導數(shù)及定積分知識點總結及練習經(jīng)典

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦導數(shù)及定積分知識點總結及練習經(jīng)典導數(shù)的應用及定積分

（一）導數(shù)及其應用

1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是lim

Δx→0

Δy

Δx＝limΔx→

f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0

Δy

Δx＝limΔx→

f(x0＋Δx)－f(x0)Δx。2．導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率，即k＝f′(x0)＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

.

3．函數(shù)的導數(shù)

對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)．當x變化時，f′(x)便是一個關于x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱為導數(shù))，即f′(x)＝y(tǒng)′＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

.

4．函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0。

5．常見函數(shù)的導數(shù)

(xn)′＝__________.(1

x)′＝__________.(sinx)′＝__________.(cosx)′＝__________.

(ax)′＝__________.(ex)′＝__________.(logax)′＝__________.(lnx)′＝__________.（1）設函數(shù)f(x)、g(x)是可導函數(shù)，則：

(f(x)±g(x))′＝________________；(f(x)·g(x))′＝_________________．（2）設函數(shù)f(x)、g(x)是可導函數(shù)，且g(x)≠0，??

??

f(x)

g(x)′＝___________________.

（3）復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′.即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．

6．函數(shù)的單調(diào)性

設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，

(1)假如在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在此區(qū)間單調(diào)__________；(2)假如在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)a>0)；④?b

a

sinxdx＝－cosx|ba

；

⑤?b

acosxdx

＝sinx|ba；⑥

?

b

a

dxex＝ex|ba；

⑦?

b

a

dxax

＝axlna|b

a(a>0且a≠1)．

1．若直線y＝－x＋b為函數(shù)y＝1

x的圖象的切線，求b及切點坐標．

2．曲線y＝2

3x2在點(3,6)處的切線與x軸、直線x＝2所圍成的三角形的面積為

________________．

3．設y＝sinx

1＋cosx，－π0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在x∈[－1,1]內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍；

(3)若對隨意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范圍．

9．設f(x)＝－13x3＋1

2

x2＋2ax.

(1)若f(x)在(2

3

，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)當03，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．

10．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(元/噸)之間的關系為P＝24200－1

5x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x元．問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多

少噸產(chǎn)品才干使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)．

11．計算?

-3

3

(9－x2－x3)dx的值；

12．求下列定積分：(1)?

3

1

?

???2x－1x2dx(2)?9

4x(1＋x)dx(3)

?

26

π

πcos2xdx（4）

?

-2

2

2|x－x|dx.

13．求直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積．

6題：(1)由已知得x>0，故函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．∵f′(x)＝a＋ax2－2x，∴f′(2)＝a＋a4－1＝0，∴a＝4

5.

∴f′(x)＝45＋45x2－2x＝2

5x

2(2x2－5x＋2)，

令f′(x)>0，得02，令f′(x)0恒成立，由于f′(x)＝a＋ax2－2

x＝

ax2－2x＋a

x

2，所以需x>0時ax2－2x＋a≥0恒成立，即a≥2x

x2＋1

對x>0恒成立．

由于2xx2＋1

＝2x＋1x≤1，當且僅當x＝1時取等號，所以a≥1.

7題：由于f(x)在x＝－1時有極值0，且f′(x)＝3x2

＋6ax＋b.

所以???

??

f′(－1)＝0f(－1)＝0，即?

????

3－6a＋b＝0

－1＋3a－b＋a2

＝0，

解得?

??

??

a＝1

b＝3，或?

??

??

a＝2

b＝9.

當a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去；

當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．當x∈[－3，－1]時，f(x)為減函數(shù)；當x∈[－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，

所以f(x)在x＝－1時取得微小值．因此a＝2，b＝9.8題：(1)∵f′(x)＝3x2

＋2ax－a2

＝3(x－a

3

)(x＋a)，

又a>0，∴當xa3時，f′(x)>0；當－a0，∴a>3.

(3)∵a∈[3,6]，∴a

3

∈[1,2]，－a≤－3，又x∈[－2,2]，∴當x∈[－2，a3)時，f′(x)0，得a>－1

9，所以，

當a>－19時，f(x)在(2

3

，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間．

(2)令f′(x)＝0，得兩根

x1＝

1－1＋8a2，x2＝1＋1＋8a

2

，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增．由于02

＋6a<0，所以f(4)<f(1)，

所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)＝8a－403＝－16

3，得a＝1，x2＝2，從而f(x)在[1,4]

上的最大值為f(2)＝10

3

10題：每月生產(chǎn)x噸時的利潤為

f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x)＝－15

x3＋24000x－50000(x≥0)．

由f′(x)＝－35

x2

＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．

因f(x)在[0，＋∞)內(nèi)惟獨一個點x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值點，且最大值為：f(200)＝－15

×2022

＋24000×200－50000＝3150000(元)

答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元．11題由定積分的幾何意義得

?

-3

3

9－x2

dx＝π×32

2＝9π

2

，

?-3

3x3dx＝0，由定積分性質(zhì)得

?

-3

3

(9－x2

－x3

)dx＝

?

-3

3

9－x2

dx－

?

-3

3

x3dx＝

9π

2

.13題：(1)如圖所示