經(jīng)濟學(xué)中的計算方法 課程

二叉樹模型在股票及股票期權(quán)定價中的應(yīng)用摘要：本文介紹了期權(quán)在歷史中是怎樣形成的，并且在現(xiàn)代金融學(xué)快速發(fā)展的情況下，如何運用數(shù)學(xué)工具對其定價。期權(quán)定價領(lǐng)域中一個有用并常見的工具是所謂的二叉樹方法，這里的二叉樹是指代表在期權(quán)期限內(nèi)可能會出現(xiàn)的股票價格變動路徑的圖形，這里股票價格被假定為服從隨機漫步，在樹形的每一步，股票價格具有一定的概率會向上移動一定的比率，同時股票價格也具有一定的概率會向下移動一定的比率。在極限狀況，即步長足夠小時，二叉樹中的股票價格趨于對數(shù)正態(tài)分布，而對數(shù)正態(tài)分布正式布萊克-斯科爾斯模型關(guān)于股票價格的假設(shè)。關(guān)鍵詞：二叉樹期權(quán)定價與其它衍生產(chǎn)品相比,期權(quán)市場的發(fā)展有著更為漫長和曲折的歷史。期權(quán)交易的第一項記錄是在《圣經(jīng)·創(chuàng)世紀(jì)》中的一個合同制的協(xié)議，里面記錄了大約在公元前1700年，雅克布為同拉班的小女兒瑞切爾結(jié)婚而簽訂的一個類似期權(quán)的契約，即雅克布在同意為拉班工作七年的條件下，得到同瑞切爾結(jié)婚的許可。從期權(quán)的定義來看，雅克布以七年勞工為“權(quán)利金”，獲得了同瑞切爾結(jié)婚的“權(quán)利而非義務(wù)”。除此之外，在亞里士多德的《政治學(xué)》一書中,也記載了古希臘哲學(xué)家數(shù)學(xué)家泰利斯利用天文知識，預(yù)測來年春季的橄欖收成，然后再以極低的價格取得西奧斯和米拉特斯地區(qū)橄欖榨汁機的使用權(quán)的情形。這種“使用權(quán)”即已隱含了期權(quán)的概念,可以看作是期權(quán)的萌芽階段。也許令人印象更加深刻的是17世紀(jì)荷蘭的郁金香事件，瘋狂的投機損害了期權(quán)在人們心目中的形象，直至100多年后，倫敦期權(quán)交易也依然被認(rèn)為不合法。1990年，哈里·馬科維茨（HarryMarkowitz），威廉·夏普（WilliamSharp）和默頓·米勒（MertonMiller）獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，讓金融學(xué)進入了一個新領(lǐng)域，從此，人們開始更加科學(xué)化的研究股票的價值，使得傳統(tǒng)金融發(fā)展為現(xiàn)代金融，現(xiàn)代金融理論的核心問題是金融衍生物定價問題。1994年8月，國際互換和衍生協(xié)會(interllatiollalswaPsandderivativesassoeiation，ISDA)在一份報告中對金融衍生品做了如下描述“衍生品是有關(guān)互換現(xiàn)金流量和旨在為交易者轉(zhuǎn)移風(fēng)險的雙邊合約。合約到期時，交易者所欠對方的金額由基礎(chǔ)商品、證券或指數(shù)的價格決定”。期權(quán)和期貨是金融市場中比較重要的兩類金融衍生物，期權(quán)是持有人在未來確定時間，按約定的價格向出售方購入貨出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的協(xié)議，但他不承擔(dān)必須購入或賣出的義務(wù)，期權(quán)按合約中有關(guān)實施的條款可以分為歐式棄權(quán)和美式期權(quán)，歐式棄權(quán)只能在合約規(guī)定的到期日實施，美式期權(quán)可以在合約規(guī)定的到期日之前（包括到期日）任何一個工作日實施，齊全按合約中購入和銷售原生資產(chǎn)可以分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，看漲期權(quán)是一張在確定的時間，按照確定的價格有權(quán)購入一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的合約，看跌期權(quán)是一張在確定時間，按照確定的價格有權(quán)出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的合約。期權(quán)定價問題是金融衍生物定價問題中的重要問題之一，二叉樹是由考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox,Ross,Rubinstein）首先建立，本文在風(fēng)險中性的市場中如何利用復(fù)制來化解風(fēng)險，運用二叉樹模型對歐式棄權(quán)進行定價，并利用Matlab進行了二叉樹的多步實現(xiàn)。與馬克維茨的均值-方差分析相比，期權(quán)在風(fēng)險管理、組合投資方面具有著本質(zhì)的不同和明顯的優(yōu)勢。理論和實踐均表明，只要投資者合理的選擇其手中證券和相應(yīng)衍生物的比例，就可以獲得無風(fēng)險收益。這種組合的確定依賴于對衍生證券價值的合理預(yù)期。當(dāng)然，期權(quán)持有者也必須為自己獲得的權(quán)利付出“代價”，這就產(chǎn)生了期權(quán)定價問題。1.單時段二叉樹模型起點和終點分別記時刻0與時刻１，ｈ和t分別表示一枚硬幣的正面和反面，時刻０股票價格為Ｓ０＞０，時刻１股票價格將為Ｓ1（h）或Ｓ1（t），上升因子為ｕ＝Ｓ1（h）/Ｓ0，下降因子為ｄ＝Ｓ1（t）/Ｓ０，ｒ為利率假設(shè)０＜ｄ＜１＋ｒ＜ｕ，定義如果拋擲硬幣結(jié)果為正面衍生證券在時刻１的支付為V1（h）如果拋擲硬幣為反面衍生證券在時刻１的支付為V1（t）歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)是特殊的衍生證券歐式看跌期權(quán)在時刻１的支付為（Ｋ-Ｓ1）+歐式看漲期權(quán)在時刻１的支付為（Ｓ１－Ｋ）+，其中Ｋ是到期日的敲定價格。為確定衍生證券在時刻０的價格Ｖ0,我們將利用復(fù)制期權(quán)的方法。假設(shè)初始財富為Ｘ０，在時刻０買入Δ０份股票，現(xiàn)金頭寸為Ｘ０－Δ０，Ｓ０在時刻１股票與貨幣市場賬戶的資產(chǎn)組合價值為，詞選擇Ｘ榜０輔和根Δ權(quán)０顯，辮使得Ｘ街１威（沖Ｈ檢）＝Ｖ釋1慈（撕Ｈ咳）和Ｘ側(cè)1循（藥Ｔ育）＝Ｖ吊1該（孔Ｔ舌）白為使衍生洋證券得以復(fù)忌制必須有童如果選取賽，使得薦由以上對沖饒衍生證券的株空頭睜，到時刻1晉支付為多V估1扎的衍生證券花在時刻回0被的定價應(yīng)為里2.多時段彎定價模型憲我們將上面專單時段模型難推廣到多時收段混，陳考慮一個Ｎ夕時段二叉樹請資產(chǎn)定價模出型其中幼0＜d現(xiàn)＜１＋插r卻＜非u殊并且阻，廊定義如上抽。咽設(shè)綿V殲N忽為一個隨機橫變量旬（綢衍生證券在委時刻Ｎ的支知付商）。屑它取決于前次Ｎ次拋擲硬燦幣過程泥W社1秀,W伏2絞···故W系n，牙對于鵝0劈到帆N突之間的鍛n，中衍生證券在掘時刻迎n諷的價格有風(fēng)禍險中性定價沿公式治給出，像進一步悄在矩之下螞，鈔衍生證券的竊貼現(xiàn)價格是爛一個鞅虧，寬即扔n=0全，1，令···迷n-1班3.隱含波爹動率在期權(quán)玉定價中的應(yīng)彩用乞迷通過大量實浪證研究表明艇，應(yīng)用期權(quán)岔的市場價格抱和B-S公脅式推算出來愿的隱含波動凱率具有以下縫兩個方向的易變動規(guī)律：杰波動率微笑菊（vola半tilit饞ysmi郵les）與葛波動率期限橡結(jié)構(gòu)（vo續(xù)latil莫ityt緣erms管truct順ure）。果首先介紹波羨動率微笑。券Black獎-Scho燦les橡模型的假設(shè)糾前提是，標(biāo)睬的資產(chǎn)價格薪服從幾何布撇朗運動且其鍋波動率固定暑不變。拋開鄭復(fù)雜的數(shù)學(xué)候定義和推導(dǎo)嶼，我們單從賠形態(tài)上觀察池，分別以執(zhí)兆行價格和隱營含波動率為母橫縱坐標(biāo)軸碰，隱含波動抱率常常呈現(xiàn)初“吊微笑央”魄形態(tài)，即對檢于具有相同碼到期日和標(biāo)善的資產(chǎn)而執(zhí)誓行價格不同嫂的期權(quán)，這傭些期權(quán)的執(zhí)頓行價格偏離搭現(xiàn)貨價格越削遠(yuǎn)，那么它視的隱含波動依率越大，看春起來像個笑畏臉，波動率脂微笑也因此麻得名。為冊圖1：波動構(gòu)率微笑耽為什么會出榆現(xiàn)這種現(xiàn)象閣呢？有很多撫種解釋，第若一種是資產(chǎn)梳價格非正態(tài)疊分布說。這云種理論認(rèn)為洲，標(biāo)準(zhǔn)燙Black馳-Scho翻les串模型假定標(biāo)邀定資產(chǎn)價格殼服從對數(shù)正著態(tài)分布，收夸益率服從正叨態(tài)分布。但蹲是大量實證鴿檢驗發(fā)現(xiàn)收賀益率的分布殃更加顯示出縫尖峰厚尾的酷特征。這種改分布下收益讀率出現(xiàn)極端獵值的概率高悉于正態(tài)分布刪，如在上式危中采用收益肥率正態(tài)分布拆假設(shè)，則低農(nóng)估了較大和呢較小到期期算權(quán)價值出現(xiàn)救的概率相應(yīng)妖低估了深實心值和深虛值煩期權(quán)的價格拐。第二種是斃期權(quán)市場溢寬價說。從市村場上看，平新價期權(quán)以實魄值狀態(tài)結(jié)束借和以虛值狀逮態(tài)結(jié)束的概橫率基本相同叔，其時間價蓮值最大，供訂給和需求基捆本平衡。深射實值期權(quán)的識Delta嘴值接近待1結(jié)，在投資中羨的杠桿作用坐最大，需求磨量很大。但弓是除非投資侵者預(yù)期標(biāo)定授資產(chǎn)的價格博會有一個根晝本性的變動有，一般不會氧出售深實值寸期權(quán)，供給管量較小。因捐此深實值期谷權(quán)的溢價較軍高，其隱含害波動率也較債高。對相同鄉(xiāng)協(xié)定價的看炸漲期權(quán)和看燕跌期權(quán)，當(dāng)輕一個處于深淡實值狀態(tài)時振，另一個必部然處于深虛混值狀態(tài)。根劫據(jù)看漲看跌蹤平價關(guān)系，蜜這兩個期權(quán)漫的波動率應(yīng)標(biāo)當(dāng)大致相同喘。可見實值販看漲期權(quán)的攝溢價也會造岔成虛值看跌捐期權(quán)的溢價吵，從而呈現(xiàn)忍隱含波動率熄“笑微笑興”羽。當(dāng)然，除鳴了這兩種解陷釋，學(xué)者們燈還提出了其郊他解釋，如夢資產(chǎn)價格跳熱躍過程說、洋資產(chǎn)價格預(yù)耀期說、交易獅成本不對稱占說等等。姨再來解釋另艦一個概念丘——墻波動率期限襪結(jié)構(gòu)，也被找稱為波動率吉偏度，是指洲對于相同標(biāo)籠的物和執(zhí)行候價格而到期汪日不同的期芒權(quán)，這些期錄權(quán)的隱含波講動率同期權(quán)閣有效期限之廳間的關(guān)系，獵稱為波動率命期限結(jié)構(gòu)。飽一般來說，住當(dāng)短期的隱采含波動率較語低時，波動玻率往往是期狠限的遞增函屑數(shù)，因為這俱時波動率預(yù)訓(xùn)期會升高。率類似地，當(dāng)棕短期的隱含騎波動率較高解時，波動率獵往往是期限晉的遞減函數(shù)故，因為這時券波動率預(yù)期振會減小。殖拉國外的交易丈員常常結(jié)合挪波動率微笑獄和波動率期笛限結(jié)構(gòu)來為指期權(quán)定價，何方法是建立漲一個波動率卸矩陣（表格賭形式），一蠶邊填上期權(quán)讀的執(zhí)行價格森，一邊填上擇期權(quán)的剩余碰期限，表中予其它空位對顆應(yīng)的是由定施價模型推倒踢出的期權(quán)的設(shè)隱含波動率蛾。在任意給求定時間，交剝易員往往選宴定一些市場逢價格比較可吧靠的期權(quán)價延格數(shù)據(jù)（這嗓些期權(quán)大多嫩平值期權(quán)，笑非深度實值塊，非深度虛隨值期權(quán)，且池交易活躍）智，對應(yīng)于這尺些點的隱含男波動率可以故直接由市場羊價格來求得群，并輸入到儉波動率矩陣臟中，波動率周矩陣上其它嫌點的數(shù)據(jù)常沈常是通過線堤性插值計算和得出的。當(dāng)貝要對一個新顆的期權(quán)定價揪時，我們可懇以在波動率異矩陣中選取驗適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)休。舉個例子屠，如表慮1采所示，對一崗個濱9梢個月到期，俯執(zhí)行價格為慧100微美元介/店桶的原油期儀權(quán)定價，我林們可以從矩止陣中選取執(zhí)傍行價格為員100座美元湊/矛桶的那一列如期權(quán)隱含波奴動率來對此蕉9冒個月到期的值原油期權(quán)進蠟行插值，作絕為該期權(quán)隱拌含波動率的睡估計，此估匯計可以用于越Black蹈-Scho個les責(zé)公式以求出們期權(quán)價格，抗該價格將投拿資者對市場努價格預(yù)期考稠慮進去，因燈此具有較高尿的參考價值頭。租電期限撒執(zhí)行價格螺70到80儲90拘100貝110耕1個月史14.2孝13.0橋12.0唐13.1傷14.5口3個月?lián)?4.0芬13.0犧12.0需13.1燈14.2書6個月顏14.1嘗13.3皇12.5亭13.4革14.3易1年電14.7稀14.0奧13.5憑14.0組14.8反2年壤15.0蠻14.4奸14.0淡14.5王15.1蓮5年曬14.8赤14.6妙14.4與14.7恢15.0表一臥四：美式期去權(quán)定價模型維在歐式二叉柴樹的基礎(chǔ)上徐，接下來考憶慮美式二叉串樹。與歐式直二叉數(shù)不同溜的是，美式禽期權(quán)中的二早叉樹的最后集一個節(jié)點的并價格為歐式柱期權(quán)的價格僚，而之前任嚷一節(jié)點期權(quán)匪的價格等于贈以下數(shù)量的英極大值：故由互歐式期權(quán)撫所計算的值今；角提前行使期拾權(quán)的收益。買由此可見，筋美式期權(quán)中跌使用二叉樹此進行期權(quán)定縱價的原理與否歐式中的大毫致一樣，故桌計算多步二尤叉樹時，仍份然可以使用淚前面的思想允，將多步二蠅叉樹分解成武多個單步二驟叉樹。為此策，在下面的刷過程中先考綢慮沒事中的暴單步二叉樹糧的計算，在倚考慮多步二串叉樹的計算今。休1、單步二鄙叉樹微由于單步二催叉樹中的期內(nèi)權(quán)定價還與廁期權(quán)的類型恥有關(guān)，下面坡將分看漲與玩看跌期權(quán)分化類討論。帝（1）看漲堂期權(quán)昨股價上漲時際，期權(quán)的價光格為量，若股票下思跌時，則期巷權(quán)的價格為癢，貫由歐式期權(quán)赤價格模型顫可知，幸,此時（初飛始時刻），嘉將股票拋出個，則收益為假，（斗為股票在初克始時刻價格耗以及期權(quán)的納執(zhí)行價格）慚：甚情形1、若摔，則這份期旋權(quán)的最佳收淘益從為杜；旬情形2、若內(nèi)，則這份期庫權(quán)的最佳收兼益更仍為樂；所以，序涼野合（2）看跌泛期權(quán)憂股價上漲時芹，期權(quán)的價樣格為淹，若股票下呈跌時，則期礙權(quán)的價格為朽，由式（5較）可知，罩,此時（初然始時刻），伙將股票拋出祝，則收益為燈，（福為股票在初雁始時刻價格詳以及期權(quán)的禿執(zhí)行價格）千：航情形1、若賄，則這份期拔權(quán)的最佳收就益艷為晨；狠情形2、若釋，則這份期完權(quán)的最佳收粗益身仍為期；荒暑縱2、多步二仰叉樹宗上面我們討據(jù)論了陪單步生二叉樹模型勵給印美式懂股票期權(quán)定垮價。照接下來討論挺多步止二叉樹模型更對嚷美式股票期晨權(quán)定價。咱冤假設(shè)股票價圾格經(jīng)歷了內(nèi)個時間步的克演化到達(dá)期崗權(quán)到期日，購且每一個時謝間步長為僵，這可用一覺個晨步二叉樹搞描述（圖形枯省略）。若嬌股票的初始顏價格為塵，且每經(jīng)過叫一個時間步玩，股價或向棗上增加到當(dāng)利前價格的掙倍，或向下涼下降到當(dāng)前亡價格的噴倍，無風(fēng)險濤利率為的菌，則在第雨個時間步斜后，二叉樹挨上產(chǎn)生齒個節(jié)點，自蟻上而下分別哥用良表示，則見節(jié)點森對應(yīng)的股票寫價格為侵期權(quán)價值用趕表示。如果生在節(jié)點哲處期權(quán)沒有奸被提早執(zhí)行獻，則期權(quán)價撥值據(jù)可通過式(矮8.2)和躲(8.3)廚來計算，即周如果在節(jié)點演處期權(quán)被提愁早執(zhí)行是最掛優(yōu)的，則期真權(quán)價值芹就是提早執(zhí)此行的收益（咐payof峽f），令斯為期權(quán)的敲杏定價縮，寫對股票看漲體權(quán)，有淋伐態(tài)屑透威仗典鹿樸對股票看跌配權(quán)，有燈敢襲倦殿儲縫書與節(jié)顯然，美式漂股票期權(quán)在驅(qū)節(jié)點皮處的價值應(yīng)丙該取谷和循中的較大者坊，即涼筆儀裕重耳培陶總抬由于美式股定票期權(quán)在期徐權(quán)到期日的高價值是已知置的，因此美申式股票期權(quán)劃的定價應(yīng)該火由前向后逐甩步計算，這些也稱作向后繞推演（ba考ckwar告dsin首ducti替on）。先除由第枯步（期權(quán)到馬期日）的錄個節(jié)點上的姑期權(quán)價值推飲出第碗步對應(yīng)的債個節(jié)點上的傾期權(quán)價值，呼依此下去，索我們可以得前到初始時間妥上的期權(quán)價旁值這。彩4.應(yīng)用及蛇matla掙b程序崖funct篇iona韻mopti竟on(s0禍,E,rf滲,sigm恢a,T,d婦t,ds,蹲smax)史%%%%%粘%%%%%溪%%%%%稱%%%%%摔%%%%%陷%%湖%隱式法察求解美式看專跌期權(quán)獨%%%%%胖%%%%%絡(luò)%%%%%臟%%%%%毯%%%%%當(dāng)%勾%輸入?yún)⑾?shù)說明：綱%s0佳螺0時刻股價企%E僻財執(zhí)行價蠻%rf貸瘦無風(fēng)險利率姥%T制活到期日（單功位：年）虜%sig斤ma沖股票波動的媽標(biāo)準(zhǔn)差宏%sma辟x求股票最大值傷%ds弱黎股票價格離偏散步長濫%dt張訴時間離散步燭長地%%%%%犬%%%%%菊%%%%%駐%%%%%印%%%%%閣%惕初始常化%掩%%%%%漸%%%%%崖%%%%%查%%%%%消%%%%怎M=rou己nd(sm蔽ax/ds炎);騾N=ro庫und(T都/dt);苗ds=sm圓ax/M;島違%重新確樣定股票價格皺步長雷dt=T/祥N;罷吸聾%確廳定時間的步苗長肆%%%%%盯%%%%%逃%%%%%依%%%%%飼%%%%%券%%%%%止%%%涂forj繭=1:M今a(j)=攏0.5*r乘f*j*d份t-0.5姜*sigm數(shù)a^2*j狗^2*dt希b(j)=固1+sig女ma^2*滅j^2*d展t+rf*漲dt猾c(j)=盒-0.5*佳rf*j*暑dt-0.屆5*sig衫m(xù)a^2*塊j^2*d狹tend離%%%%%親%%%%%土%%%%%烘%%%%%路%%%%%僅%%%%%鼓%%%%%律%%秒L=zer姐os(M-范1,M-1霜);仍L(1,1澡)=b(1之);L(1假,2)=c拴(1);懼環(huán)迅%辯邊界條件由L(M