《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》課件yydyfx3A

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應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析

第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)(一)2§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布

一、正態(tài)變量二次型的分布二、威沙特分布三、霍特林T2分布四、威爾克斯統(tǒng)計(jì)量§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)及置信域§3.3多總體均值向量的檢驗(yàn)第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)夸?一)3

一元統(tǒng)計(jì)中,參數(shù)μ,σ2的檢驗(yàn)涉及到一個(gè)總體、二個(gè)總體,乃至多個(gè)總體的檢驗(yàn)問(wèn)題;推廣到p元統(tǒng)計(jì)分析中，類(lèi)似地對(duì)參數(shù)向量μ和參數(shù)矩陣Σ涉及到的檢驗(yàn)也有一個(gè)總體、二個(gè)總體,乃至多個(gè)總體的檢驗(yàn)問(wèn)題。第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)4

在一元統(tǒng)計(jì)中，用于檢驗(yàn)μ,σ2的抽樣分布有χ2分布,t

分布,F分布等,它們都是由來(lái)自總體N(μ,σ2)的樣本導(dǎo)出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.

推廣到多元統(tǒng)計(jì)分析后，也有相應(yīng)于以上三個(gè)常用分布的統(tǒng)計(jì)量:Wishart,HotellingT

2,WilksΛ統(tǒng)計(jì)量,討論這些統(tǒng)計(jì)量的分布是多元統(tǒng)計(jì)分析所涉及的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的基礎(chǔ).第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)5

設(shè)Xi～N1(μi,σ2)(i=1,...…,n),且相互獨(dú)立，記第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型一般情況(μi＝0，σ2

≠1時(shí)),結(jié)論16

結(jié)論2當(dāng)μi≠0(i=1,…,n),σ2=1時(shí),X′X的分布常稱為非中心χ2分布.

第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型

定義3.1.1設(shè)n維隨機(jī)向量X～Nn(μ,In)(μ≠0),則稱隨機(jī)變量ξ＝X'X為服從

n個(gè)自由度,非中心參數(shù)的χ2分布，記為7第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型則

結(jié)論3設(shè)X～Nn(0,σ2In),A為n階對(duì)稱方陣,rk(A)=

r,則二次型X'AX/σ2～χ2(r)

A2＝A(A為對(duì)稱冪等陣).特例:當(dāng)A=In時(shí),8

證明(充分性)因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣Γ(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型9第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型必要性證明不要求(利用特征函數(shù)).10第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型則(必要性)因A為對(duì)稱陣，所以存在正交陣Γ使:Γ′AΓ＝diag(λ1,…λr，0…0).令

Y=?！鋁～N（0,σ2In

）,X=ΓY且Y1，…，Yr相互獨(dú)立同N(0,σ2)分布.故而

11第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型(i＝1,…,r),且相互獨(dú)立.又已知ξ＝X'AX/σ2～χ2(r)，故ξ的特征函數(shù)為(1-2it)-r

/2

Zi=λiZi的特征函數(shù)為(1-2iλit)-1

/2,又

Z1

Z2...

Zr且相互獨(dú)立.故有12第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型diag(1,…,1,0,…,0)=Γ'AΓ=Γ'A?！う?AΓ=Γ'A2Γ故A＝A2，即A為對(duì)稱冪等陣.

利用同分布的特征函數(shù)相同可得出

λ1＝…＝λr=1.13第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量的二次型

結(jié)論4設(shè)X～Nn(μ,σ2In),A為對(duì)稱陣,且rk(A)=r,

則二次型

A2＝A(A為對(duì)稱冪等陣).作業(yè)1:證明充分性(習(xí)題3-1

）(充分性的證明類(lèi)似于結(jié)論3中充分性的證明方法,必要性證明不要求)14

證明(充分性)因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣Γ(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型15第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型16第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型其中非中心參數(shù)為17

結(jié)論5二次型與線性函數(shù)的獨(dú)立性:

設(shè)X～Nn(μ,σ2In),

A為n階對(duì)稱陣，B為m×n陣,令ξ＝X'AX,Z=BX(Z為m維隨機(jī)向量),若BA=O,則BX和X'AX相互獨(dú)立.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型證明設(shè)rk(A)=r＞0(當(dāng)r=0時(shí)A＝0，結(jié)論顯然成立)，存在正交陣Γ使18其中λi是A的非零特征值(i＝1,…,r).因?yàn)榈谌露嘣龖B(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型故有C1Dr＝Om×r

(Dr為對(duì)角矩陣,且λi≠0)，從而得C1＝

Om×r19第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型即Y1，…,Yn獨(dú)立.因?yàn)?0第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型而故X′AX與BX相互獨(dú)立.以上結(jié)論反之也成立：若BX和X'AX相互獨(dú)立,則BA=0.21

結(jié)論6兩個(gè)二次型相互獨(dú)立的條件:設(shè)X～Nn(μ,σ2In),

A，B為n階對(duì)稱陣則AB＝O

X'AX與X'BX相互獨(dú)立.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型

證明必要性的思路：記rk(A)=r.

①因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣Γ,使得

Γ'AΓ=diag(λ1,…,λr

0,..,0)

②令Y＝Γ'X，則Y～Nn(Γ'μ,σ2In),

作業(yè)2:證明必要性(習(xí)題3-2）22第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型③且又因?yàn)閄'

BX=Y'Γ'BΓ

Y=Y'HY,其中H=Γ‘BΓ。④如果由AB=O,能夠證明X′BX可表示為Yr+1，…,Yn的函數(shù)，即H只是右下子塊H22為非O的矩陣。則X′AX與X′BX相互獨(dú)立。23第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型

證明以下只證明必要性.記rk(A)=r.

若r=n,由AB＝0,知B＝0n×n,于是X′AX與X′BX獨(dú)立；若r=0時(shí),則A＝0,則兩個(gè)二次型也是獨(dú)立的.以下設(shè)0＜r＜n.因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣Γ,使得24第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型

其中λi≠0為A的特征值(i=1,…,r).于是令r25第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型由AB＝0可得DrH11＝0，DrH12＝0.因Dr為滿秩陣,故有H11＝0r×r，H12＝0r×(n-r).由于H為對(duì)稱陣，所以H21＝0(n-r)×r.于是令Y＝?！鋁，則Y～Nn(?！洇?σ2In),

且26第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--分量獨(dú)立的正態(tài)變量二次型

由于Y1，…,Yr,Yr+1,…,Yn相互獨(dú)立，故X′AX與X′BX相互獨(dú)立.27第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型

結(jié)論1設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,則X'Σ-1X～χ2(p,δ)，其中δ＝μ'Σ-1μ.

證明因Σ＞0,由正定陣的分解可得

Σ＝CC′(C為非退化陣).令Y＝C

-1X

(即X＝CY)，則

Y～Np(C

-1μ,C

-1

Σ(C

-1)′),因Σ＝CC′，所以Y～Np(C

-1μ,Ip).且X′Σ-1X＝Y(jié)'C'Σ-1

CY＝Y(jié)'Y～χ2(p,δ)，其中δ＝(C

-1μ)′(C

-1μ)=μ'Σ-1μ.28

結(jié)論2

設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A為對(duì)稱陣,rk(A)=r.則(X-μ)′A(X-μ)～χ2(r)

ΣAΣAΣ＝ΣAΣ

.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型

證明因Σ＞0,則rk(Σ)＝p.因Σ為對(duì)稱陣,故存在正交陣Γ,使得29

令第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型這里注意:修改P5530第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型由以上“1.結(jié)論3”的證明知即兩邊左右乘Σ1/2，即得

ΣAΣAΣ＝ΣAΣ.31

結(jié)論3設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B為p階對(duì)稱陣,則(X-μ)′A(X-μ)與(X-μ)′B(X-μ)獨(dú)立

ΣAΣBΣ＝Op×p.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型注意:修改P55倒2行32第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--一般p維正態(tài)變量的二次型由“1.結(jié)論6”知ξ與η相互獨(dú)立

33第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--非中心t

分布和F分布定義3.1.2定義3.1.334第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--非中心t分布的應(yīng)用

一元統(tǒng)計(jì)中，關(guān)于一個(gè)正態(tài)總體N(μ,σ2)的均值檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)H0：μ＝μ0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)閧|T|＞λ}，其中λ滿足：

P{|T|＞λ}=α(顯著性水平).35第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--非中心t分布的應(yīng)用

當(dāng)否定H0時(shí)，可能犯第一類(lèi)錯(cuò)誤，且第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率＝P｛“以真當(dāng)假”｝＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0｝＝顯著性水平α.當(dāng)H0相容時(shí)，可能犯第二類(lèi)錯(cuò)誤，且第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率＝P｛“以假當(dāng)真”｝＝P｛|T|≤λ|μ=μ1

≠μ0

｝

=β.此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T～t(n-1,δ),利用非中心t分布可以計(jì)算第二類(lèi)錯(cuò)誤β的值.36第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布(威沙特分布)Wishart分布是一元統(tǒng)計(jì)中χ2分布的推廣.多元正態(tài)總體Np(μ,Σ)中,常用樣本均值向量X作為μ的估計(jì)，樣本協(xié)差陣S＝A/(n-1)作為Σ的估計(jì).由第二章的定理2.5.2已給出了X～Np(μ,Σ/n).S~?.一元統(tǒng)計(jì)中，用樣本方差作為σ2的估計(jì)，而且知道37第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布(威沙特分布)推廣到p元正態(tài)總體,樣本協(xié)差陣S＝A/(n-1)及隨機(jī)矩陣A(離差陣)的分布是什么?設(shè)X(α)(α＝1,…,n)為來(lái)自Np(0,Σ)的隨機(jī)樣本,考慮隨機(jī)矩陣的分布.當(dāng)p=1時(shí)，38第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布(威沙特分布)推廣到p維正態(tài)總體時(shí)，隨機(jī)矩陣W的分布是什么?

定義3.1.4設(shè)X(α)～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)矩陣的分布為Wishart分布(威沙特分布)，記為W～Wp(n,Σ).顯然p=1時(shí),即39第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布(威沙特分布)一般地,設(shè)X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立,記則稱W＝X'X服從非中心參數(shù)為Δ的非中心Wishart分布,記為W～Wp(n,Σ,Δ).其中40第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布(威沙特分布)當(dāng)X(α)～Np(μα,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立時(shí)，非中心參數(shù)這里其中p為隨機(jī)矩陣W的階數(shù),n為自由度,一元統(tǒng)計(jì)中的σ2對(duì)應(yīng)p元統(tǒng)計(jì)中的協(xié)差陣Σ.41第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立，則樣本離差陣A服從Wishart分布，即

證明根據(jù)第二章§2.5的定理2.5.2知而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互獨(dú)立,由定義3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).42第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

由于Wishart分布是χ2分布的推廣,它具有χ2分布的一些性質(zhì).

性質(zhì)2關(guān)于自由度n具有可加性：設(shè)Wi～Wp(ni,Σ)(i＝1,…,k)相互獨(dú)立，則

性質(zhì)3設(shè)p階隨機(jī)陣W～Wp(n,Σ),C是m×p常數(shù)陣,則m階隨機(jī)陣CWC′也服從Wishart分布,即CWC′～Wm(n,CΣC′).43第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)證明其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互獨(dú)立.令Yα=CZα,則Yα～Nm(0,CΣC′).故

由定義3.1.4有:44第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

①aW～Wp(n,aΣ)(a＞0，為常數(shù)).在性質(zhì)3中只須取C＝a1/2Ip，即得此結(jié)論.特例：②設(shè)l′＝(l1,…,lp)，則

l′Wl＝ξ～W1(n,l′Σl),即ξ～σ2χ2(n)(其中σ2＝l′Σl).在性質(zhì)3中只須取C＝l′,即得此結(jié)論.思考:試問(wèn)隨機(jī)陣W的對(duì)角元素Wii的分布？45第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

性質(zhì)4分塊Wishart矩陣的分布:設(shè)X(α)～

Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立，其中又已知隨機(jī)矩陣則(習(xí)題3-4)46第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

性質(zhì)5設(shè)隨機(jī)矩陣W～Wp(n,Σ)，記則相互獨(dú)立。其中～(性質(zhì)5,性質(zhì)7和性質(zhì)8不要求)47第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--Wishart分布的性質(zhì)

性質(zhì)6設(shè)隨機(jī)矩陣W～Wp(n,Σ)，則

E(W)＝nΣ.證明:由定義3.1.4,知其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互獨(dú)立.則48第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT

2分布一元統(tǒng)計(jì)中,若X～N(0,1),～χ2(n),X與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量下面把的分布推廣到p元總體.

設(shè)總體X～Np(0,Σ)，隨機(jī)陣W～Wp(n,Σ),我們來(lái)討論T2＝nX'W-1

X的分布.49第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT

2分布

定義3.1.5設(shè)X～Np(0,Σ),隨機(jī)陣W～Wp(n,Σ)(Σ0,

n≥p),且X與W相互獨(dú)立,則稱統(tǒng)計(jì)量T2＝nX′W-1

X為HotellingT2

統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為服從n個(gè)自由度的T2分布,記為T(mén)2

～T2(p,n).

更一般地,若X～Np(μ,Σ)(μ≠0),則稱T2的分布為非中心HotellingT2

分布，記為T(mén)2

～T2(p,n,μ).50第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)X(α)～

Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是來(lái)自p元總體Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本,X和A分別為總體Np(μ,Σ)的樣本均值向量和離差陣,則統(tǒng)計(jì)量事實(shí)上,因51第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

而A～Wp(n-1,Σ),且A與X相互獨(dú)立.由定義3.1.5知52第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

性質(zhì)2

T2與F分布的關(guān)系:設(shè)T2～T2(p,n)，則在一元統(tǒng)計(jì)中53第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)當(dāng)p=1時(shí),一維總體X～N(0,σ2)，所以注意:因這是性質(zhì)2的特例:即p=1時(shí),T2~F(1,n).54第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)一般地：(性質(zhì)2的嚴(yán)格證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2])其中ξ＝X′Σ-1

X～χ2(p,δ)(δ＝0)，還可以證明χ2(n-p+1),且ξ與η獨(dú)立.55第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

性質(zhì)3

設(shè)X～Np(μ,Σ),隨機(jī)陣W～Wp(n,Σ)(Σ0,

n≥p),且X與W相互獨(dú)立,

T2＝nX′W-1

X為非中心HotellingT2

統(tǒng)計(jì)量(T2

～T2(p,n,μ)).則其中非中心參數(shù).～56第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

或

性質(zhì)3

設(shè)X(α)～

Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是來(lái)自p元總體Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本,X和A分別為樣本均值向量和離差陣.記57第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

一元統(tǒng)計(jì)中(p=1時(shí)),t統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)σ2無(wú)關(guān).類(lèi)似地有以下性質(zhì).性質(zhì)4

T2統(tǒng)計(jì)量的分布只與p,n有關(guān),而與Σ無(wú)關(guān).即58第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)事實(shí)上,因X～Np(0,Σ)(Σ＞0),W～Wp(n,Σ),則Σ-1/2X～Np(0,Ip)，因此59第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

性質(zhì)5

在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計(jì)量保持不變?cè)O(shè)X(α)(α＝1,…,n)

是來(lái)自p元總體Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本,Xx和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)1有60第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

HotellingT2分布的性質(zhì)

作業(yè)(習(xí)題3-4)令其中C是pp非退化常數(shù)矩陣，d是p1常向量。則可證明：61第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ分布的定義

一元統(tǒng)計(jì)中,設(shè)ξ～χ2(m),η～χ2(n),且相互獨(dú)立,則

在總體N(μ1,σ2(x))和N(μ2,σ2(y))方差齊性檢驗(yàn)中,設(shè)X(i)(i=1,…,m)為來(lái)自總體N(μ1,σ2(x))的樣本,Y

(j)

(j=1,…,n)為來(lái)自總體N(μ2,σ2(y))的樣本.取σ2(x)和σ2(y)的估計(jì)量(樣本方差)分別為62第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ分布的定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

p元總體Np(μ,Σ)中,協(xié)差陣Σ的估計(jì)量為A/(n-1)或A/n.在檢驗(yàn)H0:Σ1＝Σ2時(shí),如何用一個(gè)數(shù)值來(lái)描述估計(jì)矩陣的離散程度呢.一般可用矩陣的行列式、跡或特征值等數(shù)量指標(biāo)來(lái)描述總體的分散程度.63第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ分布的定義

定義3.1.6

設(shè)X～Np(μ,Σ),則稱協(xié)差陣的行列式|Σ|為X的廣義方差.若X(α)(α＝1,…,n)為p元總體X的隨機(jī)樣本，A為樣本離差陣,有了廣義方差的概念后,在多元統(tǒng)計(jì)的協(xié)差陣齊次檢驗(yàn)中,類(lèi)似一元統(tǒng)計(jì),可考慮兩個(gè)廣義方差之比構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量——Wilks統(tǒng)計(jì)量的分布.64第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ分布的定義定義3.1.7

設(shè)A1～Wp(n1,Σ),A2～Wp(n2,Σ)(Σ＞0,n1≥p),且A1與A2獨(dú)立,則稱廣義方差之比為Wilks(或Λ)統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為Wilks(威爾克斯)分布,記為

Λ～Λ(p,n1,n2)(或Λp,n1,n2)65第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)

在實(shí)際應(yīng)用中,常把Λ統(tǒng)計(jì)量化為T(mén)2統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而化為F統(tǒng)計(jì)量,利用我們熟悉的F統(tǒng)計(jì)量來(lái)解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)的問(wèn)題.

結(jié)論1當(dāng)n2＝1時(shí),設(shè)n1=n＞p,則注意:在這里記號(hào)Λ(p,n,1)有兩重含義:①統(tǒng)計(jì)量(也是隨機(jī)變量);②其分布是參數(shù)為p,n,1的威爾克斯分布.66第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)或

證明設(shè)X(α)(α＝1,…,n,n+1)相互獨(dú)立同Np(0,Σ)分布,顯然有67第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)由定義3.1.7，知68第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)利用分塊矩陣求行列式的公式(見(jiàn)附錄的推論4.1):69第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)所以結(jié)論2當(dāng)n2＝2時(shí),設(shè)n1＝n＞p,則70第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)

結(jié)論3

當(dāng)p=1時(shí)，則因p=1時(shí),Λ(1,n1,n2)就是?(n1/2,n2/2)利用貝塔分布與F分布的關(guān)系,即有以上結(jié)論.71第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)結(jié)論4當(dāng)p=2時(shí)，則

結(jié)論5當(dāng)n2＞2,p＞2時(shí),可用χ2統(tǒng)計(jì)量或F統(tǒng)計(jì)量近似.

Box(1949)給出以下結(jié)論：設(shè)Λ～Λ(p,n,n2),則當(dāng)n→∞時(shí)，-rlnΛ～χ2(p

n2),其中r=n-(p-n2+1)/2.(二個(gè)重要結(jié)論不要求)72第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布--

WilksΛ統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)下面不加證明地給出地二個(gè)重要結(jié)論：

(1)若Λ～Λ(p,n1,n2),則存在相互獨(dú)立B1,…,Bp,Bk～(k=1,…,p)使得dp=1時(shí)Λ(1,n1,n2)就是?(n1/2,n2/2).(2)73第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)

在多元統(tǒng)計(jì)分析中,考慮的總體是p維正態(tài)總體Np(μ,Σ),關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題經(jīng)常是需要的.

p元正態(tài)隨機(jī)向量的每一個(gè)分量都是一元正態(tài)變量,關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題能否化為p個(gè)一元正態(tài)的均值檢驗(yàn)問(wèn)題呢?顯然這是不完全的.因?yàn)閜個(gè)分量之間往往有互相依賴的關(guān)系,分開(kāi)作檢驗(yàn),往往得不出正確的結(jié)論.但我們可以構(gòu)造出類(lèi)似于一元統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)量,用來(lái)對(duì)均值向量進(jìn)行檢驗(yàn).74第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)關(guān)于均值向量的檢驗(yàn)包括:

①一個(gè)p元正態(tài)總體Np(μ,Σ),檢驗(yàn)

H0:μ＝μ0;②二個(gè)p元正態(tài)總體Np(μ1,Σ1)和Np(μ2,Σ2)，檢驗(yàn)H0:μ1＝μ2③k個(gè)p元正態(tài)總體Np(μi,Σ)(i＝1,…,k),當(dāng)協(xié)差陣相等時(shí)檢驗(yàn)k個(gè)均值向量是否全相等(即多元方差分析).75第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)設(shè)總體X～Np(μ,Σ),隨機(jī)樣本X(α)(α＝1,…,n).檢驗(yàn)H0:μ＝μ0(μ0為已知向量),H1:μ≠μ01.當(dāng)Σ＝Σ0已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)利用二次型分布的結(jié)論(“2.結(jié)論1”)知76第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法,對(duì)給定的顯著水平α,查χ2分布臨界值表得λα:77第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)由樣本值x(α)(α＝1,…,n),計(jì)算X及T20值,若T20

＞λα,則否定H0,否則H0相容.

利用統(tǒng)計(jì)軟件(如SAS系統(tǒng)),還可以通過(guò)計(jì)算顯著性概率值(p值)給出檢驗(yàn)結(jié)果,且由此得出的結(jié)論更豐富.假設(shè)在H0成立情況下,隨機(jī)變量T20

～χ2(p),由樣本值計(jì)算得到T20的值為d,可以計(jì)算以下概率值：p=P{T20≥d},常稱此概率值為顯著性概率值，或簡(jiǎn)稱為p值.78第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)

對(duì)給定的顯著性水平α,當(dāng)p值＜α?xí)r(即d值大,X與μ偏差大),則在顯著性水平α下否定假設(shè)H0

；在這種情況下,可能犯“以真當(dāng)假”的第一類(lèi)錯(cuò)誤,且α就是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率.

當(dāng)p值≥α?xí)r(即d值小,X與μ偏差小),,則在顯著性水平α下H0相容；在這種情況下，可能犯“以假當(dāng)真”的第二類(lèi)錯(cuò)誤,且犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率β為β=P{T20≤λα|當(dāng)μ=μ1≠μ0},其中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T20

～χ2(p,δ),非中心參數(shù)

δ=n(μ1-μ0)′(Σ0)-1(μ1-μ0).79第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)

p值的直觀含義可以這樣看,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T20的大小反映X與μ0的偏差大小,當(dāng)H0成立時(shí)T20值應(yīng)較小.現(xiàn)在由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算T20值為d；當(dāng)H0成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量T20

～χ2(p),由χ2分布可以計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量≥d的概率值(即p值).

比如p值=0.02＜α=0.05,表示在μ＝μ0的假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)中極少會(huì)出現(xiàn)T20的值大于等于d值的情況，故在0.05的水平下有足夠的證據(jù)否定原假設(shè)，即認(rèn)為μ與μ0

有顯著地差異.80第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)

又比如當(dāng)p值=0.22≥α=0.05時(shí),表示在μ＝μ0的假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)T20的值大于等于d值的情況，故在0.05的水平下沒(méi)有足夠的證據(jù)否定原假設(shè)，即認(rèn)為μ與μ0沒(méi)有顯著地差異.81第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)

2.當(dāng)Σ未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)當(dāng)p=1時(shí)(一元統(tǒng)計(jì))，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為或等價(jià)地取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量82第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)推廣到多元,考慮統(tǒng)計(jì)量因離差陣83第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)由定義3.1.5可知利用T2與F分布的關(guān)系，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為84第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1

例3.2.1人的出汗多少與人體內(nèi)鈉和鉀的含量有一定的關(guān)系.今測(cè)量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、鈉的含量(X2)和鉀的含量(X3)(數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.1).試檢驗(yàn)

H0:μ=μ0=(4,50,10)′，H1:μ≠μ0.

85第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1解記隨機(jī)向量X=(X1,X2,X3)′,假定X～N3(μ,Σ).檢驗(yàn)H0:μ＝μ0，H1：μ≠μ0.取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為由樣本值計(jì)算得:86第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.187第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1對(duì)給定α=0.05,按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法,可查F分布臨界值表得λα=F3,17(0.05)=3.2,比較由樣本值計(jì)算得到的F值及臨界值,因F值=2.9045＜3.2,故H0相容.

利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí),首先計(jì)算p值(此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F～F(3,17))：p=P{F≥2.9045}=0.06493.因p值=0.06493＞0.05=α,故H0相容.在這種情況下，可能犯第二類(lèi)錯(cuò)誤,且第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為

β=P{F≤3.2|μ=X}=0.3616(假定總體均值μ=μ1≠μ0,取μ1=X).88第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1prociml;n=20;p=3;m0={45010};used321;/*使用SAS數(shù)據(jù)集d321中的3個(gè)變量*/

xa={x1x2x3};readallvarxaintox;/*把

d321中三個(gè)變量的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)讀入矩陣X*/ln={［20］1};/*行向量ln由20個(gè)均為1的元素組成*/

x0=(ln*x)/n;/*計(jì)算樣本均值行向量X′*/xm=x0-m0;以上計(jì)算結(jié)果可以用SAS/IML計(jì)算,SAS程序如下(假設(shè)表3.1的數(shù)據(jù)已生成名為d321的SAS數(shù)據(jù)集)：(yydy321a.sas)89第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1

mm=i(20)-j(20,20,1)/n;/*計(jì)算矩陣(In-J/n)*/

a=x｀*mm*x;/*x｀表示計(jì)算矩陣X的轉(zhuǎn)置*/

ai=inv(a);/*計(jì)算樣本離差陣A和A的逆*/

dd=xm*ai*xm｀;d2=dd*(n-1);t2=n*d2;/*計(jì)算D2和T2*/f=(n-p)*t2/((n-1)*p);/*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值*/

printx0aaid2t2f;/*輸出有關(guān)計(jì)算結(jié)果*/

p0=1-probf(f,p,n-p);/*計(jì)算顯著性概率值(p值)*/

fa=finv(0.95,3,17);/*計(jì)算α=0.05的臨界值λα*/beta=probf(fa,p,n-p,t2);/*計(jì)算第二類(lèi)錯(cuò)誤β值*/

printp0beta;run;90第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1

prociml;n=20;p=3;x={3.748.59.3,5.765.18.0,3.847.210.9,3.253.212.0,3.155.59.7,4.636.17.9,2.424.814.0,7.233.17.6,6.747.48.5,5.454.111.3,3.936.912.7,4.558.812.3,3.527.89.8,4.540.28.4,1.513.510.1,8.556.47.1,4.571.68.2,6.552.810.9,4.144.111.2,5.540.99.4};m0={45010};ln={[20]1};x0=(ln*x)/n;printx0;解二:(yydy321b.sas)91第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)—例3.2.1

xm=x0-m0;printxm;mm=i(20)-j(20,20,1)/n;a=x`*mm*x;printa;ai=inv(a);printai;dd=xm*ai*xm`;d2=(n-1)*dd;t2=n*d2;f=(n-p)*t2/((n-1)*p);printddd2t2f;p0=1-probf(f,p,n-p);printp0;fa=finv(0.95,p,n-p);beta=probf(fa,p,n-p,t2);printfabeta;run;92第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),通常是利用最大似然原理導(dǎo)出似然比統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn).在多元統(tǒng)計(jì)分析中幾乎所有重要的檢驗(yàn)都是利用最大似然原理給出的.下面我們回顧下最大似然比原理.作出判斷,這就是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.稱H0

為原假設(shè)(或零假設(shè))，H1為對(duì)立假設(shè)(或備擇假設(shè)).設(shè)p維總體的密度函數(shù)為f(x,θ),其中θ是未知參數(shù)，且θ∈Θ(參數(shù)空間)，又設(shè)Θ0是Θ的子集,我們希望對(duì)下列假設(shè)：93第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量從總體X抽取容量為n的樣本X(t)(t=1,…,n).把樣本的聯(lián)合密度函數(shù)記為L(zhǎng)(X;θ),并稱它為樣本的似然函數(shù).引入統(tǒng)計(jì)量94第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量

λ是樣本X(t)(t=1,…,n)的函數(shù),常稱λ為似然比統(tǒng)計(jì)量.由于Θ0是Θ的子集,即分子≤分母,從而0≤λ≤1.直觀考慮,若H0成立時(shí),λ值應(yīng)近似為1.如果λ取值太小(即分子＜＜分母),由最大似然原理,說(shuō)明H0為真時(shí)觀測(cè)到此樣本X(t)(t=1,…,n)的概率比H0為不真時(shí)觀測(cè)到此樣本X(t)(t=1,…,n)的概率要小得多.故有理由認(rèn)為假設(shè)H0不成立,所以從似然比統(tǒng)計(jì)量出發(fā),以上檢驗(yàn)問(wèn)題的否定域?yàn)閧λ(X(1),…,X(n))＜λα},95第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量

按傳統(tǒng)計(jì)的檢驗(yàn)方法,λα是由顯著性性水平α確定的臨界值,它滿足在H0成立時(shí)有：P{λ(X(1),…,X(n))＜λα}=α.為了得到λα,必須研究似然比統(tǒng)計(jì)量λ的抽樣分布.在一些特殊的情況下,λ的精確分布可以得到;但很多情況得不到λ的精確分布.

96第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)樣本量很大且滿足一定條件時(shí),-2lnλ的抽樣分布與χ2分布十分接近.下面不加證明地給出一條很有用的結(jié)論.近似服從自由度為f的χ2分布,其中

f=Θ的維數(shù)-Θ0的維數(shù).

定理3.2.1當(dāng)樣本容量n很大時(shí)，97第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量

我們來(lái)導(dǎo)出當(dāng)Σ未知時(shí)檢驗(yàn)均值向量μ=μ0

的似然比統(tǒng)計(jì)量，并討論它的分布.在第二章§2.5中已經(jīng)導(dǎo)出：以上比式的分母當(dāng)μ=X,Σ=A/n時(shí)達(dá)最大值，且最大值為設(shè)樣本的似然函數(shù)為L(zhǎng)(μ,Σ).檢驗(yàn)均值向量μ=μ0

的似然比統(tǒng)計(jì)量為98第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量比式的分子當(dāng)A0時(shí)達(dá)最大值，且最大值為故

以下來(lái)推導(dǎo)似然比統(tǒng)計(jì)量λ與T2的關(guān)系：99第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量利用分塊矩陣行列式的性質(zhì)(見(jiàn)附錄§4推論4.1)有:100第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量所以即101第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.2單總體均值向量的檢驗(yàn)--似然比統(tǒng)計(jì)量其中

否定域:其中

102第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

在一元統(tǒng)計(jì)中,討論均值的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題與求均值的置信區(qū)間,雖提法上不同,實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的.

下面介紹單個(gè)多元正態(tài)總體均值向量置信域的有關(guān)概念,它可以作為一元統(tǒng)計(jì)中置信區(qū)間的推廣.103第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

1.置信域

假設(shè)X(t)(t=1,2,…,n)來(lái)自p元正態(tài)總體Np(μ,Σ)(Σ未知)，由前面的討論可知或者104第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

任給置信度1-α,查F分布臨界值表得Fα滿足P{F≤Fα}=1-α,(3.2.1)則均值向量μ的置信度為1-α的置信域?yàn)樵撝眯庞蚴且粋€(gè)中心在X上的橢球.105第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

當(dāng)檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0時(shí)，若μ0落入該置信域內(nèi)，即則在顯著性水平α下，H0相容；若μ0沒(méi)有落入該置信域內(nèi)，則否定H0.

可見(jiàn)在多元統(tǒng)計(jì)中，討論均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也等價(jià)于求均值向量的置信域.106第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

例3.2.2

沿用例3.2.1的數(shù)據(jù),試求μ的置信度為95%的置信橢球.解由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算樣本均值X和樣本離差陣A及樣本協(xié)差陣S:107第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

S的特征值和單位正交特征向量為

λ1=200.4625,l1=(0.05084,0.9983,-0.02907)′,λ2=4.5316,l2=(-0.5737,0.05302,0.8173)′,

λ3=1.3014,

l3=(0.8175,-0.02488,0.5754)′.記由S-1的譜分解式：108第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

§3.2--置信域與聯(lián)立置信區(qū)間

并令Yi=(X-μ)′li(i=1,2,3),則μ的置信度為95%的置信橢球?yàn)?/p>

置信橢球的第一長(zhǎng)軸半徑為d1=(λ1)1/2c=10.3703,方向沿l1;第二長(zhǎng)軸半徑為d2=(λ2)