2022-2023學(xué)年上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最大值為，周期為，給出以下結(jié)論：①的圖象過(guò)點(diǎn)；②在上單調(diào)遞減；③的一個(gè)對(duì)稱中心是；④的一條對(duì)稱軸是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，4．已知集合，則為（）A． B． C． D．5．在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令，若隨機(jī)變量X的分布列如下：010.3則（）A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.76．參數(shù)方程（為參數(shù)）對(duì)應(yīng)的普通方程為（）A． B．C． D．7．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則A．672 B．673 C．1345 D．13469．若，則（）A． B． C． D．10．已知n，，，下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）A． B．C． D．11．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．12．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示線路圖，機(jī)器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數(shù)字作答）14．在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，則="______________________."15．正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的大小為_(kāi)_______16．設(shè)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線：，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求、的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，且定點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的值.18．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）滿足，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F（1,0）作直線交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，交軸于R點(diǎn)，若，證明：為定值.20．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于半徑為R的球，它們的側(cè)面與底面所成的角分別為求：（1）側(cè)面積的比；（2）體積的比；（3）角的最大值．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

運(yùn)用三角函數(shù)的輔助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，計(jì)算可得正確結(jié)論的個(gè)數(shù)．【詳解】函數(shù)的最大值為，周期為，

可得，可得，可得，

則，

則，正確；

當(dāng)，可得，

可得在上單調(diào)遞減，正確；

由，則錯(cuò)誤；

由，

可得正確．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運(yùn)用輔助角公式和周期公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

由二項(xiàng)分布的公式即可求得時(shí)概率值.【詳解】由二項(xiàng)分布公式：.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的公式，由題意代入公式即可求出.3、C【解析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4、C【解析】

分別求出集合M，N，和，然后計(jì)算.【詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先由概率和為1，求出，然后即可算出【詳解】因?yàn)?，所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及求由分布列求期望，較簡(jiǎn)單.6、C【解析】

將參數(shù)方程消參后，可得普通方程，結(jié)合三角函數(shù)值域即可判斷定義域.【詳解】參數(shù)方程（為參數(shù)），消參后可得，因?yàn)樗约垂蔬x：C.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，注意自變量取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)周期的定義，得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又由當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的計(jì)算，其中解答中根據(jù)函數(shù)周期性的定義，求得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析：由題意根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，再分別求得的值，從而可得結(jié)果.詳解：由常數(shù)項(xiàng)為零，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，且，，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用.10、B【解析】

利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)中的等式的正誤進(jìn)行判斷.【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)正確；由組合數(shù)的性質(zhì)可知，則C、D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查對(duì)這些公式與性質(zhì)的理解應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】令所以,選B.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等12、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

分兩步：第一步先計(jì)算從A到B的走法種數(shù)，第二步：再計(jì)算從B到C走法種數(shù)，相乘即可.【詳解】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯分析能力，是一道中檔題.14、【解析】

解：過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=215、【解析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，是基礎(chǔ)題.16、【解析】由正態(tài)分布中三個(gè)特殊區(qū)間上的概率知，∴．答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由，，能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可求出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線的參數(shù)方程代入，得到，由此借助韋達(dá)定理即可求出的值.【詳解】（1）曲線：，，曲線的直角坐標(biāo)方程為.曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.曲線消去參數(shù)，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入，得，即，，，.【點(diǎn)睛】參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，要巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以或同時(shí)平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有，，的形式，然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到普通方程；解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題時(shí)，對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不熟練的情況下，我們可以先化為直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰；對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)捷.18、(1)略；(2)【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而得到平面，由此可證得；（2）推導(dǎo)出，以B為原點(diǎn)為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，,，為等邊三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，由圖形可知二面角的平面角是鈍角，設(shè)二面角的平面角為，所以，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、(1);(2)-1.【解析】分析：（Ⅰ）由，根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，可求得，從而可得曲線的方程；（II）設(shè)，由，點(diǎn)在曲線上可得…，①同理可得…，②，由①②可得是方程的兩個(gè)根，為定值.詳解：（Ⅰ）由，可得點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）的距離等于之和等于．且AB，所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C（﹣1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲線E的方程為：；（Ⅱ）法1：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，∵過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l交曲線E于P，∴，∴…①同理可得：…②由①②可得λ1、λ2是方程x2+1x+2﹣2y02=0的兩個(gè)根，∴λ1+λ2為定值﹣1．法2：依題意得的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，則直線方程為代入橢圓方程得：設(shè)，則，由得：得同理得：則為定值。點(diǎn)睛：本題主要考查待定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.20、（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意求得首項(xiàng)和公比，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.21、（1）（2）（3）【解析】

分別計(jì)算出其側(cè)面積，再計(jì)算比值。分別計(jì)算出其側(cè)體積，再計(jì)算比值。根據(jù)在單調(diào)遞增，通過(guò)計(jì)算的最大值，求出角的最大值?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)O為球心，為正三棱錐底面ABC所在圓的圓心，兩個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)分別為P,Q,取BC的中點(diǎn)D,則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，同理=．，．:=．(2),這兩個(gè)三棱錐的底都是三角形，（3）設(shè)邊長(zhǎng)為a,,則而當(dāng)平面ABC通過(guò)球心O時(shí)，a最大為時(shí)，取最