shí)，解的情況如下：為銳角為鈍角或直角C￡CC圖形喻又A8\7A8關(guān)系式=三解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解三、實(shí)際問(wèn)題中的常用角、仰角和俯角：與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角如圖①北方）向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東3°0，北偏西45°等.方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn)的方位角為a如圖②坡）度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.四、注意點(diǎn)：1、解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則考慮兩個(gè)定理都有可能用到.2關(guān).于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角恒等變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.題型突破題型一、運(yùn)用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指變、角、面積等。解題時(shí)注意一下兩點(diǎn)：(1根)據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用正、余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2熟)練運(yùn)用正、余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用.例i通州、海門、啟東期末)在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosB=n3bcosA,B=A-7-，則B= .6例2 蘇州三市、蘇北四市二調(diào))在^ABC中，已知C=120°,sinB=2sinA,且^ABC的面積為243,則UAB的長(zhǎng)為.例3鎮(zhèn)江期末)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且ccosB+bcosC=3acosB.(1)求cosB的值；(2)若|CA—CBI=2,4ABC的面積為2\,'2,求邊b.題型二、運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的范圍運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的范圍主要涉及兩方面的問(wèn)題：一是：與不等式結(jié)合；二是有角的范圍,確定三角函數(shù)值的范圍?例4、(2019蘇州期初調(diào)查)在斜三角形ABC中，已知匕+4+tanC=0,則tanC的最大值等于 tanAtanB例5、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))在^ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)^ABC的面積為S,且4S=<3(a2+c2-b2)(1)求/B的大小；(2)設(shè)向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),求m?n的取值范圍.題型三、正余弦定理與向量的綜合正余弦定理與向量的綜合主要就是借助于向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化為邊角的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用正余弦定理解決問(wèn)題。例、無(wú)錫期末)在^ABC中，設(shè)a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知向量m=(a,sinC-sinB),n=(b+c,sinA+sinB),且m〃n.(1)求角C的大?。?2)若c=3,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.題型四、運(yùn)用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題解三角形應(yīng)用題的解題技巧：首先,理清題干條件和應(yīng)用背景,畫出示意圖；其次,把所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,利用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)求解；最后,回歸實(shí)際問(wèn)題并檢驗(yàn)結(jié)果.例、( 蘇北三市期末)如圖，某公園內(nèi)有兩條道路AB,AP,現(xiàn)計(jì)劃在AP上選擇一點(diǎn)C,新建道路BC,并把4ABC所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域.已知/BAC：n,AB=2km.(1)若綠化區(qū)域4ABC的面積為1km2,求道路BC的長(zhǎng)度；(2)若綠化區(qū)域4ABC改造成本為10萬(wàn)元/km2,新建道路BC成本為10萬(wàn)元/km設(shè)NABC=e(o<eW2n)當(dāng)0為何值時(shí)，該計(jì)劃所需總費(fèi)用最?。坑蓄}測(cè)試、填空題1、（2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）在^ABC中，若sinA:sinB：sinC=4:5:6，則oC的值為.2常州期末）在^ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2=3b2+3c2-243bcsinA,則IC=.3 蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）在4ABC中，已知C=120°,sinB=2sinA,且^ABC的面積為2y3,則UAB的長(zhǎng)為.4 南京學(xué)情調(diào)研）已知△ABC的面積為3a/15,且AC-AB=2,cosA=-；,則BC的長(zhǎng)為.5 蘇州期初調(diào)查）已知△ABC的三邊上高的長(zhǎng)度分別為2,3,4,則4ABC最大內(nèi)角的余弦值等于 ．6、（2017南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào)）在銳角△ABC中，AB=3,AC=4.若△ABC的面積為3<3,則BC的長(zhǎng)是—.7 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,6已知5a=8b,A=2B,則UsinA—91=.8、（2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研））設(shè)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足3 tanAacosB-bcosA=—c，貝| 5 tanB南京、鹽城二模）在△ABC中，若sinC=2cosAcosB,則cos2A+cos2B的最大值為o南京、鹽城一模）在^ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2+b2+2c2=8,則4ABC面積的最大值為.二、解答題i 南京、鹽城一模）在^ABC中，設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，記^ABC的面積為5,若2S=AB?AC,（1）求角A的大?。唬?）若c=7,cosB=5,求a的值.南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào))在4ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)，acosB=gbcosA,A-應(yīng)cosA—3.(1)求角B的值;(1)求角B的值;(2)若a=M%，求4ABC的面積.宿遷期末)已知△ABC的面積是S,AB-AC—233S.(1)求(1)求sinA的值;(2)若BC=2\：3當(dāng)^ABC的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求^ABC的面積S.(2)蘇州期末)已知函數(shù)f(x)—率sin2x—cos2x—2.(1)求函數(shù)f(x)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)的自變量X的集合；(2)設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a, b,c,且c—；'3, f(C)—0,若sinB—2sinA,求 a, b的值5 鎮(zhèn)江期末)某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇A(yù),B,C,三樓宇間的距離都為2千米，擬準(zhǔn)備在此三樓宇圍成的區(qū)域ABC外建第四棟樓宇D,規(guī)劃要求