2023屆河北省部分重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．2．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．3．在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列an中，a1=4，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列A．2B．-2C．3D．-35．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．6．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在處有極值10，則等于()A．1 B．2 C．—2 D．—18．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)9．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若是假命題，則、都是假命題；②命題“，”的否定是“，”③若：，:，則是的充分不必要條件.A．0 B．1 C．2 D．310．某機(jī)構(gòu)需掌握55歲人群的睡眠情況，通過隨機(jī)抽查110名性別不同的55歲的人的睡眠質(zhì)量情況，得到如下列聯(lián)表男女總計(jì)好402060不好203050總計(jì)6050110由得，.根據(jù)表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列結(jié)論，正確的是（）A．有以下的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無關(guān)”11．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．12．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1；二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.4，你認(rèn)為下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）①平均來說一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好；②二隊(duì)比一隊(duì)防守技術(shù)水平更穩(wěn)定；③一隊(duì)防守有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好；④二隊(duì)很少不失球.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則________.14．如果實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于．15．已知函數(shù)，若在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的值為______.16．若ax2+的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（k為常數(shù)，e＝1．71818…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（1）若函數(shù)在（0,1）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．18．（12分）設(shè)，其中，，與無關(guān).（1）若，求的值；（2）試用關(guān)于的代數(shù)式表示：；（3）設(shè)，，試比較與的大小.19．（12分）某校選擇高一年級(jí)三個(gè)班進(jìn)行為期二年的教學(xué)改革試驗(yàn)，為此需要為這三個(gè)班各購買某種設(shè)備1臺(tái).經(jīng)市場調(diào)研，該種設(shè)備有甲乙兩型產(chǎn)品，甲型價(jià)格是3000元/臺(tái)，乙型價(jià)格是2000元/臺(tái)，這兩型產(chǎn)品使用壽命都至少是一年，甲型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是，乙型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是.若某班設(shè)備在試驗(yàn)期內(nèi)使用壽命到期，則需要再購買乙型產(chǎn)品更換.(1)若該校購買甲型2臺(tái)，乙型1臺(tái)，求試驗(yàn)期內(nèi)購買該種設(shè)備總費(fèi)用恰好是10000元的概率；(2)該校有購買該種設(shè)備的兩種方案，方案：購買甲型3臺(tái)；方案：購買甲型2臺(tái)乙型1臺(tái).若根據(jù)2年試驗(yàn)期內(nèi)購買該設(shè)備總費(fèi)用的期望值決定選擇哪種方案，你認(rèn)為該校應(yīng)該選擇哪種方案？20．（12分）設(shè)橢圓：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，（）為橢圓上一點(diǎn)，求面積的最大值．21．（12分）“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款，某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，對(duì)運(yùn)動(dòng)10000步或以上的老師授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)，低于10000步稱為“參與者”，為了解老師們運(yùn)動(dòng)情況，選取了老師們?cè)?月28日的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者合計(jì)男教師602080女教師402060合計(jì)10040140（Ⅰ）根據(jù)上表說明，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？（Ⅱ）從具有“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的教師中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵(lì)大賽某賽區(qū)的活動(dòng)，若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開幕式，設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為，寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A2、B【解析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】試題分析：連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以即為異面直線與所成的角．因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，所以為在面內(nèi)的射影，所以即為與面所成的角，即，因?yàn)?，所以所以在直角三角形中，即面直線與所成的角為故選C．考點(diǎn)：直線與平面所成的角，異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，直線與平面所成的角，考查線面垂直，比較基礎(chǔ)連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，OP，先證明∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結(jié)論．4、C【解析】由題意，得S1+2=4,S2+2=4q+6,S3+2=4q2+4q+6點(diǎn)睛：本題若直接套用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解，一是計(jì)算量較大，二是往往忽視“q=1”的特殊情況，而采用數(shù)列的前三項(xiàng)進(jìn)行求解，大大降低了計(jì)算量，也節(jié)省的時(shí)間，這是處理選擇題或填空題常用的方法.5、A【解析】試題分析：分析題意可知，問題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長，寬，高分別為，，，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.6、C【解析】

從橢圓方程確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，然后根據(jù)求的值.【詳解】由橢圓方程得：，所以，又橢圓的焦點(diǎn)在上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要先確定橢圓是軸型還是軸型，防止坐標(biāo)寫錯(cuò).7、B【解析】，，函數(shù)

在處有極值為10，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)知，符合題意．，．選B．點(diǎn)睛：由于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后還要判斷在該零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)是否發(fā)生變化，然后才能作出判斷．同樣在已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的值時(shí)，根據(jù)求得參數(shù)的值后應(yīng)要進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷所求參數(shù)是否符合題意，最終作出取舍．8、C【解析】分析：根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可．詳解：對(duì)于A：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對(duì)于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對(duì)于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點(diǎn)都落在直線上是才滿足兩者相等，這個(gè)題目顯然不滿足，故不正確.對(duì)于D：由線性回歸方程一定過（，），即（1，2）．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計(jì)算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).9、C【解析】分析：由復(fù)合命題的真假判斷判斷①；寫出全程命題的否定判斷②；由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的判定方法判斷③．詳解：①若p∧q是假命題，則p，q中至少一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正確；③若x＞1＞0，則，反之，若，則x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要條件，故③正確．∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查充分必要條件的判定方法，考查命題的否定，屬于中檔題．10、C【解析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷得解.【詳解】因?yàn)?，根?jù)表可知；選C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于x=4對(duì)稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于x=4對(duì)稱，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．詳解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關(guān)于x=4對(duì)稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選：C．點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.12、D【解析】在（1）中，一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好，故（1）正確；

在（2）中，一隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，二隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，

∴二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，二隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，

∴一隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，

∴二隊(duì)很少不失球，故（4）正確.故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)分組求和得再求極限得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以因此故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分組求和以及數(shù)列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解析】試題分析：作出約束條件表示的可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），再作直線，上下平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值.考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃.15、.【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，建立方程求出的值，并驗(yàn)證能否取得極小值【詳解】解：由題意知，，則，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，函數(shù)在處取得極小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極小值的概念.要注意對(duì)求出值的驗(yàn)證．令導(dǎo)數(shù)為0，求出的方程的根不一定是極值點(diǎn)，還應(yīng)滿足在解的兩邊函數(shù)的單調(diào)性相反.16、-2【解析】試題分析：因?yàn)?，所以由，因此【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】本題是二項(xiàng)式定理問題中的常見題型，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)往往是考查的重點(diǎn).本題難度不大，易于得分.能較好地考查考生的基本運(yùn)算能力等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（1）．【解析】

試題分析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）分，，，時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點(diǎn)的有無、多少.試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由（I）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)，解得，綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，分類討論思想，不等式組的解法.18、(1);(2);(3).【解析】分析：（1）由，即可求出p；（2）當(dāng)時(shí)，，兩邊同乘以，再等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，最后令即可；（3）猜測：，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（1）由題意知，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，兩邊同乘以得：，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：，令得：，即.（3），，猜測：，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)不等式成立；②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即：，則時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立；根據(jù)①②可知，，均有.點(diǎn)睛：利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)應(yīng)注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0；(2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．19、（1）（2）選擇B方案【解析】【試題分析】（1）由于總費(fèi)用為10000元，說明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，因此可運(yùn)用獨(dú)立事件的概率公式可求得；（2）可將問題轉(zhuǎn)化為兩類進(jìn)行求解：（1）若選擇方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用為元，則，所以，又，所以；（2）若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用元，則，，，，所以，又，所以因?yàn)?，所以選擇B方案．解：（1）總費(fèi)用為10000元，說明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，概率為：；（2）若選擇方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用為元，則，所以，又，所以；若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用元，則，，，，所以，又，所以因?yàn)?，所以選擇B方案．20、（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，橢圓的長軸為及，求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線與（Ⅰ）求得的橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和，利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離，求得的面積，同時(shí)，進(jìn)而求得的面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）雙曲線的離心率為（1分），則橢圓的離心率為（2分），2a=1，（3分）由?，故橢圓M的方程為．（5分）（Ⅱ）由，得，（6分）由，得﹣2＜m＜2∵，．（7分）∴=又P到AB的距離為．（1