剛體力學(xué)基礎(chǔ)

剛體力學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日二、平動和轉(zhuǎn)動AB平動:固聯(lián)在剛體上的任一條直線,在各時刻的位置始終保持彼此平行的運動特征:各點的速度和加速度一樣,因此,可以選取剛體上的任一點來代表其運動.轉(zhuǎn)動:剛體上所有各點都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動.特征:rpoX剛體上所有不在轉(zhuǎn)軸上的各個質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運動圓周軌道所在平面垂直于轉(zhuǎn)軸,稱為轉(zhuǎn)動平面.各個質(zhì)點在相同時間內(nèi)都轉(zhuǎn)過了相同的角度因此,描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動,可以在剛體上選取一個質(zhì)元作代表點P,選取坐標(biāo)軸oX,就可以用角坐標(biāo)、角速度、角加速度來定量描述。第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日三、定軸轉(zhuǎn)動O剛體vP×rr定軸參考方向θz角速度角加速度勻變速轉(zhuǎn)動時:第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日四、角速度o角速度矢量:大小:方向:與剛體轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法別.剛體上任一點p的線速度與角速度之間的關(guān)系可表示為:速度的大小為:其中是質(zhì)元P到轉(zhuǎn)軸的垂直距離第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日4-2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量

是決定剛體轉(zhuǎn)動的物理量,表明力的大小、方向和作用點對物體轉(zhuǎn)動的影響。一、力矩1.力矩的定義:2.物理意義3.定軸轉(zhuǎn)動的力矩

(1)力矩只有兩個方向，規(guī)定了正方向后，可用正負(fù)號表示力矩的方向;(2)若有n個力作用在剛體上，且都在與轉(zhuǎn)軸相垂直的平面內(nèi)，則合力矩為所有力對剛體力矩的代數(shù)和;doPz第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日(3)若力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi),則將這些力沿平面和轉(zhuǎn)軸方向分解，與轉(zhuǎn)軸平行的分力力矩為零，在平面內(nèi)的分力力矩的代數(shù)和即為這些力的合力矩;(4)由于剛體內(nèi)質(zhì)點間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，并遵守牛頓第三定律，所以這些力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零，即合內(nèi)力矩為零。對mi用牛頓第二定律：二、轉(zhuǎn)動定律zOrifiFimiii切向分量式為：外力矩內(nèi)力矩第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日對所有質(zhì)點求和：用M表示合外力矩,則有:M＝J轉(zhuǎn)動慣量矢量式:剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。2.力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。說明：1.與地位相當(dāng)，m反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。3.力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對定軸轉(zhuǎn)動只有兩個方向，所以用正負(fù)號表示方向。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。三、轉(zhuǎn)動慣量1.定義2.與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素①剛體的質(zhì)量及其分布;②轉(zhuǎn)軸的位置;③剛體的形狀。在（SI）中，J的單位：kgm2剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)點的質(zhì)量與這一質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。3.轉(zhuǎn)動慣量的計算質(zhì)量離散分布的剛體第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日若質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線分布體分布面分布為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的面密度注意只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計算其轉(zhuǎn)動慣量,一般剛體則用實驗求其轉(zhuǎn)動慣量。第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例1求長為L質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：取軸處為原點建立一維坐標(biāo)系如圖所示，dm=λdxA,C相距L/2第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2.平行軸定理前例中JC表示相對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2，有：cd推廣:若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行且相距d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為:,稱為平行軸定理。第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例2求質(zhì)量為m半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:在環(huán)上任取一小線元dlROdm其質(zhì)量第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例3求質(zhì)量為m，半徑為R，厚為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是。第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例4求質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例5求質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合

第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日3.(薄板)垂直軸定理

例如求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量已知yxz

圓盤

R

Cmx,y軸在薄板內(nèi)；z軸垂直薄板。zxy第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例4在半徑為R,質(zhì)量為M的均勻薄圓板上,挖出一個直徑為R的圓孔,孔的中心為R/2處,求所剩部分對通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。oZ解用補償法大圓板對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量被挖圓孔對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量被挖圓孔質(zhì)量計算用平行軸定理ZZ第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例5如圖所示，剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L,球半徑為R）解：第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日四、定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用解：例6

一個質(zhì)量為半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤），上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。()第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日0例7一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。已知摩擦系數(shù)為0.46，求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（J=mR2

）解：飛輪制動時有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。解：xOmgx例8一根長為l質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度。()重力力矩為：第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日一、力矩的功

----力矩的空間積累作用-----力矩的功5.3力矩作功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理Frds

合外力矩二、力矩的功率功對時間的變化率第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日若力矩是恒量:比較：三、轉(zhuǎn)動動能miri

設(shè)轉(zhuǎn)動角速度為，第i個質(zhì)元mi的速度為:其動能為:第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日整個剛體的動能為:剛體轉(zhuǎn)動動能平動動能轉(zhuǎn)動動能比較：四、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理:合外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的改變量.第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日-----剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理-----質(zhì)點的動能定理比較:四、機械能與機械能守恒機械能=勢能+平動動能+轉(zhuǎn)動動能剛體與質(zhì)點組成的系統(tǒng)，機械能包括：機械能守恒條件：機械能=勢能+平動動能+轉(zhuǎn)動動能=恒量剛體與質(zhì)點組成系統(tǒng)的機械能守恒定律第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例9質(zhì)量m半徑為R的均勻圓盤,可在水平桌面上繞中心軸轉(zhuǎn)動,盤面與桌面間摩擦系數(shù)為μ,求盤轉(zhuǎn)過一圈時摩擦力矩的功.解：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例10如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為0.01kg·m2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。（1）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體速度達到最大值的位置及最大速率。求：第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日5.4角動量角動量守恒定律一、質(zhì)點繞固定軸轉(zhuǎn)動的角動量(動量矩)質(zhì)點m以速率v、角速度繞z軸轉(zhuǎn)動,z軸垂直于轉(zhuǎn)動平面xoy。定義質(zhì)點m繞z軸的角動量為:方向:如圖所示;大小:

由于質(zhì)點繞固定軸轉(zhuǎn)動,則有:單位：第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日二、質(zhì)點的角動量定理及角動量守恒定律由牛頓第二定律:力矩:由于:則:質(zhì)點的角動量定理:質(zhì)點的角動量守恒定律:沖量矩第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日一質(zhì)量m的粒子位于(x,y)處,速度為并受到一個沿-x方向的力f,求它相對于坐標(biāo)原點o的角動量和作用在其上的力矩.解:第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日開普勒第二定律:在有心力作用下,從力心到運動質(zhì)點的矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積是常量證明:oab+t內(nèi),質(zhì)點矢徑掃過面積為t0tt0因質(zhì)點只受有心力作用,則常量常量說明:的大小不變,說明面積速度是恒量在空間的指向不變,說明質(zhì)點的軌跡在一個平面內(nèi)兩邊同除t第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日兩個重量相等的小孩從同一高度從靜止向上爬,相對于繩子,甲的速率是乙的兩倍,誰先到達頂點?若兩小孩重量不等,又如何?甲乙選取兩人為研究對象C=0方向向里方向向外=0甲相對于地的速度乙相對于地的速度因此,兩人同時到達二:若初始兩者速度都為零,(1)乙先到達頂點(2)甲先到達頂點取向里為正0第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日

剛體以角速度繞z

軸轉(zhuǎn)動。剛體上任一質(zhì)元繞z軸作圓周運動的角動量為：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量

由于每個質(zhì)元對z軸的角動量方向相同,剛體對z軸的角動量為:角動量是描述剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量四、剛體的角動量定理由轉(zhuǎn)動定律:第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日沖量矩表示合外力矩在t0t

時間內(nèi)的累積作用。單位：牛頓·米·秒角動量定理:作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的改變量。五、剛體的角動量守恒定律剛體角動量守恒定律:當(dāng)物體所受的合外力矩為零時,物體的角動量保持不變。定軸說明：1.若系統(tǒng)由幾部分構(gòu)成，總角動量守恒是指各部分相對同一轉(zhuǎn)軸的角動量；2.對微觀粒子和高速運動也適用，是物理學(xué)中的基本定律之一。第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日角動量守恒定律的兩種應(yīng)用：1.轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。2.轉(zhuǎn)動慣量可變的物體?；踊\動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速.ω第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例11一質(zhì)量為M長度為L的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度v和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求:1.碰撞后系統(tǒng)的角速度；2.碰撞后桿子能上擺的最大角度。）θLmM解：碰撞過程角動量守恒上擺過程機械能守恒，得：注意：橡皮泥和桿子的零勢點取得不同。第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例12如圖所示,質(zhì)量為m的粘土塊從距勻質(zhì)圓盤h處落下,盤的質(zhì)量M=2m,=60°,盤心為光滑軸。求碰撞后瞬間盤的0；P轉(zhuǎn)到x軸時盤的，。解：m下落到P點前一瞬間有碰撞時間極短，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對o的力矩可忽略，角動量守恒：對m+盤+地球系統(tǒng)，只有重力做功，機械能守恒。令x軸為零勢面,則：第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日解：由角動量守恒摩擦力矩作負(fù)功，有機械能損失。例13兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為1、2，求：1)對接后共同的角速度;2)對接過程中的機械能損失。J2J1ω1ω2ω第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例14人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為J0,啞鈴的質(zhì)量為m,初始轉(zhuǎn)速為ω1。求：雙臂收縮由r1變?yōu)閞2時的角速度及機械能增量。r2r1mmJ0ω1解：由角動量守恒非保守內(nèi)力作正功，機械能增加。第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例15一轉(zhuǎn)臺繞其中心的豎直軸以角速度ω0=πs-1轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0=4.0×10-3

kg·m2。今有沙粒以Q=2tg·s-1的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r=0.10m，求沙粒下落t=10s時，轉(zhuǎn)臺的角速度。解：在0ts內(nèi)落至臺面的沙粒質(zhì)量為：沙粒下落對轉(zhuǎn)臺不產(chǎn)生力矩作用（沖擊力與軸平行）,則任意時刻系統(tǒng)角動量守恒：t=10s時轉(zhuǎn)臺的角速度：第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例16如圖，一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO′自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始角速度為ω0，今有一質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)A點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？（設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑）。解：小球在A、C

點對OO′軸的轉(zhuǎn)動慣量為0，在B

點處的轉(zhuǎn)動慣量為mR2,對環(huán)+小球系統(tǒng),外力為重力,不產(chǎn)生力矩,角動量守恒：對環(huán)+小球+地球系統(tǒng),機械能守恒，取環(huán)心為零勢點，有：得：第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日由這幾式得：例17如圖，在光滑的水平面上有一輕彈簧（倔強系數(shù)為k）它的一端固定，另一端系一質(zhì)量為m′的滑塊。最初滑塊靜止時，彈簧呈自然長度l0，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內(nèi)滑動，當(dāng)彈簧被拉伸至長度l時，求滑塊速度的大小和方向。解：沿水平方向動量守恒:對子彈+滑塊+彈簧系統(tǒng),合外力做功為零，機械能守恒；合外力矩為零，角動量守恒：第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日本章小結(jié)一、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量及運動學(xué)公式1.物理量角速度角加速度2.線量和角量的關(guān)系3.勻角加速轉(zhuǎn)動公式二、轉(zhuǎn)動定律注意:J和M必須是一個剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量和力矩。若同時存在幾個剛體，原則上應(yīng)對每個剛體列出。三、轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量、形狀、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日計算轉(zhuǎn)動慣量的方法：(1)已知質(zhì)量分布，由定義式求轉(zhuǎn)動慣量：(2)已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：(3)已知剛體系中各個剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，由疊加法求解：四、剛體力學(xué)中的功和能(1)力矩的功：(2)剛體轉(zhuǎn)動動能定理：(3)機械能守恒定律：只有保守內(nèi)力作功時，系統(tǒng)動能與勢能之和為常量。五、剛體角動量和角動量守恒定律(1)角動量:(2)角動量定理:(3)角動量守恒定律:當(dāng)剛體(系統(tǒng))所受外力矩為零時，則剛體(系統(tǒng))對此軸的總角動量為恒量。第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為I的圓柱體可繞中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動,起初它靜止,今有一木塊M以由光滑平面的左方向右滑動,并切擦圓柱體上表面滑向等高的另一平面,設(shè)木塊和圓柱體間無滑動,求木塊滑過圓柱體后的速度oRMI解分析木塊滑過圓柱體的一瞬間,把木塊