2021年河南省商丘市劉莊中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021年河南省商丘市劉莊中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.

Forpositivenumbersand

theoperation▲isdefinedas▲,whatis▲(2，▲(2，2))?

（

）A.

B.1

C.

D.

E.2參考答案：C2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

（

）A

B

C

D

參考答案：B略3.是第四象限角，，則等于()A. B.C. D.參考答案：B【詳解】∵α是第四象限角，∴sinα<0.∵，∴sinα＝，故選B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

（

）A．

B.C．

D.參考答案：D略5.

下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖?/p>

（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：A6.如圖，小明的父親飯后出去散步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報(bào)亭看10分鐘報(bào)紙后，用15分鐘返回家里，下面的圖像中表示小明的父親離家的時間與距離之間的關(guān)系的是

（

）參考答案：D略7.集合A=｛0，1,2｝，B=，則=（

）A.｛0｝

B．｛1｝

C．｛0，1｝

D．｛0，1,2｝

參考答案：C8.已知函數(shù)g（）=x+4﹣6，則g（x）的最小值是(

)A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣10參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令2+=t（t≥2），求得x，求出g（t）=t2﹣10，即為g（x）的解析式，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值．【解答】解：令2+=t（t≥2），則x=（t﹣2）2，g（t）=（t﹣2）2+4（t﹣2）﹣6=t2﹣10，即為g（x）=x2﹣10，x≥2，為遞增函數(shù)，即有x=2時，取得最小值﹣6．故選A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.已知函數(shù)f（x）=，則f（3）的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可．【解答】解：由分段函數(shù)可知，f（3）=f（2）﹣f（1），而f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣1，故選：B．10.已知全集，，則等于(

)A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若三角形的周長為l、內(nèi)切圓半徑為r、面積為s，則有.根據(jù)類比思想，若四面體的表面積為s、內(nèi)切球半徑為r、體積為V，則有V=________.

參考答案：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．

12.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是

參考答案：13.已知:(),則=_________參考答案：14.若

參考答案：

1215.已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R滿足f（﹣x）=f（x），且當(dāng)x≥0時，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（﹣x）=f（x），可知函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸可得當(dāng)x≥0時函數(shù)f（x）有2個零點(diǎn)，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∵f（0）=1＞0，根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸可得當(dāng)x≥0時函數(shù)f（x）有2個零點(diǎn)，即，∴，解得a＞2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍（2，+∞），故答案為：（2，+∞）【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用偶函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，若，則的最大值為_____．參考答案：由題得由題得所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最大值為,故填點(diǎn)睛:本題的難在解題思路,第一個難點(diǎn)就是把中的分母化簡成,第二個難點(diǎn)是得到后，如何求tanA的最大值.轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求cosA的最大值.17.（5分）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，若在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q落在△ABE內(nèi)部的概率是

．參考答案：考點(diǎn)： 幾何概型．專題： 計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 設(shè)正方形的邊長為1，求出S△ABE==，S正方形ABCD=1，即可求出點(diǎn)Q落在△ABE內(nèi)部的概率．解答： 由幾何概型的計(jì)算方法，設(shè)正方形的邊長為1，則S△ABE==，S正方形ABCD=1∴所求事件的概率為P=．故答案為：．點(diǎn)評： 利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1.(1)求證：BC1⊥AB1；(2)求證：BC1∥平面CA1D.參考答案：如圖，以C1點(diǎn)為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，所以·＝0－4＋4＝0，因此⊥，故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中點(diǎn)E，連接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，所以＝－，且ED和BC1不共線，則ED∥BC1，又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.19.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）當(dāng)x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[﹣，]，求函數(shù)g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）首先，結(jié)合輔助角公式，化簡函數(shù)解析式，然后，利用降冪公式進(jìn)行處理即可，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期進(jìn)行求解；（2）首先，化簡函數(shù)g（x）的解析式，然后，結(jié)合所給角度的范圍，換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1=2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值為，最小值為﹣3．∴值域?yàn)閇﹣3，]．【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了三角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差的三角公式等知識，屬于中檔題．20.（本小題滿分13分）如圖4，在平面四邊形中，,（1）求的值；（2）求的長參考答案：21.已知是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（Ⅰ）若，且，求向量；（Ⅱ）若，且與垂直，求與的夾角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）或；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）因?yàn)槭窃谧鴺?biāo)前提下解決問題，所以求向量，即求它的坐標(biāo)，這樣就必須建立關(guān)于坐標(biāo)的方程；（Ⅱ）求與的夾角的正弦值，首先應(yīng)想到求它們的余弦值，如何求，還是要建立關(guān)于它的方程，可由與垂直關(guān)系，確立方程來解決問題.試題解析：（Ⅰ），可設(shè)，

1分∴，，

2分∴

4分∴或.

6分（Ⅱ）∵與垂直，∴，即

8分∴，∴，

10分

，所以與的夾角的正弦值

12分22.退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢，某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20～80歲（含20歲和80歲）之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次繪制頻率分布直方圖，如圖所示，若規(guī)定年齡分布在60～80歲（含60歲和80歲）為“老年人”．（1）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來代替，可估算所調(diào)查的600人的平均年齡；（2）依據(jù)直方圖計(jì)算所調(diào)查的600人年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（3）如果規(guī)定：年齡在20～40歲為青年人，在41～59歲為中年人，為了了解青年、中年、老年人對退休年齡延遲的態(tài)度，特意從這600人重隨機(jī)抽取n人進(jìn)行座談，若從中年人中抽取了10人，試問抽取的座談人數(shù)是多少？參考答案：【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】（1）根據(jù)題意，用頻率分布直方圖，每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來代替計(jì)算可得答案；（2）由頻率分布直方圖可得20～40歲的頻率為0.3，結(jié)合中位數(shù)的算法計(jì)算可得