2023年云南省玉溪市華寧高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若直線2x+y+m=0與圓x2+2x+y2—2y—3=0相交所得弦長為26，則機(jī)=（）

A.1B.2C.75D.3

2.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體

3.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，

左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中

分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）.

<■HI

1

2

5

4.下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊8C、直角邊A8、AC,已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為上，記=貝!I

cos-a+sin2a

5.若函數(shù)￡d）=23-4值＞0,aRl）滿足f（l）=：,則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（-00,2]B.[2,+oo）

C.[—2,+oo)D.(-00,-2]

6.已知則下列不等式正確的是（）

|石一〉柩

A.1&-目＜柩_4B.4

C.卜"-.＜卜"-4D.卜"_力卜

7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z="（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知?！晔先簦??山）（3+2i）為純虛數(shù)，則a的值為()

,3322

A.----B.-C.--D.-

2233

V-2V2

9.過雙曲線3?-與=1（。＞。*＞0）的左焦點(diǎn)尸作直線交雙曲線的兩天漸近線于A,B兩點(diǎn)，若8為線段E4的中

ab"

點(diǎn)，且QBLE4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.6C.2D.75

10.正方體ABCO—ARCn，月（i=l,2,…,12）是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面4GB平行的直線

有幾條（）

A.36B.21C.12D.6

11.已知復(fù)數(shù)二滿足z（l-i）=2,其中i為虛數(shù)單位，則z-l=（）.

A.iC.1+zD.\-i

12.為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)兩科成績得到如圖所示的散點(diǎn)圖（兩坐標(biāo)軸單位長度

相同），用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是（）

y供語成績)

,M語文成績)

0l-----------------?

A.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，6的值為1.25

B.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，分的值為0.83

C.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，6的值為-0.87

D.線性相關(guān)關(guān)系太弱，無研究價(jià)值

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知關(guān)于x的不等式(6-層-4)(x-4)>0的解集為A,且A中共含有"個(gè)整數(shù)，則當(dāng)〃最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值

為.

14.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家

實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為加，中位數(shù)為〃，則機(jī)-〃=.

15.根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出/的值為.

S*-l

WhileSw9

S-S+/

/+2

EndWhile

Print/

16.函數(shù)y=的定義域?yàn)?/p>

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x-L-lnx.

(1)若/(同=彳-^一12在X=石,天(石。9)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/(^)+/(X2)>3-21n2；

(2)若對于任意,直線丫=區(qū)+人與曲線y=/(x)都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

18.（12分）如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD±

面ABC。，瓦廠分別為棱AB,PC的中點(diǎn).

（1）求證：E列平面

（2）求二面角P—EC-。的正切值.

19.（12分）如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的正方形,側(cè)面尸4）為正三角形,且面PAD±

面ABC。，分別為棱A8,PC的中點(diǎn).

（1）求證：EF//平面PAD；

（2）（文科）求三棱錐B-EFC的體積；

（理科）求二面角產(chǎn)一EC-。的正切值.

20.（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考

試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：

7863331

S9RR7763J

9R66S

若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.

（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；

（2）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.

頻率

組別分組頻數(shù)頻率

組距

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

收率Ml甄

0.0$?一一「一一!——―力一―*1

1???I

0.041一—一.?x?

0607080$0100

①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

②若從所有員工中任選3人，記X表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)如圖，四棱錐尸一ABCO中，24，平面48。。，AB=BC=2,CD=AD=S，ZABC=120°.

(I)證明：BD±PCt

空,求Q4的長.

(II)若/是PO中點(diǎn)，8M與平面Q43所成的角的正弦值為

10

22.(10分)已知函數(shù)g(x)=lnx-/nx-l.

(1)討論g(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/(x)=xg(x)在(0,+oo)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1,x2,且不<々，證明In玉+ln%2>2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓*2+2x+y2_2y_3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+1)2+(y-l)2=5，圓心坐標(biāo)為(-1,1)，半徑為石，因?yàn)橹本€2x+y+加=0

與圓/+2%+、2一2^-3=0相交所得弦長為26,所以直線2%+丁+/〃=0過圓心,得2乂(-1)+1+"2=0,即加=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

3.A

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x5=20,利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率.

【詳解】

解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，

基本事件總數(shù),7=4x5=20,

其和等于n包含的基本事件有：(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4個(gè)，

41

,其和等于11的概率0=與=丁

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

AT1

根據(jù)以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比求得一匕=一，即tana的值，由此求得sina和cosa的值，進(jìn)而求

AB2

得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

IAC］112

由于直角邊AC、A8為直徑的半圓的面積之比為一，所以一=-,即tana=一，所以sina=-7=,cosa=-7=,

4AB22J5

,4cl28

所以cos-a+sin2a=—+2x-^x-^r=—.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

由f(l)=編a2=-,

qq

；.a=:或a=j舍)，

j|2X-4|

即f(x)=(9.由于丫=3-4|在(-8,2］上單調(diào)遞減,在［2,4?>)上單調(diào)遞增,所以人)在(-8,2］上單調(diào)遞增,在12,+00)上單調(diào)遞減,

故選B.

6.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng).

【詳解】

已知a＞/?＞0,賦值法討論”＞人＞0的情況：

（1）當(dāng)a〉。？1時(shí)，令。=2,b-\t貝q＜|\/^-4，K"-q＞卜",排除B、c選項(xiàng)；

（2）當(dāng)0＜方＜。＜1時(shí)，令a=g,0=；，則|右-0＞|括一《，排除A選項(xiàng).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條

件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng)，是一種簡單有效的方法，屬于中等題.

7.C

【解析】

化簡復(fù)數(shù)為a+勿（。、OeR）的形式，可以確定z對應(yīng)的點(diǎn)位于的象限.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)2=一=3?=-（2”產(chǎn)）=一1一2『

故復(fù)數(shù)二對應(yīng)的坐標(biāo)為（-1,-2）位于第三象限

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡可得3+2a+（2-3a）i,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知原式為3+2a+（2-3a）i,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，

（3+247=03

所以c八="=一彳.

2—3aH02

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

b

由題意可得雙曲線的漸近線的方程為丁=±2》.

a

8為線段E4的中點(diǎn)，OB1FA

：.OA=OF=c,則人4。尸為等腰三角形.

:./BOF=4B0A

由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得ZBOF=ZxOA

:.ZBOF=ZBOA=ZxOA=60°

/.-=tan60°=V3,即02=3/.

a

:.雙曲線的離心率為e=￡="一+”=—=2

aaa

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角

形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對于求解曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出區(qū)。，代入公式6=色；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，仇c的齊次式，轉(zhuǎn)化為c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不

等式），即可得e（e的取值范圍）.

10.B

【解析】

先找到與平面AGB平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.

【詳解】

考慮與平面AG8平行的平面片乙A，平面片0片"，平面A8鳥鳥鳥小,

共有C；+C；+C；=21,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.

11.A

【解析】

先化簡求出z,即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)閦(l-i)=2,

22(1+。2(1+0

所以z=u=

(1-00+02

所以z-l=l+i—l=i

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬于簡單題目.

12.B

【解析】

根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.

【詳解】

散點(diǎn)圖里變量的對應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線附近，且比較密集，

故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，

且直線斜率小于1,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查散點(diǎn)圖的理解，側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

討論a<O,a=O,a>O三種情況，a<0時(shí),根據(jù)均值不等式得到a+：=—(-a-1)<-1=-4,計(jì)算

等號成立的條件得到答案.

【詳解】

已知關(guān)于x的不等式(ax-a1-4)(x-4)>0,

44

①4Vo時(shí)，[x-(a+—)](x-4)<0,其中a+—VO,

aa

4

故解集為(aH—,4),

a

4

當(dāng)且僅當(dāng)-〃=一一,即。=-1時(shí)取等號，

a

44

???〃+—的最大值為-4,當(dāng)且僅當(dāng)〃+—=-4時(shí)，4中共含有最少個(gè)整數(shù)，此時(shí)實(shí)數(shù)。的值為-1；

aa

②a=0時(shí)，-4(x-4)>0,解集為(-8,4),整數(shù)解有無窮多，故。=0不符合條件；

44

③a>0時(shí)，[x-(a+—)](x-4)>0,其中。+-24,

aa

4

.??故解集為(-8,4)U(a+—,+oo),整數(shù)解有無窮多，故不符合條件；

a

綜上所述，a=-1.

故答案為：-L

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

14.360

【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積5=0.3,第二塊小矩形的面積S?=0.4,,面積和超過0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解,

然后再求得平均數(shù)作差即可.

【詳解】

第一塊小矩形的面積5,=0.3,第二塊小矩形的面積52=0.4,

故〃=2000+05-03=3000；

0.0002

而加=lOOOx0.3+3(X)()x0.4+500()x0.18+(70(X)+9000)x0.06=3360,

故m—n=360.

故答案為：360.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.7

【解析】

表示初值5=1,1=1,分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.

【詳解】

S=l,i=l

第一次循環(huán)：S=l+l=2,i=l+2=3；

第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循環(huán)：5=5+5=10,1=5+2=7；

S=10>9,循環(huán)結(jié)束，輸出：i=7.

故答案為：7

【點(diǎn)睛】

本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.(0,1]

【解析】

x>0

由題意得｛log苫20'，解得定義域?yàn)?0,1].

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析(IDb>-\n2

【解析】

(1)由題X>0,/(月=1+3-J由f(X)在X=X1,X2(X#X2)處導(dǎo)數(shù)相等，得到ra)=r(W)=/〃，得

11,八

-----------H-m=()

<玉西

11?/

------------1-1-m=()

x2x2

由韋達(dá)定理得，+」-=l,由基本不等式得%>2j/，得X/％2>4,由題意得

玉X2、

/(%)+/(￡)=玉W-In(玉％2)—1,令/=%>4,則玉々一ln(%%2)—1=，一Im—1,令

g⑺=/—In/—中>4),,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明g⑺>g(4)=3-21n2.

⑵由〃得,_“一：一^一"，令"⑴"—,

XX

利用反證法可證明證明/?(%)<1恒成立.

由對任意丘(—』)，M%)乂只有一個(gè)解，得〃(x)為(0,物)上的遞增函數(shù)，.以同=京巴匕!NO得

2/?

h>-------lax+1,令加(x)=--—lnx+l(x>0),由此可求人的取值范圍..

【詳解】

1

2----------1-1-m=0

得：X

令/'（石）=/'（工2）=加，

1?八

2----------1-1-/77=0

[x2

11?

由韋達(dá)定理得一+—=1

七超

即%+%2=%。％2>2"也,得X1?々>4

(xj+/(X2)=(尤1+%2)——?------------(InXj+Inx^)

\X\X27

=石赴一ln(x%2)-l

令r=玉>4,Ulll=z-ln/-l,令g(r)=r-lnf-l(r>4),

則g'(，)=l一;>0“>4),得g(/)>g(4)=3—21n2

(ID由.f(x)"+)得“x—Tx”

K-

X

1?,

Ax------Inx-b

令〃(x)=-...............，

X

貝!lx-0+,xr+oo,〃(x)->1

下面先證明〃（x）<l恒成立.

若存在不?0,”），使得〃（%）21,?.?X-0+,人⑴――，且當(dāng)自變量x充分大時(shí)，〃（6「一=山.<],

X

所以存在玉G（O,Xo）,W€（%+00）,使得〃〃（W）<1,取左=0^伊（%）,//（%2）｝<1,則.丫=%與尸〃（力

至少有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾.

—+lnx+/?-l

由對任意丘（—/），〃（%）=&只有一個(gè)解，得〃（X）為（0,”）上的遞增函數(shù),

/.//(x)=-------；-------20

RGIO

得〃N----lnx+1,令加(x)=------lnx+l(x>0),貝!=——=—

XXXX

wx

得02(),mx=〃?(2)=-ln2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力屬難題.

18.(1)見證明；(2)叵

3

【解析】

(1)取尸。中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形，從而EF\\AG,得證線面平行；

(2)取AO中點(diǎn)O,連結(jié)尸。，可得P01.面ABC。，連OB交CE于可證NPMO是二面角P-EC-。的平

面角，再在A2WO中求解即得.

【詳解】

(1)證明：取尸。中點(diǎn)G,連結(jié)GRAG

-.GF為4PDC的中位線，.?.GF//CD且GF=LCD,

2

又AE//CD且.?.Gf7/A￡且GF=A￡,

2

.?.EfG4是平行四邊形，則EA||AG,

又EF(Z面24。，AGu面PAD,

.?.￡F〃面PAD；

(2)解：取AO中點(diǎn)。，連結(jié)尸O,

,面PAO_L面ABC￡>,△加□為正三角形，

.?.20_1面45。，且P0=￡,

連0B交CE于M,可得Rt^EBC%RtQAB,

：.ZMEB=ZAOB,則ZMEB+ZM6E=90°,即OMLEC.

連PM,又POLEC,

可得EC_L平面POM,則PM_LEC,

即ZPM0是二面角P-EC-D的平面角，

在RQEBC中,BM=BEBC==^-,OM=OB-BM=—

CE55

???tanNPMO,即二面角P-EC-D的正切值為叵.

0M33

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行證明，考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角，然后證明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中計(jì)算.

19.（1）見解析（2）（文）立（理）姮

63

【解析】

（1）證明：取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,

TGF為△PDC的中位線，，GF〃CD且

又AE〃CD且，GF〃AE且GF=AE,

/.EFGA是平行四邊形，則EF/7AG,

又EF不在平面PAD內(nèi)，AG在平面PAD內(nèi)，

；.EF〃面PAD；

（2）（文）解：取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,

PADlffiABCD,△PAD為正三角形，APOlffiABCD,且

又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，，F(xiàn)到面ABCD距離4=生=追，

22

故VB-EFV=VF-BCS——x—xlx2x;

3226

（理）連OB交CE于M,可得RtAEBC^RtAOAB,

.,.ZMEB=ZAOB,貝（JNMEB+NMBE=9O°,BPOM±EC.

連PM,又由（2）知PO_LEC,可得EC_L平面POM,貝!|PMJLEC,

即NPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在RtAEBC中，翠祟=華，

:.OAf=OB-,

5

tanZPMO—，

OM3

即二面角P-EC-D的正切值為迫I.

3

【方法點(diǎn)晴】

本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法:

①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的

特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性

質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題(1)是就是利用方法①證明的.

Q3

20.(1)—；(2)①82,②分布列見解析，E(X)=-

【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算

即可；

(2)①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意X服從的是二項(xiàng)分布，不是超幾何分布,

利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.

【詳解】

(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件A,

貝!JP(A)=3^=V，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為2.

(2)

頻率

組別分組頻數(shù)頻率

組距

1

1[60,70)20.01

10

3

2[70,80)60.03

10

2

3[80,90)80.04

2

4[90,100]40.02

5

1342

@65x—+75x—+85x—+95x—=82

10101010

估計(jì)所有員工的平均分為82

41

②X的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為「=五=丁

:.P(X=0)=

⑸125

P(X=3)=

X的分布列為

X0123

6448121

P

125125125125

.?.數(shù)學(xué)期望E(X)=3xg=|.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算以及二項(xiàng)分布期望的問題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計(jì)值等知識，是一道容

易題.

21.(I)見解析；(D)V6

【解析】

(I)取AC的中點(diǎn)。，連接。8,00，由AB=8C,4)=8,得民O,。三點(diǎn)共線，且ACLBZ),又如，B4,

再利用線面垂直的判定定理證明.

(II)設(shè)B4=x,則PB=G+4,PD=d￡+7,在底面ABC。中，BD=3,在^PBM中,由余弦定理得：

PB2=BM2+PM2-2-BM-PM-cos4PMB，在AD8M中，由余弦定理得

DB2=BM2+DM2-2-BM-DM-cosN〃監(jiān)，兩式相加求得8/=；皤，再過。作，84,則DHJ_

nu

平面即點(diǎn)。到平面Q46的距離，由M是PO中點(diǎn)，得到M到平面的距離——，然后根據(jù)BM與平面

2

RW所成的角的正弦值為型求解.

10

【詳解】

(I)取AC的中點(diǎn)。，連接。8,00,

由AB=BC,AD=CD,得3,0,。三點(diǎn)共線，

且AC_L3O,又ACr^PA=A,

所以3D，平面PAC,

所以BO_LPC.

<n)設(shè)PA=x，PB=\lx2+4>PD=\IX2+7>

在底面ABC。中，BD=3,

在△夫瓶中，由余弦定理得：PB2=BM2+PM2-2-BM-PM-cos"MB，

在4DBM中，由余弦定理得施2=8,+皿2-2-BM-DM-cos4DMB，

兩式相加得：DB2+PB2=2BM?+2DM?，

2

所以/+13=2BM+21&+7

2

\/

BM=心

過。作。"J.8A,則E>”_L平面