做一個有心的“縫補匠”論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選做一個有心的“縫補匠” 摘要：論文主要對滬科版初中數(shù)學教材的拓展使用作了探討，對需要增減的內容進行了有效的剖析，探討了知識的聯(lián)系性統(tǒng)一性原則等。 關鍵詞：作為工具的應用性事例，簡化計算，知識的拓展思考，數(shù)學的一致性和統(tǒng)一性原則，強化弱處，縫補匠。 引言：如何合理使用教材，體會編者意圖，教師要做必要的引導，詮釋，并作必要的補充，要做一個有心的“縫補匠”

2021年1月22日新時代數(shù)學編寫組對滬科版數(shù)學教科書的使用情況發(fā)出征求意見稿，滬科版為了保證各章節(jié)的獨立，完整，流暢，考慮時長、階段性和使用環(huán)境，只保留了最基本的知識結構，對部分知識作了刪減，學生缺少各知識點之間的聯(lián)系，以及作為工具的應用性事例的認知，所以教師在使用過程中有必要增補，讓學生體會到這些知識相對完整的信息。感受到常規(guī)的提問和思考，對發(fā)展學生的思維是有益的。教材是教師教學的“范本”，教師應該“用教材教，而不是教教材”。如何用好教材？教學過程中對教材中的例、習題進行深入細致的研究，講好例、習題，改編好例、習題，創(chuàng)設好符合編者意圖和學情的設計都是提高教材使用效果的方法。通過對教材例、習題教學功能的研究、開發(fā)和重現(xiàn)處理，才能使我們的課堂教學更有效，更高效。一、平面直角坐標系作為工具的應用性事例的認知。教育部審定2013年義務教育教科書滬科版數(shù)學八年級下第100頁數(shù)學史話“幾何定理的機器證明”介紹了中國科學院院士吳文俊教授的機器證明步驟事例，就有平面直角坐標系作為工具的應用性事例認知的最佳啟發(fā)點，結合第104-105的復習題B組，C組每個題目都可以幾何代數(shù)化處理，且相對于綜合幾何方法處理要更簡潔。第105頁C組第2題為例，例1，證明：在?ABCD中，AC2BD22AB2BC2證明1:（幾何法）

設?ABCD，作DE⊥AB于E，CF⊥AB，交AB延長線于F12022年安徽省中小學教育教學論文評選∵四邊形ABCD是平行四邊形（圖1）∴AB//DC，AB=DC，AD=BC

∴DE=CF（平行線間的距離相等）

∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)∴AE=BF

由勾股定理，得AC2AF2CF2(ABBF)2CF22CF2BD2BD2DE2(ABAE)2DE2(ABBF)2CFBD2BE2DE2(ABAE)2DE2(ABBF)2CF2AC2BD2(ABBF)2CF2(ABBF)2CF2)(AB22ABBFBF2)CF2(AB22ABBFBF22AB22BF22CF2∵BF2CF2BC2（勾股定理）∴AC2BD22AB22BC2 證明2:（數(shù)形結合法）以A為坐標原點，以AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

設B（a,0），B（m,n）則根據(jù)平移知識可知C（a+m,n）AC2BD2mn2an2amn22AD2a2m2n22a22mAC2BD22AB2BC2AB在?ABCD中，AB=BC∴對比，簡，繁一目了然。（圖2）二、作為平面直角坐標系中的中點坐標公式，應該給與重要的地位，它可以較大程度的化簡二次函數(shù)的配方。xx1x2如例2：當學過中點坐標公式2，對于像yx1070x的配方，可以按照拋物線的對稱性，過（10,0），（70,0）這兩個對稱點，利中點x107040公式算出對稱軸為直線：2，得到y(tǒng)x40m，再根據(jù)函數(shù)的定義，每一個允許的x都有唯一的y與之對應，令x=10,y=0,求出m=1600,22022年安徽省中小學教育教學論文評選yx4016002整個過程如下：y(x10)(70x)(x40)21600，不是先化成一般式，再根據(jù)完全平方公式的特點來配方。這樣解決像ya(xm)(xn)t這類的二次函數(shù)配方就非常方便了。順便說一句，對于一般的二次函數(shù)的配方也可以用這樣的綜合配方法，將y3x22x1y3x22x13x22x1312

2配2333尤其是第方，3步是令x=0,得到y(tǒng)=1,是計算得到的，用這樣綜合配方法處理含字母參數(shù)的二次函數(shù)的配方也一樣簡潔明了。作為平面直角坐標系中兩直線垂直的斜率關系建議可作必要的補充。只要具有全等三角形的知識就可以推出，l1l2k1?k21這樣處理九年級上2冊第61頁C組第6題，求在直xy線上與原點距離最近的點的坐標。方法更多樣，也更簡單明了。當然像直線的斜率公式可以在滬科版八上冊第40頁例4中，補充將點的具體坐標換成字母就成為斜率公式。給優(yōu)秀生快速計算斜率k帶來便捷。同時在三角函數(shù)學習后，理解斜率k與x軸正方向夾角之間的關系過渡更自然，可以說水到渠成。這樣可以幫助學生理解k的實際意義。從而整體性認識理解斜率k的意義。 三、理解數(shù)學的一致性和統(tǒng)一性原則，感受數(shù)學美學價值。 在學習滬科版八上冊第130頁例題三角形三邊垂直平分線交于一點和第145頁三角形三個角平分線交于一點后如能添加閱讀三角形三條中線交于一點，三角形三條高所在直線交于一點，讓學生更加全面感受三線交于一點的神奇，體會數(shù)學的一致性和統(tǒng)一性原則，感受數(shù)學美學價值。而閱讀這些知識，需要的基礎僅僅是面積法和劃歸的思維方法，同時滲透數(shù)學思維方法，可謂一舉多得。事例如下

例3：在三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線。如圖所示在△ABC中，AD,BE,CF分別是中線，求證三角形條中線相交于同一點。32022年安徽省中小學教育教學論文評選 （圖3）

證明：只要證兩條中線的交點分中線的比為定值，就可以說明三條中線交AGSAGCS△S△S1△AGFAGCS△AGF△AFC2△ABC2GDS△DGCS△DGFS△DGCS△DGFS△DFC1S于一點。連接DF,4△ABC,同理連接 '

G，可證AG'2,從而G與 '

G重合，這樣，命題得證。中線BE交AD于G'D 例4：如圖所示在△ABC中，AD,BE,CF分別是三角形的三條高，求證三條高所在直線交于一點。 分析：可以轉化證明另一個三角形的三條垂直平分線交于一點，如證明△ABC的三條垂直平分線交于一點（△ABC的外心）。 已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF所在直線相交于一點。 證明：過點A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL

∵AM∥BC，MB∥AC,∴四邊形AMBC是平行四邊形

∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL

∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分線

同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線

而三角形的三條垂直平分線相交于一點

∴AD、BE、CF相交于一點.（圖4） 這樣我們利用線段的垂直平分線的平分可以作線段的中點，利用線段垂直平分線中的垂直可以證明三角形三條高交于一點，不正好符合統(tǒng)一性原則嗎？42022年安徽省中小學教育教學論文評選四、數(shù)學思想和數(shù)學文化滲透的途徑。如講解代入消元法解二元一次方程組時，可以對任一能設二元一次方程組應用題將其設一元一次方程加以比較，比較一元一次方程與二元一次方程組，找出其聯(lián)系之處。如例5：滬科版七上冊第98頁問題?某班同學在植樹節(jié)時植樟樹和白楊樹共45顆，已知樟樹苗每顆2元，白楊樹苗每顆1元，購買這些樹苗用了60元.問樟樹苗，白楊樹苗各買了多少顆？解：（用一元一次方程）設樟樹苗買了x顆，則白楊樹苗買了（45-x）顆，根據(jù)題意得2x45x60（*）（用二元一次方程組）設樟樹苗買了x顆，白楊樹苗買了y顆，

xy45

2xy60

則 比較，觀察（*）與②可知（*）中的（45-x）與②中的y都代表白楊樹苗，應該一樣，即y45x，這個式子在哪體現(xiàn)呢？發(fā)現(xiàn)就是①的變形，這樣代入消元法就水到渠成了。 而加減消元法用學生熟知的我國古代算書《孫子算經》的算法，可以看成樸素的加減消元法的結果。滬科版七上冊第99頁問題?我國古代算書《孫子算經》中有一題；今有雉（雞）兔同籠，上有35頭，下有94足，問雉，兔各幾何？解：設有雉x只，兔y只，根據(jù)題意得xy35942x4y都看成兔有35×4只腳即①式×4，多35×4-94=46，即減去②式，一只兔子比一只雉多2只腳除以2得23只兔子。左邊是xy2x4y2x右邊是35×4-94=46，得2x46,x23既引入了加減消元法，又加強了數(shù)學文化和民族自豪感的培養(yǎng)。當然了這樣的例子有很多.如：相似三角形一章中平行線分線段成比例定理，可以采用面積法證明。在相似三角形例題中可以添加物理中凸透鏡成像規(guī)111律中的物距u，像距v，焦距f之間的關系fuv。在多項式乘多項式學習后，可以添加速算背后的規(guī)律，如38×32，等類型；反比例函數(shù)學完可以探討52022年安徽省中小學教育教學論文評選反比例函數(shù)與任一矩形相鄰兩邊相交，兩交點連線與矩形的一對角線平行；學完圓的基本性質后可以結合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進一步探討銳角三角形或鈍角三角形斜邊上的中線與斜邊上一半的關系；旋轉知識學習后可以增加閱讀有關三角形費馬點的問題探究等等。五、把一道題做透比刷題的收獲要多得多，能體會到知識的整體性、關聯(lián)性。如例6：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,D是邊AB的中點，點E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在'A處，當直線A'EAB時，A'B=______________________.（圖5）解答：如圖所示，當A'在AC上方時，通過折疊畫出圖形，∵A'EABRT△AEF,設EF=5a,則AF=12a,EA'EA13a,A'F8a,在RT△AA'FtanA'AFA'F2∵DADA'DBAF3∴△AA''B是直角三角形,（圖6）tanA'AFAAB

'B

23∴根據(jù)AB=13,可以求得A'B213當A'在AC下方時，思路一致，字母相同，但此時tanA'AF18m3A''B31312m2,求得。一般做題做到這樣的思維一致性就可以了，進一步思考，（圖7）這兩個答案之間有關聯(lián)嗎？△EA',△E1A1A都是等腰三角形，E1A1∥A'E,頂角互補，∴A'ACCAA190，四邊形A'AA1B為矩形，所求的A'B就是矩形的兩條邊。這就體現(xiàn)了知識的整體性，關聯(lián)性。（圖8）通過對這類題的探究，學生會體驗到常規(guī)思考方式，如逆向思維，開放結62022年安徽省中小學教育教學論文評選論，等價條件，思維一致性，整體性等。讓學生首先學會提問題，他自然就會思考，這樣就可以將做題最終落實到訓練學生的邏輯能力，思考能力和發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。這對培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識，獨立思考的能力很有幫助，還可以讓教師的教育教學觀念和行為發(fā)生較大的變化。日本長岡亮介教授說過：既然決定要學習，就不可以像吃飼料的馬一樣埋著頭拼命做題。應該像享用一流廚師或母親精心制作的充滿愛的美味料理那樣，心滿意足地沉浸在那些能夠讓你身心成長，具有深度且值得用心思考的精彩問題所帶來的樂趣當中。如此一來，年輕人的智慧便會出現(xiàn)驚人的成長......教師的職責就是通過對例、習題的加工、處理，給學生帶來精彩的有深度的思考，讓學生洞察知識間的聯(lián)系，盡力避免“題