四階行列式的計算

四階行列式的計算N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程;含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論;齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個向量能否用和向量組線性表示;討論或證明向量組的相關(guān)性;求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示;將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量;討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣；判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1行列式的定義用n八2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和；展開式共有n!項，其中符號正負(fù)各半；行列式的計算一階|a|=a行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階(n>=3)行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行(列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的幾種情況：I行列式某行（列）元素全為0；II行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；m行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；w奇數(shù)階的反對稱行列式。二矩陣i矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2.矩陣的運算（1） 加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結(jié)果；（2） 關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB=BA,稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=k^n|A|矩陣的秩（1） 定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩;（2）秩的求法 一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若AB=BA=1,稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；（2）性質(zhì)：（AB）八-1=（B~1）*（A?1）,（A'）八-1=（A八-1）'；（AB的逆矩陣，你懂的）（注意順序）（3） 可逆的條件：① |A|農(nóng)0； ②r（A）=n;③A->I;（4）逆的求解伴隨矩陣法A八-1=（1/|A|）A*；（A*A的伴隨矩陣~）②初等變換法（A：I）->（施行初等變換）（I：A八-1）用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B，貝0X=（A八-1）B；XB=A，貝0X=B（A八-1）；AXB=C，貝0X=（A八-1）C（B八-1）三、線性方程組線性方程組解的判定定理：r(A,b)農(nóng)r(A)無解；r(A,b)=r(A)=n有唯一解；r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解;特別地：對齊次線性方程組AX=0r(A)=n只有零解；r(A)vn有非零解；再特別，若為方陣，|A|泊0只有零解|A|=0有非零解齊次線性方程組(1)解的情況：r(A)=n,(或系數(shù)行列式D*0)只有零解;r(A)vn,(或系數(shù)行列式D=0)有無窮多組非零解。解的結(jié)構(gòu):X=c1a1+c2a2+“.+Cn?ran?r。求解的方法和步驟:①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；②寫出對應(yīng)同解方程組;移項，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù);表示出基礎(chǔ)解系;寫出通解。3?非齊次線性方程組(1)解的情況:利用判定定理。

2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+c1a1+c2a2+“.+Cn?ran?r。（3） 無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4） 唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。四、向量組1.1.N維向量的定義i=j

i==i注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2?向量的運算:（1）加減、數(shù)乘運算（與矩陣運算相同）；(2)向量內(nèi)積a'B二a1b1+a2b2+???+anbn；

3）向量長度|a|=Va'a=V(a1八2+a2八2+?“+an八2)(V根號)（4）向量單位化（4）向量單位化(1/a)a；（5）向量組的正交化（施密特方法）設(shè)暫1，設(shè)暫1，a2,線性無關(guān)，則…,anp1=a1，p2=a2-(a2'B1/B1'B)*p1，B3=a3-(a3'B1/B1'B1)*p1-(a3'p2/p2'B2)邛2, 3?線性組合（1）定義若B二klak，則稱卩是向1+k2a2+???+knan量組ai2 的一個線性組合，或稱p可以用1,a2,…,an向量組ai2 的一個線性表示。1,a2,…,an2)判別方法將向量組合成矩陣，記）,B=（a,卩）1,a2,…，an 1,a2,…，an若r(A)=r(B),則B可以用向量組ai21,a2,的一個線性表示；an若r(A)丹(B)則B不可以用向量組ai21,a2的一個線性表示。an求線性表示表達式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。4.向量組的線性相關(guān)性(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè)k1a1+k2a2+?“+knan=0,若k1,k2,…，kn不全為0稱線性相關(guān);

若k1,k2,…，kn全為0稱線性無關(guān)。（2）判別方法:①r(a■r(a①r(a■r(a1,a2,…,1,a2,…，an）＜n，線性相關(guān);an）=n，線性無關(guān)。②若有n個n維向量，可用行列式判別:n階行列式aij=0,線性相關(guān)（H0無關(guān)）（行列式太不好打了）5?極大無關(guān)組與向量組的秩5?極大無關(guān)組與向量組的秩i=j

i==i（1）定義極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩(2)求法設(shè)A=(a2),1將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量?定義對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)2使AX=2X則稱2是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值2的特征向量。?特征值和特征向量的求解：求出特征方程|2FA|=0的根即為特征值，將特征值2代入對應(yīng)齊次線性方程組(2IA)X=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。?重要結(jié)論：(1)A可逆的充要條件是A的特征值不等于0（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值;3）不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。六、矩陣的相似1定義對同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P?1AP=B,則稱A與B相似。2.求A與對角矩陣人相似的方法與步驟（求P和A）：求出所有特征值；求出所有特征向量;則A可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為A。3.求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣:方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型定義n元二次多項式f（x1,x2，…,xn）=Waijxixj稱為二次型，若aij=O（i農(nóng)j），貝U稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。