中學(xué)高三上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷

中學(xué)高三上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷入得分

一、選擇題(共10題，共50分)

ttstn3a+cos3a

1、已知a=(4,-2),b=(cosa,sina)且aTJLbT,貝I]sina-cosa為()

A.2

9

B.5

c.3

3

D.-S

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】由題意得，因?yàn)閍'b,^4cosa-2sina=0t所以tana=2,

$tn3a+cos3a(stna+coscr)(sin2a-5lnaco5a+cos2a)sina+cosa

又sina-cosasina-cosasina-cosa?(1—sinacosa)

sina+cosatana+1sinacosatana2

=3sinacosa=

又sina-cosatana-1,且5

sina+cosa39

?(l-sinacosa)=3x弓=弓，故答案為：。

所以sina—cosaB

由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出tana,利用立方和公式

a3+b3=(a+b)(a2-afe+八)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式siMa+cos2a=1、二倍角公式

sin2a=25譏acosa把分子整理為Sina+cosa,再分子分母同除以cosa得到關(guān)于tana的代數(shù)式,

代入數(shù)值求出結(jié)果即可。

2、已知/1(x)是定義在(6+8)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的xe(0,+8),都有八/(x)—/。。2幻=3,

則方程f(x)一f‘(x)=2的解所在的區(qū)間是()

A.%

BG，1)

C.(1.2)

D.(23)

【考點(diǎn)】

【答案】c

【解析】令f(x)T°92X=<則八。=3/(”)=t+log2x注意到x的任意性，取％=t>0,則

")=t+的2t,由于f?=3,因此1。92t=3T又y=log2t-3+t是單調(diào)函數(shù)因此t=2是方

程的唯一實(shí)數(shù)根,所以f⑴=2+/做”則/"(")=而，故原方程2+1O92X-M2=2,即

l032X~而，令F(x)=lo32x-^2由于F(l)<0，F(xiàn)(2)>0因此函數(shù)F(x)在(1，2)上有零點(diǎn),即

該方程的根所在的區(qū)間是，故答案為：C.

根據(jù)題意設(shè)t=f(x)-Iog2X，則由已知可得f(t)=3代入上式求出t的值，進(jìn)而得到f(x)的

解析式再由二分法分析即可得到h(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間。

x2y2

3、過(guò)雙曲線至"涼一>0,b>°)的左焦點(diǎn)尸(一。，°)作圓/4-y2=層的切線，切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE

交拋物線)'2=4cx于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若°￡1=4°尸+°0),則雙曲線的離心率為()

1+4

K.~2~

,

B.T

i+F

c.~2~

D,而

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】由題意得，因?yàn)閨?！竱=。,|咱=。,。七，"，所以|EF|=b,因?yàn)?。E=X"+"),

所以|PF|=2瓦|PF'|=2a,

因?yàn)閨PFHPF’|=2a所以所以“

b=2a,卜+(芋=￡故答案為：D?

由直線和圓相切可得出IOF|=c,|OE|=a,OE_LEF,由勾股定理求出|EF|=b,

利用已知的向量關(guān)系得出|PF|=2b,|PF'|=2agp|PF|-|PF/|=2a,進(jìn)而

得到b=2a再結(jié)合雙曲線里c2=a2+b?的關(guān)系計(jì)算出離心率的值。

4、給出以下命題：

x2y2

⑴“0<tv1”是，，曲線T+匚1表示橢圓”的充要條件

⑵命題“若一=1,則算=1”的否命題為：“若，則%豐1”

（3）Rt』4BC中，|4C|=2,NB=90°/C=30°D是斜邊4C上的點(diǎn)，=以B為起

在

點(diǎn)任作一條射線BE交于E點(diǎn)，則點(diǎn)落在線段CD上的概率是2

⑷設(shè)隨機(jī)變量6服從正態(tài)分布N（°，l）,若P（《>1）=02,則P（T<^<0）=0.6

則正確命題有（）個(gè)

A.0

B.1

C.2

D.3

【考點(diǎn)】

【答案】A

t>0

{l-t>011

【解析】由題意得，（1）中，曲線表示橢圓滿足t*l-t,解得。<2或2<1,

所以是錯(cuò)誤的；（2）中命題“若刀2=1,則無(wú)=1”的否命題為：“若/*1,則X于1"，所以

是錯(cuò)誤的；⑶中，在RM/BC中，|4C|=2.Z.B=90°,zc=30°0是斜邊"上的點(diǎn),|CD|=\CB\

5

以8為起點(diǎn)任作一條射線BE交于E點(diǎn)，則點(diǎn)落在線段CD上的概率是5,所以示錯(cuò)誤的；（4）中根據(jù)正態(tài)

分布的圖象與性質(zhì)可知，隨機(jī)變量t服從正態(tài)分布N（0」），若P（1>1）=S2,

則P（TvfV0）=0.3,所以示錯(cuò)誤的，故答案為：A,

利用橢圓、概率、正態(tài)分布的簡(jiǎn)單性質(zhì)結(jié)合命題的真假判斷逐一分析得到結(jié)果。

5、執(zhí)行如圖程序，輸出3的值為（）

A.2015

1008

B.2017

2016

C.2017

2015

D.4032

【考點(diǎn)】

【答案】B

花-7為前2016項(xiàng)的和,

【解析】運(yùn)行此程序框圖可知，表示儲(chǔ)+2）一

所以運(yùn)行此程序框圖可知，所以輸出的

S=+（U）+…+（■羨-20、11_1008

刀=2<1-2017）=礪■。所以答案是：B?

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解程序框圖（程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線

及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形;一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭

頭的流程線；程序框外必要文字說(shuō)明）.

6、一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積是（）

A.

B.4+於

C.4+2M

D.4+點(diǎn)

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】由三視圖知該幾何體是三棱錐，全面積為

S=,X2X2+2X2X2+2X'X盧x22+(-JF)4+QX殍=4+2機(jī)

所以答案是：A

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解由三視圖求面積、體積的相關(guān)知識(shí)，掌握求體積的關(guān)鍵是求出

底面積和高；求全面積的關(guān)鍵是求出各個(gè)側(cè)面的面積.

#2y2

7、雙曲線"葭一貶—1（a>°'b>°）的離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為洞，則C的焦距等于（）

A.

D.4出

【考點(diǎn)】

【答案】c

【解析】漸近線方程為^^土焦點(diǎn)（c，°）到漸近線的距離代入點(diǎn)到直線的距離公式得到：

d——=b=p———D2T2

H?加,離心率e=￡=z,根據(jù)a+b=C,解得a=l,c=2,所以焦距2c=4.所以

答案是：c

8、《九章算術(shù)》之后，人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今

有女善織，日益攻疾（注：從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按

3°天計(jì)）共織39°尺布”，則從第天起每天比前一天多織（）尺布

1

A.2

8

B.1S

16

C.31

16

D.29

【考點(diǎn)】

【答案】D

_30x29_16

【解析】設(shè)公差為痣則$30=30al+=390,解得d=河所以答案是：D【考點(diǎn)精析】本

題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握前n項(xiàng)和公式：

6=叼jQT）d="G+%）

22才能正確解答此題.

9、設(shè)函數(shù)"X）=3sm（cox+。）（3>0~2<0<小圖像關(guān)于直線'=1■對(duì)稱，它的周期是，則

（）

A.I令k=l得：聯(lián)看所以「⑶=2sin（2x+3

因?yàn)椤涪?2s皿2x0+豆）=1,所以函數(shù)圖象不過(guò)點(diǎn)（°引，選項(xiàng)A不正確；

Innn2n

因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度為記大于半周期,，所以函數(shù)在區(qū)間［訪句上不單調(diào).所以選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)閒（II）=2s皿2x12+i）=°,所以點(diǎn)（五⑼是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)C正確；所

以答案是：C.

10、將某師范大學(xué)4名大學(xué)四年級(jí)學(xué)生分成2人一組，安排到4城市的甲、乙兩所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)，并推

選甲校張老師、乙校李老師作為指導(dǎo)教師，則不同的實(shí)習(xí)安排方案共有（）

A.24種

B.12種

C.6種

D.1°種

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】由題意得，4名大學(xué)生分成2人一組，安排到甲乙兩所學(xué)校，共有=6種不同的分法把張

老師和李老師作為指導(dǎo)教師,2種不同的安排方法，共有6x2=12種不同的安排方案,所以

答案是：Bo

二、填空題（共4題，共20分）

x<0,

{yM

11、若4為不等式組y-xW2表示的平面區(qū)域，則Q從-2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)中的

那部分區(qū)域的面積為.

【考點(diǎn)】

7

【答案】不

【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，分別求出直線與直線的交點(diǎn)，由圖可知掃過(guò)的面積為大三角形

11##7

減去小三角形的面積2乙乙2224

二項(xiàng)式(2%一或)

12、展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

【考點(diǎn)】

【答案】-16°

【解析】由題額意得，

二項(xiàng)式3一2的展開(kāi)式的通項(xiàng)為'一='舊產(chǎn)鼠-工)=(-1)「,26f%6-2r,

令r=3,所以74=(一1產(chǎn)2?優(yōu)=一160,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為一160。

log4x+%—3(%>0),

f(x)={1x

13、已知函數(shù)x—Q)+3(x40)，若/>(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為修因，則％-與|=

【考點(diǎn)】

【答案】3

…一Jog4x=-logix

【解析】由4

所以令9)=。得尸='膂X+3=￡

所以直線y=%-3和曲線.4的交點(diǎn)c橫坐標(biāo)九1,

直線y=%+3和曲線y=Q)的交點(diǎn)0橫坐標(biāo)為叼，

,?=巴

如圖，兩曲線關(guān)于對(duì)稱，直線和關(guān)于對(duì)稱；所以I」—“I一2

14、意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…，即

F(l)=F(2)=l-F(n)=F(n-l)+F(n-2)(n>3,n6此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、

化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列獨(dú)，1},“017=.

【考點(diǎn)】

【答案】1

【解析】由題意得，引入“兔子數(shù)列”：1,1,235,8,13,21,34,55,89,144,233,?一,

此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為1」，2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…

構(gòu)成以8項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以匕2017=瓦=1。

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用歸納推理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握根據(jù)一

類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理.

三、解答題(共7題，共35分)

15、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

(x=-2-3t,

在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為Iy=2—4t(為參數(shù)).它與曲線

C：(y-2)2-x2=1交于人B兩點(diǎn)

(D求的長(zhǎng)；

(2)在以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2也不)，求點(diǎn)到線段#8

中點(diǎn)M的距離.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得7t2-12t-5=°,

_12_5

設(shè)人B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為h和2則"+I='W2=

22

陰=7(-3)+(-4)-\tx-t2\=5j(U+t2)2-4小2=軍

rjIKA

(2)解：易得點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(-2,2),

“+..6

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得48中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

所以由t的幾何意義可得點(diǎn)到的距離為仍陽(yáng)=J(-3m+(一4產(chǎn),\7\=—

【解析】(1)由已知的條件把參數(shù)方程代入到曲線的方程化簡(jiǎn)可得關(guān)于t的方程，借助韋達(dá)定理找出t1與

t2的關(guān)系式代入到弦長(zhǎng)公式中求解即可。(2)由題意利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系，得出點(diǎn)P在平面

直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)并根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)得出點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，借助兩點(diǎn)間的結(jié)論公式求出結(jié)果即可。

16、設(shè)函數(shù)f(x)=sinx(cosx-辰nx)

(1)求函數(shù)f。)在血利上的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵設(shè)ZL4BC的三個(gè)角4、B、C所對(duì)的邊分別為。、Ac,且/⑻=0,a、b、居成公差大

SZH/1

于零的等差數(shù)列，求赤的值.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：由題意得/(")=sinx(cosx-^sinx)=^sin2x-^3sin2x

=sin(2x4-j)—y

J

因?yàn)閤C[0,捫，所以勿+M百缸

nnn3nnInnIn

xx7r

令，工2x4-3<2和亍*2x+3*<丁，解得°-—17和17&—)

所以函數(shù)/'(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔°'豆］'［五'W

.n耶n2nn

⑵解：由/'(B)=0,得加(28+?)=%所以2'+手=至，解得B=6,

由22比版成公差大于零的等差數(shù)列，得4b=a+版,

由正弦定理可得s出力+?inC=2,

又由4+B+C=幾，則/+°=T,即。=~A,

所以sin4+^sinC=sinA+=2

sinA$也不F

解得月6兒3,所以sinT

【解析】(1)利用三角恒等式變化化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f(x)在［0,n］

上的單調(diào)遞增區(qū)間。(2)由已知f(B)=。代入函數(shù)的解析式可求出B的值，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出

a、b、c的關(guān)系，結(jié)合正弦定理整理該式得到sinA+和sin0=2,再由三角形內(nèi)角和為1800轉(zhuǎn)化上式為

同角的三角函數(shù)式，利用兩角和差的正弦公式轉(zhuǎn)化即分別可求出A、C的角度，進(jìn)而得到結(jié)果。

17、已知直角梯形ABCD中，401DC,AD1AB,△CDE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AB=5.沿CE將△BCE

折起，使B至8處，且8cDE；然后再將△/IDE沿DE折起，使A至4處，且面力力^J.面CDE,AB'CE

和4⑷DE在面CDE的同根IJ.

B'

(I)求證：B'C1平面CDE；

(II)求平面B'AD與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.

【考點(diǎn)】

【答案】解：(I)證明：在直角梯形ABCD中，可算得4D=事,BC=2啊CE=2,EB=3

根據(jù)勾股定理可得8CEC,即：B,C1EC,又B'C_LDE,DEClCE=E,8'CJ.平面cDE；

(ID以C為原點(diǎn)，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則。(0,0,0),8'(0,0,2點(diǎn))，

,事

”強(qiáng)L0),￡(0,2,0),作/THLDE,因?yàn)槊?'DE_L面CDE,易知，/TH，面CDE,且=

從平面圖形中可知：”(金°)，J，"(%￥),易知面CDE的法向量為"1=(°，°，1)

設(shè)面PAD的法向量為“2=(4反同的,<>,且=郃3-2同=(毒-絡(luò)

+y-2-^z=0-*-ni，n23j——

+4-3=0"2=(4步,2而),8S,vn1(n2>=三==的

e十刀丫4解得lnllln2l

故所求平面B'AD與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為拼歹.

【解析】(1)由已知結(jié)合折疊特點(diǎn)得到B'C±DE,再利用勾股定理計(jì)算可得出BC±EC,結(jié)合線面垂直

的判定定理即可得證B1C±平面CDE。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出

各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面PAD和平面CDE的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用

--ab

cos<atb>=

向量的數(shù)量積運(yùn)算公式M網(wǎng)求出余弦值即可。

18、已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(x>0,aeR,bER)

(1)若曲線y=f(x)在(i/(D)處的切線方程為t一2曠一2=o,求f。)的極值；

(2)若匕=1,是否存在awR,使的極值大于零？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【考點(diǎn)】

【答案】(1)解：依題意，/(")=三+2ax+=1+2a+b,

又由切線方程可知，'(D=~2,斜率"=2,

r1

/⑴=1+2a+b=彳Q=o

所以/⑴=a+b=-；解得S=4所以/'(X)=lnx~~l

所以八乃=卜：=去*>0),

當(dāng)%>0時(shí)，x/(x)，f(x)的變化如下：

所以〃為財(cái)值=八2)=1n2-1,無(wú)極小值

j1lax2+1

⑵解：依題意，f(x)=lnx+a/+X,所以f(x)=7+2a%+1=>°),

①當(dāng)aN0時(shí)，/''(x)>。在(0,+8)上恒成立，故無(wú)極值；

②當(dāng)aV。時(shí)，令f'(x)=0,得2ax2+%+1=0,則4=1-8a>0,且兩根之積

X/2=*V0

SX，一、2a(x-xl)(x-x2)一、

不妨設(shè),則/⑴=x,即求使f。2)>°的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22+1

aX2X2+

2

nIaX+X

22>°消去參數(shù)后，得""2+~2~>0

由方程組x2

構(gòu)造函數(shù)g")=則g⑴=7+2>°,所以。(其)在上單調(diào)遞增，

_1_dl-8a

又9(1)=°,所以9。)>。解得X>1,即“2=一而—>1,解得T<aV。.

由①②可得，的范圍是

【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算出f(1)、f'(1)得到關(guān)于a、b的方程組解出即可求出函數(shù)的解析

式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而得出f(x)的極值。(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)討論a的取值范圍得

出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性從而確定a的范圍即可。

19、某市需對(duì)某環(huán)城快速車道進(jìn)行限速，為了調(diào)研該道路車速情況，于某個(gè)時(shí)段隨機(jī)對(duì)1°°輛車的速度進(jìn)

行取樣，測(cè)量的車速制成如下條形圖：

經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值4=85,標(biāo)準(zhǔn)差0=2.2,以頻率值作為概率的估計(jì)值.已知車速過(guò)慢與過(guò)快

都被認(rèn)為是需矯正速度，現(xiàn)規(guī)定車速小于"一3)或車速大于〃+2c是需矯正速度

(1)從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，求該車輛是需矯正速度的概率；

P⑷I

=P(x<〃-3。)+P(x>p+2a)=P(x<78.4)+>89.4)=而

41

(2)+100=20從

樣本中任取2個(gè)車輛，求這個(gè)車輛均是需矯正速度的概率

(3)從該快速車道上所有車輛中任取個(gè)，記其中是需矯正速度的個(gè)數(shù)為￡,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】

【答案】(1)解：記事件4為“從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，該車輛是需矯正速度”，

因?yàn)?c=78.4,〃+2a=89.4,

1

由樣本條形圖可知，所求的概率為P(A)=^

(2)解：記事件B為“從樣本中任取2個(gè)車輛，這個(gè)車輛均是需矯正速度”

由題設(shè)可知樣本容量為10°,又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)，故所求概率為'（8）一C,。―495

（3）解：需矯正速度的個(gè)數(shù)￡服從二項(xiàng)分布，即￡~8（2,而），

.P（￡=0）=^2（20）（jo）=400=D=C2（20）（20）=200

,?,J

P（￡=2）=^2（20）（20）=400

因此的分布列為

由，知數(shù)學(xué)期望E（H=2入而=而

【解析】（1）根據(jù)題意由已知可得出口-3。=78.4,口+2。=89.4,觀察樣本條形圖由圖可知

P（A）=P（x〈〃一3c）+p（x>〃+2a）=p（x<78..4）+p（x>89.4）求出其值即可。⑵利用已知

由題設(shè)可知樣本容量為100,又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)根據(jù)概率的定義求出比值。（3）按照二項(xiàng)分布的公式

P（X=K）=C加"1-P）"-'、逐一代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果列表即可，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望

EX="iPl+“2P2+…”點(diǎn)”的公式代入數(shù)值求出即可。

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，掌握樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布

直方圖，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看

到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況即可以解答此題.

x2y2

20、已知橢圓'號(hào)+京―乂"'''"）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線Q*=2PHp>°）的焦點(diǎn)尸重合，且

點(diǎn)到直線x-y+1=°的距離為低，G與。2的公共弦長(zhǎng)為2聲.

（D求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

1t1

（2）過(guò)點(diǎn)的直線'與交于4B兩點(diǎn)，與交于C,D兩點(diǎn)，求兩+兩的取值范圍.

【考點(diǎn)】

【答案】

-P

⑴解：???0：）'=2px的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為G。），

內(nèi)網(wǎng)=/2

由點(diǎn)到直線x-y+1=°的距離為“2得#.

解得P=2,又F（l，0）為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，.?〃一戶=1

?.?01與02的公共弦長(zhǎng)為2的，與都關(guān)于％軸對(duì)稱，

而的方程為y2=4x,從而與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（》士木）,

96_

.?.4。2+/-1②，

聯(lián)立①②解得。2=9/2=8,

x2y2

???的方程為豆+目=1,點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，°）

x2y28

（2）解：當(dāng)?過(guò)點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，的方程為1代入,1：豆+石=1求得丫=±3,

169

./“即=丁,把代入C2：y=4x求得y=±2,...|CD|=4,

11_31_7

此時(shí)兩+兩=訪+1=訪.

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)的方程為y=k（x-l）（k豐0）,

此時(shí)設(shè)做“?。?，8。2，》2），。。3，乃）刀。4，%）

y=k（x-l）

{X2y2_

把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得互+百=1,

消去J'化簡(jiǎn)得（8+9k2）x2-18k2x+9k2-72=0,

18k29k2一72

可得4+"2=iT^'X/2=鼻4=36x64（/+l）＞0

=Kh+方…2=E（與）L.霖=甯會(huì)

y=/c（x-l）

12

把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得y=4x,

消去化簡(jiǎn)得M/_(2k2+4)x+公=0,

2A2+4?9

,產(chǎn)3+M=16(卜+1)>0

口J待