人教課標(biāo)實驗版八年級上冊第十五章整式的乘除與因式分解1因式分解【省一等獎】

分解因式單元知識總結(jié)【基本目標(biāo)要求】一、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，了解分解因式的意義，以及它與整式乘法之間的整體聯(lián)系．二、掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式(指數(shù)是正整數(shù))，發(fā)展學(xué)生逆向思維的能力。三、感受分解因式在解決有關(guān)問題中的作用．

【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】一、因式分解的有關(guān)概念1．因式幾個整式相乘，每個整式叫做它們的積的因式．例如，a-3和a+1都是的因式．2．公因式多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式．3．因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式．

二、多項式分解的幾種常用方法1．提公因式法一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2．公式法如果把乘法公式反過來，就可用來把某些多項式分解因式．要求熟練運用于因式分解的方法是：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．有時也用到公式：(3)．

【重點難點點撥】本章重點僅限因式分解的兩種方法，即提公因式法、公式法中的平方差公式法和完全平方公式法．本章的難點是公式法中的字母代表代數(shù)式時的應(yīng)用．要掌握上述重、難點，必須注意以下問題．一、因式分解的注意事項1．因式分解與整式乘法互為逆運算．2．在提公因式時，若各項系數(shù)都是整數(shù)，所提的公因式是各項系數(shù)的最大公約數(shù)與各項都含有的字母的最低次冪的積．3．如果多項式的第一項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù)，在提出“-”號時，多項式的各項都要變號．4．有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，例如?a-b+c=-(a+b-c)；又如：當(dāng)n為正整數(shù)時，；，都是在因式分解過程中常用到的因式變換．5．能運用平方差公式分解的多項式，必須是二項式或視作二項式的多項式，且這兩項的符號相反，a、b可表示數(shù)，亦可表示字母或代數(shù)式，每項都能寫成數(shù)(或式)的完全平方的形式．6．能運用完全平方公式。分解的多項式，必須是三項式或視作三項式的多項式，且其中兩項符號相同并都能寫成數(shù)(或式)的完全平方形式，而余下的一項是這兩個數(shù)(或式)的乘積的2倍．如果三項中的兩個完全平方項都帶有負(fù)號，則應(yīng)先提出負(fù)號，再運用完全平方公式分解因式．

二、因式分解的思路與解題步驟1.先看各項有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式；2.再看能否使用公式法；3．因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止．因為需要分解因式的多項式是多種多樣的，所以必須根據(jù)題目的特點，對具體問題作具體分析，靈活應(yīng)用有關(guān)方法和技巧，才能正確迅速地解題．

【發(fā)散思維導(dǎo)練】本章的主要內(nèi)容是多項式的兩種因式分解的方法．多項式的因式分解是整式乘法的逆運算，在解題中何時用整式乘法，何時用因式分解，需視解題的要求而定．如把(x+1)(x-3)+4分解因式，必須先做整式乘法，得：．又如計算，這里沒有按照運算順序先做整式乘法，而是運用平方差公式進(jìn)行因式分解，得：多項式因式分解是數(shù)學(xué)中重要的恒等變形，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)分式、方程的基礎(chǔ)．熟練地掌握和靈活地運用因式分解的各種方法是進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的前提．本章安排了一定數(shù)量的逆向發(fā)散、轉(zhuǎn)化發(fā)散和其他類型的發(fā)散思維題．逆向發(fā)散可以化異為同，化生為熟，化多(元、次)為少(元、次)，變繁為簡，化難為易．轉(zhuǎn)化發(fā)散通過把任何整式或任何多項式看成是公式中的字母a或b，從而利用乘法公式實現(xiàn)由繁到簡、由難到易的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化發(fā)散還可以促進(jìn)數(shù)形結(jié)合解題，可發(fā)揮“形”的直觀作用和“數(shù)”的思路規(guī)范優(yōu)勢，由數(shù)思形，由形定數(shù)，數(shù)形滲透，互相作用，達(dá)到化未知為已知直到問題解決的目的．

【發(fā)散思維應(yīng)用】1．分解因式2．提公因式法

【典型例題】1．分解因式．分析經(jīng)觀察可提出多項式中各項的公因式．解．2．分解因式．分析把本題分成兩段，中有公因式xy可提出，中有公因式ab可提出，然后再提取公因式．解3．分解因式．分析經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)多項式每一項中都可提出公因式為．解．

【題型發(fā)散】發(fā)散1選擇題把正確答案的代號填入題中的括號內(nèi)．(1)若多項式-6ab+18abx+24aby的一個因式是-6ab，那么另一個因式是()(A)-1-3x+4y(B)1+3x-4y(C)-1-3x-4y(D)1-3x-4y(2)下列用提公因式法因式分解正確的是()(A)(B)(C)(D)解(1)用驗證法．對(A)，(-1-3x+4y)·(-6ab)≠-6ab+18abx+24aby，所以排除(A)；同理可排除(B)、(C)；只有(D)中，(1-3x-4y)·(-6ab)=-6ab+18abx+24aby．故本題應(yīng)選(D)．(2)用直接法．∵．故本題應(yīng)選(C)．發(fā)散2填空題(1)多項式的公因式是______________.(2)如果多項式分解因式為(x-5)(x+7)，則m的值為______________.解(1)∵故的公因式是，它的另一個因式是(2)由題意，得即用待定系數(shù)法，得-m=2，即m=-2．

【縱橫發(fā)散】發(fā)散1找出下列式子中的公因式．(1)，，；(2)，；(3)，.分析多項式中各項都含有的因式是公因式，公因式中的系數(shù)是各項系數(shù)的最小公倍數(shù)，各項中共同含有的字母的公因式是各項中這個字母次數(shù)最低的冪．解(1)公因式是；(2)公因式是5a(b+c)；(3)公因式是．發(fā)散2用提公因式法把下列各式分解因式．(1)；(2)；(3)．解(1)；(2)；(3)．3．運用公式法

【典型例題】1．分解因式_____________．(2022年北京市東城區(qū)中考試題)2．分解因式________________．(2022年北京市西城區(qū)中考試題)分析題1中先提取公因式3x，再運用完全平方公式．題2中先分組，然后運用平方差公式．解1．本題應(yīng)填．2．本題應(yīng)填(a+b+1)(a-b+1)．3．把下列各式分解因式．(1)；(2)．分析(1)本題先提取公因式，然后運用完全平方公式分解．(2)本題先運用平方差公式，然后提取公因式，最后運用完全平方公式因式分解．解(1)(2)4．分解因式．(1)；(2)．分析在分解因式時，如果有公因式，要先提出公因式，然后再考慮用其他方法分解因式．解(1)(2)

【題型發(fā)散】發(fā)散1選擇題把正確答案的代號填入題中的括號內(nèi)。(1)分解因式的結(jié)果是()（A）（B）（C）（D）(2)下列多項式中能用公式進(jìn)行因式分解的是()（A）（B）（C）（D）(3)下列分解因式的變形中，正確的是()（A）（B）（C）（D）(4)分解因式的結(jié)果是()（A）（B）（C）不能進(jìn)行（D）(5)如果可分解為，則有()（A）（B）（C）（D）(6)已知有一個因式為x+4，把它分解因式后應(yīng)是()（A）（B）（C）（D）(7)若是多項式的因式，則a、b的值為()（A）a=5，b=3（B）a=5，b=-3（C）a=-5，b=-3（D）a=-5，b=3(8)把多項式分解因式，所得的結(jié)果為()（A）（B）（C）（D）解(1)用直接法．故本題應(yīng)選(C)．(2)用排除法．選項(A)中完全平方公式展開應(yīng)是三項式，缺中間項；選項(B)具備中間項，但中間項系數(shù)不符合完全平方公式的形式；選項(D)中平方差公式缺二次式．因此(A)、(B)、(D)均排除．故本題應(yīng)選(C)．(3)用排除法．本題展示了提公因式時常見的三種錯誤：數(shù)字系數(shù)、符號、相同因式的次數(shù)這三方面的錯誤．選項(B)中，；選項(C)中，；選項(D)中，．故本題應(yīng)選(A)．(4)用直接法．∵，將此多項式寫成兩項平方差的形式，然后運用平方差公式，進(jìn)行因式分解．可得．故本題應(yīng)選(B)．(5)用直接法．∵，且，∴.∴，，.∴，.故本題應(yīng)選(B)．(6)解法1用排除法．選項(B)、(C)中各項均為正，不可能出現(xiàn)-12x，故排除；選項(D)中含有不是最后結(jié)果，也應(yīng)排除．故本題應(yīng)選(A)．解法2用驗證法．把選項(A)、(B)、(C)、(D)四個答案根據(jù)多項式乘法法則算出結(jié)果，只有選項(A)中的結(jié)果為，并且是因式分解的最后結(jié)果．故本題應(yīng)選(A)．(7)用直接法．設(shè)即由此可得，，m=b.解得a=-5，b=-3，m=-3.(8)用直接法故本題應(yīng)選(C).發(fā)散2填空題(1)分解因式__________.(2)分解因式后得______________.(3)因式分解_________________.(4)因式分解________________.(5)分解因式_______________.(6)分解因式_________________.(7)分解因式_____________.(8)因式分解_________________.解(1)(2).(3)(4).(5)本題用提取公因式法，得(6).(7)。(8)。

【縱橫發(fā)散】發(fā)散1先化簡，再求值，其中．分析本題可先運用平方差公式、提取公因式等方法分解因式，后化簡代入x值，求得最后值．解將代入上式，.發(fā)散2分解因式．分析本題把后三項結(jié)合成一組提取“-”號，然后應(yīng)用完全平方公式、平方差公式分解因式．解.

【解法發(fā)散】發(fā)散題分解因式解法1解法2

【組合發(fā)散】發(fā)散題分解因式．分析解法1運用組合發(fā)散，其余各解法分別用完全平方公式、平方差公式提取公因式法分解因式．解法1設(shè)x+y=a，xy=b，則解法2解法3解法4解法5

【變形發(fā)散】發(fā)散1證明：．分析本題將左邊運用完全平方公式及平方差公式分解因式進(jìn)行變形．證明左邊=右邊．故等式成立．發(fā)散2已知，求整數(shù)x，y的值．分析本題在等號左邊利用因式分解方法變形化成積的形式，等號右邊=1×7，因為x，y是整數(shù)，可