2021-2022學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市西塬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市西塬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“若，則”的逆否命題是（

）A.若，則或

B.若，則C.

D.參考答案：D略2.已知直線y=﹣2x+1與橢圓+=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線x﹣4y=0上，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】將直線y=﹣2x+1與直線x﹣4y=0聯(lián)立，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，由A，B在橢圓上，兩式相減可知=﹣×=﹣，則=2，求得a2=2b2，橢圓的離心率e===．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可知：，解得：，則線段AB的中點(diǎn)（，），則x1+x2=，y1+y2=，由A，B在橢圓上，+=1，+=1，兩式相減，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，橢圓的離心率e===，故選D．3.已知函數(shù)，，如果存在實(shí)數(shù),使，則的值（

）A．必為正數(shù)

B．必為負(fù)數(shù)

C．必為非負(fù)

D．必為非正參考答案：A4.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，若（3﹣i）z=a+i（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件．【專(zhuān)題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，求解即可．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=bi，b≠0，∴（3﹣i）z=a+i，化為（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，∴b=a=，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則

，的大小關(guān)系是

（

）A

B

C

D

參考答案：A6.已知等比數(shù)列{an}中，a2=1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】首先由等比數(shù)列的通項(xiàng)入手表示出S3（即q的代數(shù)式），然后根據(jù)q的正負(fù)性進(jìn)行分類(lèi)，最后利用均值不等式求出S3的范圍． 【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，a2=1 ∴ ∴當(dāng)公比q＞0時(shí)，； 當(dāng)公比q＜0時(shí)，． ∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及均值不等式的應(yīng)用．7.若則

（

）A.

B.C.

D.參考答案：A8.若a＞b，c∈R，則下列命題中成立的是（）A．a(chǎn)c＞bc B．＞1 C．a(chǎn)c2≥bc2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】觀察四個(gè)選項(xiàng)，本題是考查等式與不等關(guān)系的題目，由不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行研究得出正解答案即可．【解答】解：A選項(xiàng)不對(duì)，由于c的符號(hào)不知，當(dāng)c＜0時(shí)，此不等式不成立；B選項(xiàng)不正確，當(dāng)b＜0＜a時(shí)，此不等式無(wú)意義；C選項(xiàng)是正確的，因?yàn)閏2≥0，故ac2≥bc2；D選項(xiàng)不正確，當(dāng)當(dāng)b＜0＜a時(shí)，此不等式無(wú)意義；故選C9.設(shè)命題p：?x＞0，log2x＜2x+3，則￢p為（）A．?x＞0，log2x≥2x+3 B．?x＞0，log2x≥2x+3C．?x＞0，log2x＜2x+3 D．?x＜0，log2x≥2x+3參考答案：B【考點(diǎn)】2J：命題的否定．【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，則命題p：?x＞0，log2x＜2x+3，則￢p為?x＞0，log2x≥2x+3，故選：B10.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離最小值為A．

B．

C．

D．3參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù))，則的值是______________.參考答案：0因?yàn)椋运詅′（a）=（a-b）（a-c），同理f′（b）=（b-a）（b-c），f′（c）=（c-a）（c-b）．

∴=0．12.橢圓的焦點(diǎn)、，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則△的面積為

。參考答案：9

13.若直線與圓相切，則為

。參考答案：214.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，利用倒序求和的方法得：；類(lèi)似地，記等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，且，試類(lèi)比等差數(shù)列求和的方法，將表示成首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式，即=

.參考答案：15.雙曲線x2﹣=1的漸近線方程是

．參考答案：y=±2x

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】漸近線方程是=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為=1，其漸近線方程是=0，整理得y=±2x．故答案為y=±2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．16.命題“如果直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則直線l垂直于平面α”的否命題是

；該否命題是

命題．（填“真”或“假”）參考答案：否命題：如果直線l不垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則直線l不垂直于平面α；真?！究键c(diǎn)】四種命題．【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用否命題的定義寫(xiě)出結(jié)果，然后判斷命題的真假．【解答】解：命題“如果直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則直線l垂直于平面α”的否命題是：如果直線l不垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則直線l不垂直于平面α；直線與平面垂直的充要條件是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，所以命題的否命題是真命題．故答案為：否命題：如果直線l不垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則直線l不垂直于平面α；真．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四種命題的關(guān)系，否命題的真假的判斷．．17.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.盒子有大小和形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球.（1）求在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率；（2）若抽到1個(gè)紅球記0分，抽到1個(gè)白球記1分，抽到1個(gè)黑球記2分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.參考答案：（I）設(shè)“第1次抽到紅球”為事件A，“第2次抽到紅球”事件B，則“第1次和2次都抽到紅球”就是事件AB．

（II）隨機(jī)變量可能取的值為0，1，2，3，4

隨機(jī)變量的分布列為01234

．

19.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（5分）（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)（為原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.（7分）參考答案：（1）由已知∴，又∴

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………（5分）（2）由題知，直線有斜率，設(shè)：，，，

由

消去得…（6分）

得……………（8分）∵,∴∴∵點(diǎn)在橢圓上，∴

∴∵即∴…（11分）∴

∴∴

∴

∴∴或故實(shí)數(shù)范圍是……（12分20.已知一幾何體三視圖如下（1）畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體外接球的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積；L7：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】（1）根據(jù)三視圖和直觀圖的關(guān)系即可畫(huà)出．計(jì)算各面的面積累加可得幾何體的表面積；（2）根據(jù)（1）中直觀圖可知，幾何體是正四棱錐，外接球的球心在高的中點(diǎn)上，即求解R．【解答】解：（1）三視圖該幾何體是正四棱錐的直觀圖，如下：底面為正方形，邊長(zhǎng)為2，其面積為：2×2=4．四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，斜高為：，底面邊長(zhǎng)為2．其面積為：4．∴該幾何體的表面積；4．（2）根據(jù)斜高為：，底面邊長(zhǎng)為2，可得高SO=．OA=，∴h=∴外接圓半徑r==則球的體積V==．21.已知函數(shù)f（x）＝alnx＋x2

（a為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若a＝－2，求證：函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；

（Ⅲ）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≤（a＋2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，，

故函數(shù)在上是增函數(shù)．

…………3分

（2），

當(dāng)，．

若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），

故函數(shù)在上是增函數(shù)，

此時(shí)．

若，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)是增函數(shù)．

故

．

若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），

故函數(shù)在上是減函數(shù)，

此時(shí)．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；

當(dāng)時(shí)，的最小值為，

相應(yīng)的x值為；

當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為．

…………9分

（3）不等式，

可化為．

∵，∴且等號(hào)不能同時(shí)取，

所以，即，

因而（）

令（），

又，

當(dāng)時(shí)，，，

從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），

所以在上為增函數(shù)，

故