力學(xué)專第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

力學(xué)專第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變1第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變§8.0彈性力學(xué)簡(jiǎn)介

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。

彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過某一限度時(shí)，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。絕對(duì)彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時(shí)，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。2第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變彈性力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史人類從很早時(shí)就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當(dāng)時(shí)人們還是不自覺的運(yùn)用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀(jì)開始的。彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過實(shí)踐，尤其是通過實(shí)驗(yàn)來探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。英國(guó)的胡克和法國(guó)的馬略特于1680年分別獨(dú)立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動(dòng)彈性力學(xué)進(jìn)入第二個(gè)時(shí)期。在這個(gè)階段除實(shí)驗(yàn)外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡(jiǎn)單構(gòu)件的力學(xué)問題。這些理論在后來都被指出有或多或少的缺點(diǎn)，有些甚至是完全錯(cuò)誤的。在17世紀(jì)末第二個(gè)時(shí)期開始時(shí)，人們主要研究粱的理論。到19世紀(jì)20年代法國(guó)的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論?？挛髟?822～1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運(yùn)動(dòng)(平衡)方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，打開了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。

第三個(gè)時(shí)期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時(shí)期。這一時(shí)期的主要標(biāo)志是彈性力學(xué)廣泛應(yīng)用于解決工程問題。同時(shí)在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計(jì)算方法。3第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

1855～1858年間法國(guó)的圣維南發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，可以說是第三個(gè)時(shí)期的開始。在他的論文中，理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果密切吻合，為彈性力學(xué)的正確性提供了有力的證據(jù)；1881年德國(guó)的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時(shí)彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布；1898年德國(guó)的基爾施在計(jì)算圓孔附近的應(yīng)力分布時(shí)，發(fā)現(xiàn)了應(yīng)力集中。這些成就解釋了過去無法解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，在提高機(jī)械、結(jié)構(gòu)等零件的設(shè)計(jì)水平方面起了重要作用，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。在這個(gè)時(shí)期，彈性力學(xué)的一般理論也有很大的發(fā)展。一方面建立了各種關(guān)于能量的定理(原理)。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和其他計(jì)算方法，如著名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問題開辟了道路，推動(dòng)了力學(xué)、物理、工程中近似計(jì)算的蓬勃發(fā)展。從20世紀(jì)20年代起，彈性力學(xué)在發(fā)展經(jīng)典理論的同時(shí)，廣泛地探討了許多復(fù)雜的問題，出現(xiàn)了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學(xué)，考慮溫度影響的熱彈性力學(xué)，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動(dòng)彈性力學(xué)和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結(jié)構(gòu)彈性理論也開始建立起來。此外，還建立了彈性力學(xué)廣義變分原理。這些新領(lǐng)域的發(fā)展，豐富了彈性力學(xué)的內(nèi)容，促進(jìn)了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。4第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變彈性力學(xué)的基本內(nèi)容彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個(gè)：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運(yùn)動(dòng)(或平衡)規(guī)律，它們有時(shí)被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時(shí)，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴(kuò)展的情況。這里主要使用數(shù)學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識(shí)。求解一個(gè)彈性力學(xué)問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個(gè)函數(shù)。從理論上講，只有15個(gè)函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實(shí)際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個(gè)函數(shù)，有時(shí)甚至只是物體的某些部位的某幾個(gè)函數(shù)。所以常常用實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。5第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對(duì)稱變形等方面。在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應(yīng)力的成對(duì)性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調(diào)方程(保證物體變形后連續(xù)，各應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系)發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機(jī)械運(yùn)動(dòng)本身外，還考慮其他運(yùn)動(dòng)形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對(duì)于彈性體的某一點(diǎn)的本構(gòu)方程，除考慮該點(diǎn)本身外還要考慮彈性體其他點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的影響，發(fā)展為非局部彈性力學(xué)等。但是，由于課程所限，我們?cè)谝韵聨坠?jié)里僅對(duì)彈性體力學(xué)作簡(jiǎn)單的介紹，為振動(dòng)部分和波動(dòng)部分作準(zhǔn)備。

6第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變§8.1彈性體力學(xué)－－彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變簡(jiǎn)介

彈性體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。其實(shí)，最基本的形變只有兩種：拉伸壓縮和剪切形變；扭轉(zhuǎn)和彎曲可以看作是由兩種基本形變的組成。彈性體的拉伸和壓縮形變1.正壓力（拉伸壓縮應(yīng)力）（1）其中，沿作用力截面的法線方向。例：如圖示，7第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變2.線應(yīng)變（相對(duì)伸長(zhǎng)或壓縮）絕對(duì)伸長(zhǎng)（或壓縮）與原長(zhǎng)之比稱為相對(duì)伸長(zhǎng)（或壓縮）。公式：（2）當(dāng)時(shí)，為拉伸形變；時(shí)，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時(shí)，還產(chǎn)生橫向形變，則對(duì)應(yīng)的應(yīng)變(或形變)為：（3）其中：設(shè)想直桿橫截面是正方形每邊長(zhǎng)為，橫向形變后為。橫向形變和縱向形變之比為泊松系數(shù)：（4）8第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變3.胡克定律當(dāng)應(yīng)變較小時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比：（5）或（6）其中：Y

稱為楊氏模量，反映材料對(duì)于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。設(shè)一縱波傳播中，t

時(shí)刻

x

處媒質(zhì)的變形情況，表示所取媒質(zhì)的長(zhǎng)度，x

處媒質(zhì)的位移為

y(x)，處媒質(zhì)的位移為，因此媒質(zhì)的應(yīng)變?yōu)椋?，取，即為x

處媒質(zhì)的應(yīng)變：所以：（7）9第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變4.拉伸或壓縮的形變勢(shì)能——屬于形變物體本身所有（8）同時(shí)有：彈性勢(shì)能密度，即單位體積中的彈性勢(shì)能：（9）10第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變§8.2彈性體的剪切形變

一、剪切形變當(dāng)物體受到力偶作用使物體的兩個(gè)平行截面間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng)時(shí)的形變叫做剪切形變。例如：用剪刀剪斷物體前即發(fā)生這類形變。二、剪應(yīng)力（1）其中：S為假想截面ABCD的面積，力F

在該面上均勻分布。三、剪切形變特征：表現(xiàn)為平行截面間的相對(duì)滑移。如圖示：切應(yīng)角若很小，則（2）11第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變四、剪切形變的胡克定律若形變?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)，剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變成正比：其中，N

為剪切模量，反映材料抵抗剪切應(yīng)變的能力。（3）通過理論推導(dǎo)，對(duì)于各向同性的，均勻的彈性體，有：上式說明了：三個(gè)量之間只有兩個(gè)是獨(dú)立的。其中：Y

是楊氏模量，反映材料抵抗拉伸與壓縮的能力；N

是剪切模量，反映材料抵抗剪切形變的能力；是泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。但幾個(gè)不同特性的量是有聯(lián)系的。12第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變同理，例如，在橫波中：當(dāng)時(shí)：因此，13第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變五、剪切形變的彈性勢(shì)能密度（單位體積的彈性勢(shì)能）：（5）注意：切變只能在固體中產(chǎn)生，流體中不會(huì)產(chǎn)生。所以流體中只能傳播縱波，而固體中既能傳播縱波，也能傳播橫波。14第14頁，共16頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變§8.3梁的彎曲和桿的扭曲

一、梁的彎曲中性層：一根桿中處于中間的既不拉伸又不壓縮的層，如圖中的層。對(duì)于純梁彎曲形變有：其中：R

和k

分別為中性層